2019届高考理科数学一轮复习学案：第53讲曲线与方程(含解析)

1、第 53 讲曲线与方程考试说明 1.了解曲线与方程的对应关系2.理解数形结合的思想.考情分析考点考查方向考例考查热度直接法求轨迹 方程由条件直接求方程2016 全国卷川20待定系数法求 轨迹方程运用定义设出方程相关点法求轨 迹方程代入求解方程2017 全国卷 I 20真题再现 2017-2013课标全国真题再现1.2017 全国卷 II设O为坐标原点，动点M在椭圆C : +y2=1 上，过M作x轴的垂线,垂足为N点P满足(1)求点P的轨迹方程设点Q在直线x=-3 上，且 f.J? =1,证明：过点P且垂直于OQ勺直线l过C的左焦点F.解:(1)设F(x,y),Mxo,y。)，则Nxo,O),

2、-=(x-xo,y), .=(0,yo).V2由二二得x=x,y= - y.因为M(x0,y。)在C上，所以-+ -=1,因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.证明：由题意知F(-1,0).设Q-3,t),P(mn),则=(-3,t),=(-1-m -n),f丿=3+3m-tn, 一=(m n), ；=(-3-m, t-n).由 二:汽；丄 1 得-3m-rf+tn-n2=1,又由(1)知m+n2=2,故 3+3m-tn=0,点F.2.2013 全国卷I已知圆M(x+1)2+y2=1,圆N(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；I是与圆P,

3、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M-1,0),半径1=1；圆N的圆心为 N(1,0),半径2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+r +(2-R)=1+2=4.由椭圆的定义可知，曲线C是以MN为左、右焦点，长半轴长为 2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方r /程为-+ =1(XM-2).对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2W2,所以R 2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时，其方程为(

4、x-2)2+y2=4.若I的倾斜角为 90 ,则I与y轴重合，可得|AB|=2.若I的倾斜角不为 90 ,由1工R知I不平行于x轴，设I与x轴的交点为Q里EJEL也g贝U1=,可求得Q-4,0),所以可设I:y=k(x+4).由I与圆M相切得=1,解得k= -.当k=-时，将所以次丿 =0,即次丿丄.又过点P存在唯一直线垂直于0Q所以过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦y= _ x+代入-+：=1,并整理得 7X2+8X-8=0.解得xi,2=IS所以|AB|=门+：*|X2-Xi|=.&IS当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.18综上，|AB|=2.一或|AB|=. 2017-

5、2016其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)这个方程的解(2)曲线上的点 方程的曲线2.f(x,y)=O3. 无交点对点演练1.X2-y2=2 解析设P(X,y),由题意得 亠=|X-1|,所以点P的轨迹方程为x2-y2=2.MO2.(X-6)2+y2=4 解析设Mx,y),P(xo,yo),由题意知 一=X,- =y,AXQ=2X-12,yo=2y.又P(Xo,yo)在曲线x2+y2=16上，二+=16, (2x-12)2+(2y)2=16,即点M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4.3.X2-S=1(X -1)解析如图所示,设动圆M与圆G及圆G分别外切于点A和点B,得|眈2

6、巩2=|,|MC|-|AC1|=|MA|.因为阴1=昭1,所以卩心|叫| 廻-也|=2,这表明动点M到两定点C2, G 的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大于到C的距离),这里a=1,c=3,则b2=8,故点M的轨迹方程为x2-g=1(x0)或y=0(x0);若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其2方程为y=0(x0).故动圆圆心M的轨迹方程为y=4x或y=0(x2,点P的轨迹是以(-1,0),(1,0) 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,r / c=1,2a=4,得b=，因此所求点P的轨迹C的方程为-+ U.r /坦 3 配合例 3 使用设

