高等数学 8-1

1、数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 .a或表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小, ,21M

2、M记作记作一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又称又称矢量矢量). 1M2M既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径 (矢径矢径):自由向量自由向量: 与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量,. .a或或记作记作 a零向量零向量: 模为模为 0 的向量的向量,. .00 或或，记作记作有向线段有向线段 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相等相

3、等,记作记作 ab ;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量共线两向量共线 .若若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此则称此 k 个向量共面个向量共面 .记作记作a ;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律

4、运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数 ,.a规定规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记作记作，反向与aa总之总之:运算律运算律

5、: 结合律结合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此因此aaa 定理定理1. 设设 a 为非零向量为非零向量 , 则则( 为唯一实数为唯一实数)证证: “ ”., 取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性 .则则,0故.即abab设设 abba取正号取正号, 反向时取负号反向时取负号, a , b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,设又有设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”则则,0 时当例例1. 设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bDAACMC2M

6、A2BDMD2MB2已知已知 b a ,b0a , b 同向同向a , b 反向反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMDxyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点坐标面上的点 A ,

7、B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0) ;rrM坐标轴坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M , ),(zyxM则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的

8、单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数例例2.求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组a

9、yx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得得bax32)10, 1,7(代入代入得得)3(21bxy)16,2,11(例例3. 已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , 使使解解: 设设 M 的坐标为的坐标为, ),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数, 1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(说明说明: 由由得得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点点

10、 M 为为 AB 的中点的中点 ,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点对两点与与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQ

11、OPBABAOAOBBA例例4. 求证以求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即即321MMM为等腰三角形为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 为顶点为顶点例例5. 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距等距解解: 设该点为设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故

12、所求点为故所求点为及及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程 ?离的点离的点 . 提示提示:(1) 设动点为设动点为, )0,(yxM利用利用,BMAM得得,028814 yx(2) 设动点为设动点为, ),(zyxM利用利用,BMAM得得014947zyx且且0z例例6. 已知两点已知两点)5,0,4(A和和, )3, 1 ,7(B解解:求求141)2,1,3(142,141,143.BABA

13、BABAoyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 ,ba任取空间一点任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称称 =AOB (0 ) 为向量为向量 ba,的的夹角夹角. ),(ab或类似可定义类似可定义向量与轴向量与轴, 轴与轴轴与轴的的夹角夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 , , rr称为其为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作记作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质

14、方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例7. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例8. 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 已知已知角依次为角依次为,43求点求点 A 的坐标的坐标 . ,43则则222coscos1cos41因点因点 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23

15、,3(故点故点 A 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 ,6AO且OAOAAO3. 3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影1) 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 2）空间一向量在轴上的投影）空间一向量在轴上的投影A uABB ABjuPr. BA向量的向量的投影投影的性质：的性质：) )c co os sP Pr r( (c co os s) )( ( aajaauu 即即性质性质1 1).).PrPrPrPr) )( (PrPr( () )( () )( () )( (bjajbajbabauuuuuu 即即性质性质2 2) ). .P Pr r) )( (P Pr r( () )( () )( (ajajaauuuu 即即性质性质3 3; ;轴的夹角轴的夹角与与为向量为向量其中其中ua 思考题思考题解解: 因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设设,853kjim,742kjin求向量求向量pnma