6.2Kendall 相关性检验

1、6.2Kendall 相关检验相关检验 Spearman（斯伯曼（斯伯曼/斯皮尔曼）斯皮尔曼）秩相关分析模秩相关分析模仿了仿了Pearson（皮尔逊）（皮尔逊）相关的思想，相关的思想，Kendall（肯（肯德尔）德尔）于于1938年提出了另一种与年提出了另一种与Spearman秩相关相秩相关相似的检验方法，他从两个变量似的检验方法，他从两个变量 是否是否协同一致的角度出发检验两变量之间是否存在协同一致的角度出发检验两变量之间是否存在相关相关性，其适用条件和性，其适用条件和Spearman秩相关检验相同秩相关检验相同.首先引入协同的概念首先引入协同的概念( ,)(1,2, )iix yin定义：

2、定义：假设假设n对观测值对观测值 ，如果，如果乘积乘积 对于对于 ，则称数，则称数对对 与与 满足协同性，或者说它们的变化满足协同性，或者说它们的变化方向一致方向一致. 反之，则称数对不协同，表示变化方向相反反之，则称数对不协同，表示变化方向相反. 协同性测量了前后两个数对的秩大小变化为同协同性测量了前后两个数对的秩大小变化为同向还是反向向还是反向.1122( ,),(,),(,)nnx yx yx y() ()0jijixxyy, ,1,2, ,j i i jn (,)iixy(,)jjxyKendall 检验统计量检验统计量 全部的数据所有可能前后对数共有全部的数据所有可能前后对数共有对，

3、用对，用 表示同向数对的数目，表示同向数对的数目， 表示反向数对的表示反向数对的数目，则数目，则Kendall相关系数统计量由二者的平均差定义如下：相关系数统计量由二者的平均差定义如下： 其中，其中，(1)22nn ncNdN(1)2cdn nNN2(1) / 2(1)cdaNNSn nn n, 11.cdSNN 1）若所有的数对协同一致，则若所有的数对协同一致，则表示两组数据正相关表示两组数据正相关2）若所有的数对都相反，则）若所有的数对都相反，则表示两组数据负相关表示两组数据负相关3）Kendall 为零时，表示数据中同向或反向的数对为零时，表示数据中同向或反向的数对势力均衡，没有明显趋势

4、，这与相关性的含义是一势力均衡，没有明显趋势，这与相关性的含义是一致的致的.(1)/2,0,1cdNn nN0,(1)/2,1cdNNn n 如果定义如果定义则则Kendall 相关系数相关系数统计量又可定义为统计量又可定义为式中，式中， 是是 的核估计量，的核估计量，因而因而 为为U统计量统计量1;() ()0(, ,)0;() ()01;() ()0jijiijijjijijijixxyyX X Y Yxxyyxxyy12(,)(1)aijijij nXXY Yn n (,)ijijXXY Y()() 0)jijip xx yy定理：定理：在零假设成立的条件下，在零假设成立的条件下， 1）

5、 2）关于原点）关于原点O对称对称(1)(25)( )0, ( )18n nnED大样本计算大样本计算 当样本容量当样本容量n较大时，较大时，对于打结的情况，对于打结的情况，Kendall给出了调整后的结果为给出了调整后的结果为其中，其中， 是是X观测值中第观测值中第i组打结的个数，组打结的个数， 为为Y观测观测值中第值中第j组打结的个数组打结的个数.18(0,1)(1)(25)Nn nn(1)/2(1)/2(1)/2(1)/2biijjijSn nn n ij当样本容量当样本容量n较大时，相应的大样本近似公式为较大时，相应的大样本近似公式为12(0,1)(1)(25)/18cdNNNn nn

6、tttt 12(1)(25),(1)(25)(1)(1) /2 (1)(1)(2)(1)(2) / 9 (1)(2)iiijjjijiijjijiiijjjijtttn ntn nn 其中其中易得，在没有打结的情况下，易得，在没有打结的情况下， ，且大样本近似也，且大样本近似也一样一样ab 在实际问题中，不失一般性，假定在实际问题中，不失一般性，假定 已从小到已从小到大排列，因此大排列，因此协同性问题就转化为协同性问题就转化为 的秩的变化问的秩的变化问题题. 令令 为为 的秩，因而的秩，因而x,y的的秩秩形成形成 ，若记，若记令令 ，则，则Kendall 统计量的值为统计量的值为 ixiy12

7、,nddd12,nyyy12(1,),(2,),( ,), 1nddn din ()(),1,2,1,2,jijiiddj iiddj ipIinqIin11,nniiiiPp Qq(1)/ 2PQKn n 也就是说，对于每一个也就是说，对于每一个 ，求当前位置后比，求当前位置后比 大的数据的个数，将这些数相加所得就是大的数据的个数，将这些数相加所得就是 ，同理，同理可计算可计算 . Kendall 还经常用于分析列联表数据，度量两还经常用于分析列联表数据，度量两个有序变量的相关性，当列联表中的行列数目个有序变量的相关性，当列联表中的行列数目r和和c较大时，使用较大时，使用 Kendall 更

8、合适更合适. bciyiycNdN22 (),min( , )(2)cdcq NNqr cnqKendall 检验结果检验结果 当当 时拒绝零假设，当时拒绝零假设，当 时不能拒绝零时不能拒绝零假设假设. 临界值临界值 满足满足 ，由对称性得，由对称性得，K小于小于0时，取绝对值查表即可时，取绝对值查表即可.KCKCC()p KC例：现在想研究体重和肺活量的关系，调查了某地例：现在想研究体重和肺活量的关系，调查了某地10名女初中生的体重和肺活量的数据如下所示，名女初中生的体重和肺活量的数据如下所示，进行相关性检验进行相关性检验. 学生体重和肺活量比较表学生体重和肺活量比较表 指标指标 学 生 编

9、学 生 编号号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10体重体重x 75 95 85 70 76 68 60 66 80 88 肺活量肺活量y2.62 2.91 2.94 2.11 2.17 1.98 2.04 2.20 2.65 2.69解：解：建立假设检验问题为建立假设检验问题为 体重和肺活量没有相关关系体重和肺活量没有相关关系 体重和肺活量有相关关系体重和肺活量有相关关系计算每个变量的秩如下表：计算每个变量的秩如下表：0:H1:H秩秩学生编号学生编号 7 8 6 4 1 5 9 3 10 2 体重体重x的秩的秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10肺活量肺活量y y的秩的秩 2 5 1 3 6 4 7 10 8 9 和和 的求解方法如下：的求解方法如下：cNdN38,7,31,10, (1)10 990cdcdNNSNNnn n 秩秩 1 2 8 1 2 5 5 3 3 1 7 0 4 3 6 0 5 6 4 1 6 4 4 0 7 7 3 0 8 10 0 2 9 8 1 0 10 9 0 0 合计合计 38 7cNdN(,)iixy由公式得由公式得在给定显著性水平在给定显著性水平 下下 ，故拒绝零假设，认为体重和肺活量之间有相关关系故拒绝零假设，认为体重和肺