2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：3.1导数

1、第三章导数3.1 导数考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.导数的概念 及其几何意 义1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.理解22(1),4 分8(文),5 分21(文),约 6 分03(2)(自选),5 分2.导数的运算会用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求函数的导数，并能求简单 的复合函数的导数.掌握22(1),2 分22(2),2 分21(文),约 3 分22(1),7 分21(文),约 2 分03(2) (自选),约 2 分20(1),约 6 分分析解读i . 导 数 是 高 考 中 的 重 要 内 容 . 导

2、 数 的 运 算 是 高 考 命 题 的 热 点，是 每 年 的 必 考 内 容 .2.本节主要考查导数的运算，导数的几何意义，考查函数与其导函数图象之间的关系.3 预计 2019 年高考中，导数运算的考查必不可少，同时要注意对切线的考查，复习时应引起高度重视.五年高考考点一导数的概念及其几何意义1. (2016 山东,10,5 分)若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sinx B.y=lnx C.y=exD.y=x3答案 A2. (2014 课标n,8,5 分)设曲线 y=ax

3、-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=()A.0B.1C.2D.3答案 D13. (2017 课标全国I文,14,5 分)曲线 y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 _ .答案 x-y+仁 04. (2017 天津文,10,5 分)已知 a R,设函数 f(x)=ax-lnx 的图象在点(1,f(1)处的切线为 I,则 l 在 y 轴上的截距为 _ .答案 15. (2016 课标全国m,15,5 分)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线 y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 _.答案 y=-2x-1b6. (2014 江

4、苏,11,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是_.答案 -37. (2014 江西,13,5 分)若曲线 y=e-x上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 _ .答案(-ln2,2)8. (2016 浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5 分)求曲线 y=2x2-lnx 在点(1,2)处的切线方程.1解析因为(2x2-lnx)=4x-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为 3. 因此，曲线在点(1,2)处的切线方程为 y

5、=3x-1.9. (2013 浙江,22,14 分)已知 a R,函数 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3. 求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2) 当 x 0,2时，求|f(x)| 的最大值. 解析由题意得 f(x)=3x2-6x+3a, 故 f(1)=3a-3.又 f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.(2)由于 f(x)=3(x-1) /3(a-1),0 x 2.故(i)当 a 0 时，有 f(x) 1 时，有 f(x) 0,此时 f(x)在0,2上单调递增，故|f(x)|max=max|f(0)|,|f(2)|=3a-1.(iii)

6、当 0a1 时，设 X1=1-=,X2=1+ ：,则 0 x1x20,f(x1)-f(x2)=4(1-a) ： - 0. 从而 f(X1)|f(X2)|.所以 |f(x)|max=maxf(0),|f(2)|,f(x1).21当 0a|f(2)|.又 f(x”-f(0)=2(1-a) : - -(2-3a)=0,故 |f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a) ；：.22当 a f(0).又 f(X1)-|f(2)|=2(1-a) -(3日-2)=： -,23所以当 a|f(2)|.故 f(X)max=f(X1)= 1+2(1-a)：.3当 v a1 时,f(X1) |f(2)|.故 f(

7、x)max=|f(2)|=3a-1.l+2Cl-a)%.Ta,0a1,求 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解析(1)当 a=1 时,f(x)=6x2-12x+6,所以 f(2)=6.又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y=6x-8.记 g(a)为 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f(x)=O,得到 x 仁 i,x2=a.当 a1 时，x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2aL f(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值 3a-1单调递减极小值 W(3-a)单调递增4a3比较 f(0)=0 和 f(a)=

8、a2(3-a)的大小可得 卩，la3,g(a)= -111 当 a-1 时,x0(0,1)1(1,-2a)-2af(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增-28a3-24a2得 g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为3 a-1,a-l,0,133,g(a)=11.(2017 北京文,20,13 分)已知函数 f(x)=excosx-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；解析本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性、最值(1) 因为 f(x)=excosx-x,所以 f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)

