《为什么要证明》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】

第七章平行线的证明7.1为什么要证明教学设计一、教学目标经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．二、教学重点及难点重点：了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．难点：会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．三、教学用具多媒体课件，三角板。四、相关资源《视觉错觉》多图，《铁丝围地球一圈》图片，《三角形中位线》图片．五、教学过程【情境导入】以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论．观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！图1图2（1）图1中两条垂直线段a,b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请先观察，再设法检验你观察到的结论．答：观察感觉线段a,b的长度不相等，通过实际测量，线段a,b的长度相等；观察感觉正方形往里凹，但用直尺比较，四边形的边是直的并且长度相等，所以是正方形.如图，把地球看成球形，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流．分析：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．设计意图：通过呈现的几个素材，让学生认识到基于观察和直觉的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的推理论证。【合作探究】探究：数学的结论必须经过严格的论证此图片是视频缩略图，本视频资源通过具体实例引入负数，加深对负数的理解，适用于正数和负数的教学.若需使用，请插入【情景演示】认识负数.此图片是视频缩略图，本视频资源在“为什么要证明引入—眼见未必真实”学习中使用，加深对样本的代表性的理解。若需使用，请插入【情景演示】为什么要证明.做一做：（1）代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试．你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，式子n2－n＋11的值都是质数吗？解析：把0，1，2，3，4，5等自然数代入n2－n＋11中进行验证．解：列表归纳为n01234567891011…n2-n+1111111317233141536783101121是否为质数是是是是是是是是是是是不是当n＝0，1，2，3，4，5时，n2－n＋11的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝11,时，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112.所以对于所有自然数，式子n2－n＋11的值不都是质数．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．DE与BC有怎样位置关系和数量关系？请先猜一猜，在设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴交流．分析：通过测量可能得出猜想DE∥BC，DE=BC，并通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻求更为可信的证明．方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证．设计意图：对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备．“做一做”呈现的两个素材，让学生感受到归纳和测量得到的结论也未必可靠．议一议：实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段．通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的?说说你的经验与困惑．师生活动：让学生列举更多的例子．同时，在讨论中自然形成共识：寻求一种办法，更为明确的说明一个结论的正确与否．设计意图：通过相互交流，让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识，进而认识到证明的必要性．【典例精析】例1先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.设计意图：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．例2当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？解析：对于代数式(n2－5n＋5)2，n的取值为正整数，要判断(n2－5n＋5)2的值是否为1，可以先取值分别求出代数式的值．解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1.方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．【课堂练习】1.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答：线段b与线段d在同一直线上.2.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？答：不一定。当n=6时，n2+3n+1=55=5×11，是一个合数.3.下列结论中你能肯定的是（）BA.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人4.下列问题用到推理的是（）AA.根据a=10，b=10,得到a=bB.观察得到三角形有三个角C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘D.由经验可知过两点有且只有一条直线5.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（）DA.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形6.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；③B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（）DA．嫌疑犯AB．嫌疑犯BC．嫌疑犯CD．嫌疑犯A和C7.如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？解析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD.(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1．要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特