7、FI,F2分别为椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点设点K是中所得椭圆上的动点，求线段FiK的中点M的轨迹方程.解：(1)易知椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到FI,F2两点的距离之和等于6,得 2a=6,即a=3.在椭圆上，所以*+. =1,得b2=8,于是c2=1.故椭圆C的方程为:+ =1,焦点为F1(-1,0),F2(1,0)设K(x1,y1),则线段F1K的中点Mx,y)满足x=一，y=一, 即X1=2x+1,y1=2y,(2计I)：防 乎/因此 T+ =1,即 ：+=1 为所求的轨迹方程增分微课(承上启下)破解解析几何自测题 角度(1)若椭圆C上的点A到F,F2两点的距离之和

8、等于6,写出椭圆C的方程和焦点坐标1.解：因为P在线段F2A的中垂线上,所以|PF2|=|PA|,所以|PF2|+|PFI|=|PA|+|PFI|=|AFI|=4|FIF2|,所以轨迹C是以FI,F2为焦点的椭圆，且c=1,a=2,故轨迹C的方程为：+：=1.2.解：如图，因为。C内切。O于点A所以r-仁 2,解得r=3,所以。C2的方程为（x-1）2+y2=9.因为直线PQPR分别切。C,。C于QR所以GQ! PQGRX PR连接PM在 Rt PQIWRt PRM中 ,|PQ|=|PA|=|PR|,|PM|=|PM|,所以|QM|=|RM|,所以|MC|+|MC2|=|MQ|+|CIQ|+|

9、MC|=|MR|+|CIQ|+|C2M|=|CIQ|+|C2R|=42=|GC|,所以点M的轨迹C是以C,C2为焦点，长轴长为 4 的椭圆（除去长轴端点）,r /所以M的轨迹C的方程为-+1=1（y丰0）.角度二1.解:设Qx,y),P(xo,yo),由于.=,则有(x,y)=(xo,yo),i：x0=3x翅塹则QFD =37-又 Rxo,yo)在椭圆E上,所以有4 + 2 =1,T 所以点Q的轨迹M的方程为+ =1.2.解：依题意得 2c=4,则F1(-2,0),F2(2,o),所以椭圆C与抛物线C2的一个交点为 R2,于是 2a=|PFi| +|PF2|=4.,从而a=2.又a2=b2+c

10、2,所以b=2,所以椭圆C的方程为亍+亍=1.角度三1.解：依题意，|NM|=|NF|,即轨迹C为抛物线，其焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,二轨迹C的方程为y2=4x.22.解：设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线y =8x上,2 2所以 4y =16x,即y =4x,所以曲线C的方程为y2=4x.角度四1.解：由已知，易得AB的坐标分别为(0,0),(4,4), 设H(xo,yo)(xoM0,xoM4),AB的中垂线方程为y=-x+4,AH的中垂线方程为y=-：x+2+,联立,解得圆心坐标为N -，I .1工乌-=因为y= x2,所以y=_,所以抛物线在点H处切线的斜率为-.

11、因为X0 0,X04,所以X0=-2,所以H点坐标为(-2,1).角度五1.解:由题意知A(-2,0),B(2,0)沟为yl片1设P(xo,yo),则kik2=7：2 .=【=：=-_.由题知,直线OMIy=kix,直线0Ny=k2X,设M(xi,y.1则厶MON勺面积S=|- .-I | sin /x2+2y2=4,4由“如得峙=+笛,同理可得=-:,故有 4 虽(屮2)2畤1檄沁护吟费】,11郦峰+1又kik2=-_,故 4S2=- 一 =8, .M0勺面积为定值.2.证明：不妨设点E H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m,E(xi,yi),H(X2,y .S

12、im鯨42得(3+4k2)x2+8kmx+4mi-12=0,则X1+X2=-,X1X2=-) )rJz 3(綸切血*呵3由kEG-kFH=M：Z=-,得：.=；*.；$：=-2 2所以 2m-4k -3=0.旦 _卩6(12官伽均原点到直线EH的距离为d=,|EH|=丫小恥|x1-x2|=-: T所以S四边形EFG=4SAEO=2|EH|故四边形EFGH勺面积为定值4 一.NX2,y2).NO肿丽际砂1 1=_ |xiy2-x2yil=-|xi1-k2X2-x2kixi|=_|(ki-k2)xiX2|,联立角度六1.证明：设直线MN的方程为x=my+nMxi,yi),N(x2,y2),y2=4