9、=0.又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=1.(2) 设 h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则 h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.I G 时,h(x)0,7712.(2017 山东文,20,13 分)已知函数 f(x)= x3- ax2,a R.(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值(2)求函数 f(x)在区间J 上的最大值和最小值所以 h(x)在区间上

10、单调递减.所以对任意 x -有 h(x)h(0)=0,即 f(x) 0,所以 h(x)在 R 上单调递增.因为 h(0)=0,所以当 x0 时,h(x)0;当 x0 时,h(x)0.(1) 当 a0 时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当 x 匕(-g,a 时,x-aO,g(x)单调递增；当 x 匕(a,0)时,x-a0,g(x)O,g(x)O,g(x)单调递增.1所以当 x=a 时 g(x)取到极大值，极大值是 g(a)=- a3-sina,当 x=0 时 g(x)取到极小值，极小值是 g(0)=-a.(2) 当 a=0 时,g(x)=x(x-sinx),当 x 匕(-*，+ 时,g(

11、x) 0,g(x)单调递增；所以 g(x)在(-*，+ *上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.(3) 当 a0 时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当 x 匕(-* ,0 时,x-a0,g(x)单调递增；当 x 匕(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当 x=0 时 g(x)取到极大值，极大值是 g(0)=-a;1当 x=a 时 g(x)取到极小值，极小值是 g(a)=- a3-sina.综上所述：1当 a0 时，函数 g(x)在(-* ,0 和 (a,+ *上单调递增，在 (0,a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0)=-a,极

12、小值是g(a)=- a3-sina.教师用书专用(1319)113. (2015 陕西,15,5 分)设曲线 y=ex在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_ .答案(1,1)14. (2015 课标n,16,5 分)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切，则 a=_ .答案 815. (2014 广东,10,5 分)曲线 y=e-5x+2 在点(0,3)处的切线方程为 _.答案 5x+y-3=016. (2017 山东,20,13 分)已知函数 f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cos

13、x-sinx+2x-2),其中 e=2.71828是自然对数的底数.(1) 求曲线 y=f(x)在点(n,f(处的切线方程；令 h(x)=g(x)-af(x)(a R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义和极值.(1) 由题意知,f(n)=2,又 f(x)=2x-2sinx,所以 f(n)=2n,因此曲线 y=f(x)在点(n,f(处的切线方程为 y-(n-2)=2n(xn即 y=2nx-Q-2.(2)由题意得 h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),因为 h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-s

14、inx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-si nx),令 m(x)=x-sinx,贝 U m(x)=1-cosx 0,所以 m(x)在 R 上单调递增.因为 m(0)=0,所以当 x0 时,m(x)0;当 x0 时,m(x)0.(i) 当 a0,当 x0 时,h(x)0 时,h(x)0,h(x)单调递增，所以当 x=0 时 h(x)取到极小值极小值是 h(0)=-2a-1;(ii) 当 a0 时,h(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由 h(x)=0 得 xi=lna,x2=0.1当 0a1 时,lna0,当

15、x (-a,lna),ex-elna0,h(x)单调递增；当 x (lna,0)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当 x=lna 时 h(x)取到极大值,极大值为 h(lna)=-a(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,当 x=0 时 h(x)取到极小值，极小值是 h(0)=-2a-1;2当 a=1 时,lna=0,所以当 x (-a，+ 时,h(x)0,函数 h(x)在(-，+ o 上单调递增，无极值；3当 a1 时,lna0,所以当 x (-a,0)寸-elnavo,h(x)0,h(x)单调递增；当 x (0,lna)时,e-el

16、na0,h(x)0,h(x)单调递减;当 x (lna,+at,e0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当 x=0 时 h(x)取到极大值极大值是 h(0)=-2a-1;当 x=lna 时 h(x)取到极小值，极小值是 h(lna)=-a(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.综上所述：当 a 0 时,h(x)在(-a,0 上单调递减，在(0,+a上单调递增，函数 h(x)有极小值，极小值是 h(0)=-2a-1;当 0a1 时，函数 h(x)在(-a,0 和 (lna,+ 型单调递增，在(0,lna)上单调递减，函数 h(x)有极大值，也有极小值，极大值是 h(0)=

