2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷

1、WORD格式2018-2019 学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置1（ 2分）抛物线2)y x 1 的对称轴是 (A 直线 x1B 直线 x 1C直线 x 0D直线 y 12（ 2分）点 P(2,1) 关于原点对称的点P 的坐标是 ()A( 2,1)B( 2, 1)C (1,2)D (1,2)3（ 2分）下列 App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()A B CD4（ 2 分）用配方法解方程22 x 40 ，配方正确的是 ()xA (x 1)

2、23B (x 1)24C ( x 1)25D ( x 1)235（ 2 分）如图， 以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB是小圆的切线，点 P 为切点 若大圆半径为2 ，小圆半径为 1，则 AB 的长为 ()A23B 22C 5D 26（ 2 分）将抛物线 y( x 1)22 向上平移 a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为 ()A 1B 1C 2D 27（ 2 分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90后能与原来的图案重合的是 ()A BCD8（ 2 分）已知一个二次函数图象经过P1( 3, y1 ) ，P2 ( 1, y2 ) ，P3 (1, y3 ) ，

3、P4 (3, y4 ) 四点，若 y3y2 y4 ，则 y1 ，y2 ， y3 ， y4 的最值情况是 ()A y3 最小， y1最大B y3 最小， y4最大C y1 最小， y4最大D无法确定二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9（ 2 分）写出一个以0 和 2 为根的一元二次方程：10（ 2 分）若二次函数2bxc 的图象如图所示，则 ac0（填 “ ”或“ ”y ax或“ ”)11（ 2 分）若关于 x 的方程 x24 xk 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是专业资料整理第1页（共 24页）12（ 2 分）如图，四边形ABCD 内接于O ， E 为直径 CD 延长线

4、上一点，且AB / /CD ，若C70 ，则ADE 的大小为13 （ 2 分）已知O 为ABC 的外接圆圆心，若O 在ABC 外，则ABC 是（填 “锐角三角形 ”或 “直角三角形 ”或 “钝角三角形 ” ) 14（ 2 分）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017 年我国新能源汽车保有量已居于世界前列 2015 年和 2017 年我国新能源汽车保有量如图所示设我国 2015 至 2017 年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为15（ 2 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 (1,0) ，(3,0) 两点，请写出

5、一个满足y0 的 x 的值16（2 分）如图， O的动弦 AB，CD 相交于点 E，且 ABC D，BED(090 ) 在 BOD， OAB 90， ABC1中，2一定成立的是（填序号）三、解答题（本题共 68 分，第 17 22 题，每小题 5 分；第 23 26 小题，每小题 5 分；第 27 28 小题，每小题 5 分）17（ 5 分）解方程：x(x2)3x6 第2页（共 24页）18（5 分）如图，将ABC绕点 B 旋转得到CADE DBE ，且 A ，D ， 三点在同一条直线上 求证：DB 平分19（ 5 分）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程已知：O 求作：O

6、 的内接正三角形作法：如图，作直径 AB ；以 B 为圆心， OB 为半径作弧，与O 交于 C ， D 两点；连接 AC， AD，CD 所以ACD 就是所求的三角形根据小董设计的尺规作图过程，（ 1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹）（ 2）完成下面的证明：证明：在O中，连接 OC，OD，BC， BD，OCOBBC，OBC 为等边三角形() （填推理的依据） BOC60 AOC180BOC120 同理AOD120，CODAOCAOD120 ACCDAD () （填推理的依据） ACD 是等边三角形第3页（共 24页）20（ 5 分）已知1是方程 x2axb0 的一个根，求a2b22b

7、 的值21（ 5 分）生活中看似平常的隧道设计也很精巧如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心 AB 为直径的圆隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层点A 到顶棚的距离为 0.8a ，顶棚到路面的距离是 3.2a ，点 B 到路面的距离为 2a 请你求出路面的宽度l （用含a 的式子表示）22（ 5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2经过点 A( 2,0)， B( 1,3) y x ax b（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点 C 的坐标和BOC 的度数第4页（共 24页）23（ 6 分）如图，用长为 6m 的铝合金条制

