线性代数：1-6 行列式的计算

1、 除了一些除了一些低阶低阶行列式行列式(如二阶、三阶如二阶、三阶)或有很多或有很多零零元素元素的高阶行列式可直接用行列式定义计算外，大多数行列式的高阶行列式可直接用行列式定义计算外，大多数行列式的计算需灵活利用行列式的的计算需灵活利用行列式的性质性质及其展开及其展开法则法则。 先从第先从第1列（列（1，1）位置的元素开始，如果该元素为）位置的元素开始，如果该元素为0, 先将第先将第1行与其行与其它行交换使得（它行交换使得（1，1）位置的元素不为）位置的元素不为0; 然后把第然后把第1行分别乘以适当的数加行分别乘以适当的数加到其它各行到其它各行,使得第使得第1列列（1，1）位置下方的元素全化为）

2、位置下方的元素全化为0。 如此继续下去如此继续下去,直至使它成为直至使它成为, 这时主对角线上元素的这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值乘积就是所求行列式的值. 再从第再从第2列（列（2，2）位置的元素开始，如果该元素为）位置的元素开始，如果该元素为0, 先将第先将第2行与行与下方行交换使得（下方行交换使得（2，2）位置的元素不为）位置的元素不为0; 然后把第然后把第2行分别乘以适当的行分别乘以适当的数加到下方各行数加到下方各行,使得第使得第2 列列（2，2）位置下方的元素全化为）位置下方的元素全化为0。112114124611242100112053240313011123000203

3、035114 1125011203000503 00011200011250392 93222232222322223D 计算例例1 19222932292329223D 解：1222132291232122312220100900100001=9累加累加提公因子提公因子特点：各行元素特点：各行元素 之和相等之和相等一般地，可以计算abbbabbba(1)(1) ()nanb ab1111120213141111111234020000300004用主对角线上的元用主对角线上的元素化去爪的下支素化去爪的下支1111121314D 例例2 2 计算计算 n 阶行列式阶行列式nnaaaaD1111

4、111111111111321不为零。，其中naaa21准准三角形行列式的公式：三角形行列式的公式：111111111111111111110000kkkkkkkkrrrrrrrkkrrrbbbbbbbbaaaaaaaacccc111111111111111111110000kkrrkrrrrrrkkrkkkkrkbbbbbbbbaaaaaaaacccc或或 计算叉形计算叉形(或回形或回形)行列式行列式6,abababDcdcdcd其中未写出的元素为其中未写出的元素为 0 .3112513420111533D5111111550 405526按按零较多零较多的行（列）展开。的行（列）展开。51

5、111110315530010516251500 00nxyxyDxyxyyx 计算 阶行列式 解：按第一列展开，得xyxyxyxxDnnnyx1) 1(yxyxyxyyn1) 1( 证明：证明： (Vandermonde) 行列式行列式222212311111233121111nnnnnnnnVaaaaaaaaaaaa1()ijjinaa 记21314113242243431)()()()()()()()()()nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（对对 n 作数学归纳法作数学归纳法.当当 n = 2 时，时，结论成立结论成立.设对于设对于 n - 1 阶的范德蒙德行列式结论阶的

6、范德蒙德行列式结论成立成立，现在来看现在来看 n 阶范德蒙德行阶范德蒙德行列式列式的情形的情形.对对Vn降阶：自下而上降阶：自下而上, 每行减去前行的每行减去前行的 a1 倍倍,有有2211211Vaaaa2131122221231 3112121221231 310010111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa123222212311111231111nnnnnnnnaaaaVaaaaaaaa2131122221231 3112121221231 31nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa按第1列展开232222131123

7、22223111()()()nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa各列提取公因子n - 1 阶范德蒙阶范德蒙德德行列式行列式213112()()()()nijj i naaaaaaaa 应用归纳假设. )(1nijjiaa例如：例如：2134111141916812764D （）)34)(14)(13)(24)(23)(21 (12148111?1927121341664D （）123 2 122223333123411111(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)aaaaaaaaaaaa （）1233332222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(3)123411

8、11aaaaaaaaDaaaa1111111112222222223333333332abbccaabcabbccaabcabbccaabc证明例1. 叉形行列式的其它解法叉形行列式的其它解法25253535232332322nD法法1第第n+1列加到第列加到第n列列,第第2n列加到第列加到第1列列. 1010353511行减第行第nnn5) 1(2323233232322nD212323232232n212323332332n224nD229nD225nD422)5(nD623)5(nD21)5(Dnn)5(523322D法法27527527527527nD 17nD按第一行展开725725752521107nnDD2. 三线形行列式三线形行列式21107nnnDDD)5