17、-2a-1,极小值是 h(lna)=-a(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.I x-a17. (2013 湖南,22,13 分)已知 a0,函数 f(x)=仪+2 自.(1)记 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a)求 g(a)的表达式;是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.a-xx-a議解析 当 0Wxa 时,f(x)=.因此，当 x (0,a)时,f(x)= :0,f(x)在(a,+ 上单调递增.1若 a4,则 f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)

18、=f(0)=.1 4-3 A- 1若 0a4,则 f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,4)上单调递增 所以 g(a)=maxf(0),f(4).而 f(0)-f(4)=廿；,故当 0aw14-三1时,g(a)=f(4)=厂三;当 1a4 时,f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求.当 0a4 时,f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,4)上单调递增 若存在 X1,X2(0,4)(x1X2),使曲线 y=f(x)在(X1,f(x1),(x2,f(x2)两点处的切线 互相垂直，则 X1 (0,a),X2 (a,4)且 f(x” f(x2)=-1.-3a3a亦即 X1+2a= .(*)由

19、 X1 (0,a),x2 (a,4 得 Xt+2a (2a,3a) 3些1因为 4“3a,所以当且仅当 02a1,即 0a解析(1)y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2.从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1).1 n令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 Xn=1-=：-证明由题设和(1)中的计算结果知Tn/-当 n=1 时,T1=综上可得对任意的 n N*,均有 Tn八19.(2013 北京,18,13 分)设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线.故(*)成立等价于集合的交集非空.所以 Tn2

20、ivl 1宀八=x0( ? x0,x 工 1).g(x)满足 g(1)=0,且g(x)=1-f(x)=当 0 x1 时,x2-10,lnx0,所以 g(x)1 时,x2-10,lnx0,所以 g(x)0,故 g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0( ? x0,x 工 1).所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方.考点二导数的运算1.(2014 大纲全国,7,5 分)曲线 y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2e B.eC.2D.1答案 C2._ (2013 江西,13,5 分)设函数 f(x)在(0,+ 明内可导，且f(ex)=x+ex,则 f(1)=_答案 23

21、.(2017 浙江,20,15 分)已知函数 f(x)=(x-(1)求 f(x)的导函数；求 f(x)在区间=上的取值范围解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力(1)因为区、也丄)=1-1,(e-x)=-ex,(2)由 f(x)=* 1=0,解得 x=1 或 x=.因为x1|21偲)俗+)f(x)-0+0-f(x)I0/又 f(x)=( -1)2e-x 0,所以 f(x)在区间上的取值范围是4. (2016 北京,18,13 分)设函数 f(x)=xea-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4.所以

22、f(x)=)e-x求 a,b 的值;(2) 求 f(x)的单调区间.解析 因为 f(x)=xea-x+bx,所以 f(x)=(1-x)ea-x+b.rf(2) = 2c+2(pe：i 2+2b2e+2,依题设，知1二即.-I-解得 a=2,b=e.(2) 由(1)知 f(x)=xe2-x+ex.由 f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0 知,f(x)与 1-x+ex-1同号.令 g(x)=1-x+ex-1，则 g(x)=-l+ex-1.所以，当 x (-a,1 时,g(x)O,g(x)在区间(1,+ 上单调递增.故 g(1)=1 是 g(x)在区间(-，+ 上的最小值，从而 g(

23、x)O,x (-a，+a).综上可知,f(x)O,x (-a，+a故 f(x)的单调递增区间为(-a，+a).三年模拟A 组 2016 2018 年模拟基础题组考点一 导数的概念及其几何意义1. (2018 浙江镇海中学 12 月测试,2)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切则 a 的值为()A.2B.1C.-1 D.-2答案 A2. (2017 浙江测试卷,4)已知直线 y=ax 是曲线 y=lnx 的切线，则实数 a=()1111A. B. C. D.：答案 C3. (2017 浙江衢州质量检测(1 月),14)已知函数 f(x)=x3+2ax2+1 在 x=1 处的切线的