8、成“日 ”字形窗框， 若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式；（ 2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积24（ 6 分）如图，在ABC 中， ABAC ，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 AC 的垂线交AC于点 E ，交 AB 的延长线于点F （ 1）求证： DE 与 O 相切；（ 2）若 CD BF ， AE 3 ，求 DF 的长第5页（共 24页）25（ 6 分）有这样一个问题：探究函数y| x3|x 3 的图象与性质2小东根据学习函数的经验，对函数y| x3|x 3

9、的图象与性质进行了探究2下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x3 时， y，当 x3 时 y；（2）根据（ 1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y| x3|x3 的图象；2（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程 ax1| x3|x3 只有一个实数根，直接写出实2数 a 的取值范围：26（ 6 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yax22 x(a0) 与 x 轴交于点A ，B（点 A 在点 B 的左侧）（ 1）当 a1 时，求 A ， B 两点的坐标；（ 2）过点 P(3,0) 作垂直于 x 轴的直线 l ，交抛物线于点 C 当 a2 时，求 PBPC

10、 的值；若点 B 在直线 l 左侧，且 PBPC14 ，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围第6页（共 24页）27（ 7 分）已知MON， P 为射线 OM 上的点， OP1（1）如图 1，60 ， A ， B 均为射线 ON 上的点， OA1， OBOA ，PBC 为等边三角形，且O ， C两点位于直线PB 的异侧，连接 AC 依题意将图1 补全；判断直线AC 与 OM 的位置关系并加以证明；（2）若45 ， Q 为射线 ON 上一动点 (Q 与 O 不重合），以 PQ 为斜边作等腰直角PQR ，使 O ， R 两点位于直线 PQ 的异侧，连接OR 根据（ 1）的解答经验，直接写出POR

11、 的面积第7页（共 24页）28（ 7 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A 是 x 轴外的一点， 若平面内的点B 满足： 线段到 x 轴的距离相等，则称点B 是点 A 的“等距点 ”（1）若点A的坐标为 (0,2) ，点 1(2,2)，24)， P3(3 ，1)中，点A的 “等距点 ”是PP (1,（2）若点 M(1,2) 和点 N (1,8) 是点A 的两个 “等距点 ”，求点 A 的坐标；AB 的长度与点A；（3）记函数 y3的图象为 L ，T 的半径为2，圆心坐标为 T (0, t ) 若在 L 上存在点 M ，T 上x( x 0)3存在点 N ，满足点 N 是点 M 的 “等距点

12、”，直接写出t 的取值范围第8页（共 24页）2018-2019 学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置1（ 2 分）抛物线21 的对称轴是 ()y xA 直线 x1B 直线 x 1C直线 x 0D直线 y 1【解答】 解：抛物线 yx21 ，抛物线对称轴为直线x0 ，即 y 轴，故选： C2（ 2分）点 P(2, 1) 关于原点对称的点 P 的坐标是 ()A( 2,1)B( 2, 1)C (1,2)D (1,2)【解答】 解：点 P(2,1) 关

13、于原点对称的点P 的坐标是 ( 2,1) ，故选： A3（ 2分）下列 App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()ABCD【解答】 解： A 此图案是轴对称图形，不符合题意；B 此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C 此图案是轴对称图形，不符合题意；D 此图案是中心对称图形，不符合题意；故选： B4（ 2 分）用配方法解方程20 ，配方正确的是 ()x 2 x 4A (x 1)23B (x 1)24C ( x 1)25D ( x 1)23【解答】 解：22x4 0x22x4x22x1 41x( x1)25故选： C5（ 2 分）如图，以 O 为圆心的两个同心圆中