13、xt由l戈二+ 氏得y2-4my4n=0.所以yiy2=-4n.yr2 n-2 44 又kMP=g=. u-,同理可得kNP=.-,所以 -+ -=2,化简得yiy2=4,又因为yiy2=-4n,所以n=-1,所以直线MN过定点(-i,0).2.证明：椭圆C的左焦点为(-i,0).依题意，设直线MN的方程为x=ty-i(t丰0),M(xi,yi),N(x2,y2),则M(Xi,-yi)且Xi工X2,yi+y2 0,消去x,并整理得(312+4)y2-6ty-9=0,222则=(-6t)-4X(-9)(3t +4)=144t +1440,氐9yi+y2=h徳,yiy2=-f禺也直线MN的方程为y

14、+yi=：；y.(x-xi),令y=0,y血)fiii+iift nto-iHyzM血哉得x=I +Xi=厂.=.=- .-i=. ： .-i=-4,故直线MN恒过定点(-4,0) 角度七i.解:设直线l的方程为x=my-3(m),P(xi,yi),Qxz y2),则直线AP的方程为y-仁二(x-2),可得M . -，即M .-挖12”如”直线AQ的方程为y-仁二(x-2),可得N . -,0 ,即N一-.iX =rny+3,联立F +2尸=6,消去x,整理得(2+rm)y2+6my=0,由=36mi-12(2+mi)0,可得m1,yi+y2=-2+fll“，yiy2=2fffi,(2*加3

15、(2砌巧(2-ffi)n-3 (2砌4所以|BM|+|BN|=3-+3- - = 6 -. -(4刑允卄(忖5)$+业片6=6-24附I) 24 _=6-=；加工=6-用，2424因为 m,mi1,所以m,因此 0优+54,所以 26-优+50,即 48(3k2-mf+4)0,且x计X2=- .：,X1X2=,又直线I与圆x2+y2=2 相切，所以心+1=,即m=2(k2+1),_ Q1+护也 8二护+ 4 屈 I+肚朋*2 所以|MN|=+启工 41 左=丙 = 和 ,4诵jM+t 2M9 -/Ii2I -/I - I 令 3k2+4=t 4,16,则|MN|= : .=: -,因为. J,

16、所以d2=：“ =,1 1则SMOB=_|AB|d=_ 2d=42当且仅当-d2=d2,即d2=时,等号成立,所以AOB面积的最大值为22.解：设P(X1,y,Qx2,y2),PQ的中点为(x,y。)，将直线y=kx+mk工 0)代入4 +y =1,得(1+4k)x +8kmx+4m-4=0,1飾1- - - -所以 =16(1+4k2-m2)0,则xo=-(X1+x?)=- i；：匚，y=-(y1+y2)=：mI角度八n:所以：Xk3w|MN|w一X,所以|MN|j宁用I.M 11因为(-1,0)是以PQ为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，所以曲；4=-，即 3km=l+4k2,所以k2,

17、11丄设O到直线I的距离为d=咯，则厶OPQ勺面积S=d|PQ|=一卜暮x1 1当，=,即k= 时，OPQ勺面积最大，为 1.角度九1.解：直线AB的斜率为定值,理由如下：当/ACDhBCD寸,kA(+kBc=O,设直线AC的斜率为k,则直线BC的斜率为-k.设A(xi,yi), 0X2,y2).ir _则AC的直线方程为y- _=k(x-1),与-+ =1 联立，整理得(3+4k2)x2-4k(2k-3)x+4k2-12k-3=0,则 1+X1=一 ：.4i(2k+3同理可得 1+X2=.、,8代妳所以X1+X2= 4疳，X1-X2=；U,Ml緇卄星卜2k 11则kA=/= 珈氓 =_,因此直线AB的斜率是定值一.2.解：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(xi,yi),(X2,y2),y=H + l,得(4k2+3)x2+8kx-8=0,5其判别式 0,所以X1+X2=：.八，X1