24、斜率为 1 则实数 a=_，此时函数 y=f(x)在0,1最小值为 _.1 23答案-4. (2017 浙江台州质量评估,20)已知函数 f(x)=x3+|x-a|(a R).(1)当 a=1 时，求 f(x)在(0,f(0)处的切线方程;当 a (0,1)时，求 f(x)在区间-1,1上的最小值(用 a 表示).解析 当 a=1,x1 时,f(x)=x3+1-x,f(x)=3x2-1,所以 f(0)=1,f(0)=-1,所以 f(x)在(0,f(0)处的切线方程为 y=-x+1.(2)当 a (0,1)时，由已知得 f(x)=lx3_x+a1xa-当 a x0,知 f(x)在(a,1)上是单

25、调递增的.当-1 x-、3丄对定义域内的 x 都成立，求 a 的取值范围.1解析(1)由 f(x)=-ln(x+b)+a,得 f(x)=-,所以f二山得bn 1. (6 分)当 b=0 时,f(x)-L；丄对定义域内的 x 都成立，即-lnx+a -恒成立，所以 a Inx-恒成立 则 a (Inx- 1)max.(9 分)11v21-x令 g(x)=lnx-，则 g(x)=：Fj . .(11 分)1_ 1-严1令 m(x)=:匕丄_x,则 m(x)=-：八 一_1= t _二 1 ,令 m(x)0,得 x1,所以 m(x)在 上单调递增，在(1,+ 上单调递减 所以 m(x)max=m(1

26、)=0,(13 分)所以 g(x) ln .(15 分)33.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中,20)已知函数 f(x)= +alnx(a0).(1) 若曲线 y=f(x)在点 P(1,f)处的切线与直线 y=-x 平行,求函数 y=f(x)的单调区间；若对任意 x (0,+g都有 f(x)0 成立试求实数 a 的取值范围；(3)记 g(x)=f(x)+2x-b(b R),当 a=1 时，函数 g(x)在区间e-1,e上有两个零点，求实数 b 的取值范围解析(1)直线 y=-x 的斜率为-1.函数 f(x)的定义域为(0,+g),f(x)= + ,所以 f(1)=-3+a=-1,解得 a=

27、2,(3 分)所以 f(x)= +2lnx,f(x)=.33由 f(x)0,得 x 由 f(x)0,得 00),33由 f(x)0,得 x，由 f(x)0,得 0 x0 成立，二f-0,3即 a+aln 0,(9 分)又 a0, ln!-1,得 0a0),2X2+X-3 (2X+3)(X-1)Jg(x)=,由 g(x)0,得 x1,由 g(x)0,得 0 x1.所以 g(x)的单调递减区间为(0,1)単调递增区间为(1,+g),则 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1).(12 分)因为函数 g(x)在区间e-1,e上有两个零点，所以 I 和山b3e+-lfb5,3/. 5b -1 时，记

28、f(x)的极小值为 H,求 H 的最大值.解析(1)f(x)=-(x0),由题知,f(1)=1,解得 a=0.(2)令 f(xo)=0,则 2 -axo-1=0, 日+J+82解得 xo=-，且2-仁 ax0.可知 f(x)在(0,xo)上递减，在(xo,+a上递增，则 H=f(x)极小值=f(x0)= -ax0-lnx0=- +1-lnx0.自+身+8记 g(a)=-(a -1),当 a 0 时,g(a)为增函数;2当-1 a0,由点斜式得所求切线方程为y 二 x-.(2)f(x)=+x-(a+2)=,因为 x 1,2,所以有1当 a2 时，函数 f(x)在区间1,2上为增函数.此时 f(x)max=f(2)=2aln2-2a-2.2当 Ka2 时，函数 f(x)在区间1,a上为增函数 在区间a,2上为减函数 此时 f(x)max=f(a)=2alna- a2-2a.3当 a1 时，函数 f(x)