14、，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点 若大圆半径为 2，小圆半径为1 ，则 AB的长为 ()A23B22C5D2第9页（共 24页）【解答】 解： 如图：连接 OP ， AOAB是O切线OPAB ，APPB1 AB2在 RtAPO 中， APAO 2OP 23AB2 3故选： A6（ 2 分）将抛物线 y( x 1)22 向上平移 a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为 ()A 1B 1C 2D 2【解答】 解：新抛物线的解析式为：y( x 1)22 a x22x 1 a ，新抛物线恰好与x 轴有一个交点，4 4(1a)0 ，解得 a2 故选：D 7（ 2 分）

15、如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90 后能与原来的图案重合的是()ABCD【解答】 解： A 此图案绕中心旋转36 或 36 的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B 此图案绕中心旋转45 或 45 的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C 此图案绕中心旋转60 或 60 的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D 此图案绕中心旋转72 或 72 的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选： B8（ 2 分）已知一个二次函数图象经过P1( 3, y1 ) ，P2 ( 1, y2 ) ，P3 (1, y3 ) ，P4 (3, y4 ) 四点，若 y3y2y4

16、，则 y1 ，y2 ， y3 ， y4 的最值情况是()第 10 页（共 24 页）A y最小， y 最大B y 最小，y4最大313C y1 最小， y4 最大D无法确定【解答】 解：二次函数图象经过11，22)，33，44)四点，且32y4 ，P ( 3, y )P ( 1, yP (1, y )P (3, yyy抛物线开口向上，对称轴在0和 1之间，P ( 3, y) 离对称轴的距离最大，P (1,y )离对称轴距离最小，1133y3 最小， y1 最大，故选： A二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9（ 2 分）写出一个以0 和 2 为根的一元二次方程：x22 x 0【解答】 解

17、：0 22，0 20 ，所以以 0 和 2 为根的一元二次方程为2，x 2 x 022 x0 故答案为： x2bxc 的图象如图所示，则ac0（填“ ”或“ ”或“ ”)10（ 2 分）若二次函数 y ax【解答】 解：抛物线的开口向下，a0 ，与 y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，c0 ，ac0 故答案为11（2 分）若关于 x 的方程 x24xk 10 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是k5【解答】 解：根据题意得 (24( k1) 0，4)解得 k 5 故答案为 k5 12（ 2 分）如图，四边形ABCD 内接于O ， E 为直径 CD 延长线上一点，且 AB / /CD ，若C7

18、0 ，则ADE 的大小为 110【解答】解：C70 ， AB/CD ，B110第 11 页（共 24 页）ADE 110故答案为： 11013（ 2 分）已知 O 为ABC 的外接圆圆心， 若 O 在ABC 外，则 ABC 是钝角三角形（填 “锐角三角形 ”或 “直角三角形 ”或“钝角三角形 ” ) 【解答】 解：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部又O 为ABC 的外接圆圆心，若O 在ABC 外，ABC 是钝角三角形，故答案为钝角三角形14（ 2 分）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017 年我国新能源

19、汽车保有量已居于世界前列 2015年和 2017 年我国新能源汽车保有量如图所示设我国2015 至 2017 年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为45.1(1 x) 2172.9【解答】 解：设我国 2015至 2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，根据题意得： 45.1(1 x) 2172.9 故答案为： 45.1(1 x) 2172.9 15（ 2 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ax2bxc 与 x 轴交于 (1,0) ， (3,0) 两点，请写出一个满足 y 0 的 x 的值2（答案不唯一）2【解答】 解：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

20、yaxbxc 与 x 轴交于 (1,0) ， (3,0) 两点，当 y0 的 x 的取值范围是：1x3 ，x 的值可以是 2故答案是： 2（答案不唯一） 16（2 分）如图，O 的动弦 AB ，CD 相交于点 E ，且 ABCD ， BED(090 ) 在 BOD， OAB 90， ABC1 （填序号）中，一定成立的是2第 12 页（共 24 页）【解答】 解：如图，连接OC ，设 OB 交 CD 于 K ABCD ， ODOCOBOA，AOBCOD (SSS) ，CDOOBA ，DKOBKE ，DOKBEK，即 BOD，故 正确，不妨设， OAB 90，OAOB ，OABOBA ，OBEBE

21、K90 ，BKE90，OBCD ，显然不可能成立，故 错误，CDAB ，CBCD ，BDAC ，ABC1DOB1，故 正确22故答案为 三、解答题（本题共68 分，第17 22 题，每小题5 分；第23 26 小题，每小题5 分；第 27 28 小题，每小题5 分）17（ 5 分）解方程： x(x2)3x 6 【解答】 解： x(x2) 3( x2)0 ，( x2)( x3)0 ，x20或 x30，所以 x12 ， x23 18（5 分）如图，将ABC绕点 B 旋转得到CDBE ，且 A ，D ， 三点在同一条直线上 求证：DB 平分 ADE 第 13 页（共 24 页）【解答】 证明：将AB

22、C 绕点 B 旋转得到DBE ，ABCDBEBABD AADB ABDE ，ADBBDE DB 平分ADE 19（ 5 分）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程已知：O 求作：O 的内接正三角形作法：如图，作直径 AB ；以 B 为圆心， OB 为半径作弧，与O 交于 C ， D 两点；连接 AC， AD，CD 所以ACD 就是所求的三角形根据小董设计的尺规作图过程，（ 1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹）（ 2）完成下面的证明：证明：在O中，连接 OC，OD，BC， BD，OCOBBC，OBC 为等边三角形(三条边都相等的三角形是等边三角形) （填推理的依据）

23、 BOC60 AOC180BOC120 同理AOD120，CODAOCAOD120 ACCDAD () （填推理的依据） ACD 是等边三角形【解答】（ 1）解：如图，ACD 为所作；第 14 页（共 24 页）（2）证明：在O 中，连接 OC ， OD ， BC ， BD ，OCOBBC，OBC 为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）BOC60 AOC180BOC120 同理AOD120，CODAOCAOD120 ACCDAD （在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），ACD 是等边三角形故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等（5分）

24、已知1是方程 x2axb0 的一个根，求 a2 b2 2b 的值20【解答】 解：1是方程 x2axb0 的一个根，1ab0 ，ab 1，a2b22b(a b)(a b)2ba b 2b a b 1 21（ 5分）生活中看似平常的隧道设计也很精巧如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心 AB 为直径的圆隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层点A 到顶棚的距离为 0.8a ，顶棚到路面的距离是 3.2a ，点 B 到路面的距离为 2a 请你求出路面的宽度l （用含a 的式子表示）第 15 页（共 24 页）【解答】 解：如图，连接OC ， AB 交 CD 于

25、E ，由题意知：AB0.8a3.2a2a6a，所以 OCOB3a ，OEOBBE3a2a a ，由题意可知： AB CD ，AB过 O，CD2CE ，在 RtOCE 中，由勾股定理得：CEOC 2OE2(3a) 2a22 2a ，CD2CE4 2a ，所以路面的宽度l 为 42a 22（ 5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yx2axb 经过点 A( 2,0) ， B( 1,3) （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点 C 的坐标和BOC 的度数【解答】 解：（ 1）抛物线 yx2ax b 经过点 A( 2,0) ， B( 1,3) ，42ab01ab，3

26、解得 a6 ，b8yx26 x8 （2） y x26 x8( x3) 21，顶点C坐标为 (3, 1)，第 16 页（共 24 页）B( 1,3) OB 2123210， OC23212222，10， BC(3) (1) (13)20OB2OC2BC 2 ，则 OBC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BOC90 23（ 6 分）如图，用长为 6m 的铝合金条制成“日 ”字形窗框， 若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式；（ 2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积【解答】 解：（ 1）大长方形的周

27、长为6m ，宽为 xm ，63x长为m ，2y x (63x)3x23x(0 x 2)，2 2（ 2）由（ 1）可知： y 和 x 是二次函数关系，30 ，a2函数有最大值，当 x31 时， y最大3 m2 2(32)2答：窗框的长和宽分别为1.5m 和 1m 时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为24（ 6 分）如图，在ABC 中， ABAC ，以 AB 为直径作O交 BC于点 D，过点于点 E ，交 AB 的延长线于点F （ 1）求证： DE 与 O 相切；（ 2）若 CD BF ， AE 3 ，求 DF 的长1.5m2 D 作 AC 的垂线交 AC【解答】（ 1）证明：连接OD

28、，第 17 页（共 24 页）AB 是O 的直径，ADB90 ，ADBC ，又 AB AC，12，OAOD ，2ADO ，1ADO ，OD/AC，DEAC ，ODFAED90 ，ODED ，OD过0，DE与O相切；（2）解：ABAC ， ADBC ，1 2，CD BD，CDBF ，BFBD ，3F ，43F23 ，OBOD ，ODB42 3 ，ODF90 ，3F30，4ODB 60 ，ADB90，2130，2F ，DFAD ，130，AED90，AD2ED ，AE2DE2AD2 ， AE3 ，AD23 ，第 18 页（共 24 页）DF 2325（ 6 分）有这样一个问题：探究函数y| x3|

29、 x3 的图象与性质2小东根据学习函数的经验，对函数y| x3|x 3 的图象与性质进行了探究2下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x3 时， yx，当 x3 时 y；（2）根据（ 1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y| x3|x3 的图象；2（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程 ax1| x3|x 3 只有一个实数根，直接写出实2数 a 的取值范围：【解答】解：（1）当 x3| x 3| x 3 x 3 x 33 时，y| x 3| x 3 3 x x 3时，yx ；当 x23 ；222故答案为 x ， 3；（2）根据（ 1）中的结果，画出函数 y|

30、 x 3| x 3 的图象如下：2（3）根据画出的函数图象，当a 0 时，直线 y| x3| x 3a1时，ax 1 与函数 y只有一个交点；当2第 19 页（共 24 页）直线 yax 1 与函数 y 3( x3) 的图象有一个交点，与函数y x( x3) 无交点；当a2时，直线32y x 1 经过点 (3,3) 3故若关于 x 的方程 ax1| x3| x 3 只有一个实数根，实数a 的取值范围： a 0 或 a1或 a2，23故答案为 a 0 或 a1或 a2326（ 6 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ax22 x(a0) 与 x 轴交于点 A ，B（点 A 在点 B 的左

31、侧）（ 1）当 a1 时，求 A ， B 两点的坐标；（ 2）过点 P(3,0) 作垂直于 x 轴的直线 l ，交抛物线于点 C 当 a 2 时，求 PBPC 的值；若点 B 在直线 l 左侧，且 PBPC14，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围【解答】 解：（ 1）当 a1 时，有 yx22 x 令 y 0 ，得：22x0 x解得 x1 0 ， x22 点 A在点 B的左侧，A( 2,0) ， B(0,0) （2） 当 a 2时，有 y22 x 2x令 y 0 ，得 2 x202x解得 x1 0 ， x21 点 A在点 B的左侧，A(0,0) ， B(1,0) PB2 当 x3 时， yC2 92312PC12 PBPC 14点 B 在直线 l左侧，PBPC14 ，3xax22 x14 ，可得： a,5或 a2 ，9结合图象和 的结论，可得： a0 时， a2 ，a 0 时， a,5 927（ 7 分）已知MON， P 为射线 OM 上的点， OP1（1）如图 1，60 ， A ， B 均为射线 ON 上的点， OA1， OBOA ，PBC 为等边三角形，且O ， C两点位于直线PB 的异侧，连接 AC 依题意将图1 补全；判断