2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课时作业

1、第二节 空间几何体的表面积与体积课时作业A 组一一基础对点练1. （2018 合肥市质检）已知一个圆锥底面半径为1,母线长为 3，则该圆锥内切球的表面积为（）C. 2nD. 3n解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为 2 2,因此 _- = *解得r=，所 以圆锥内切球的表面积为 4n X（-）2= 2n，故选 C.答案：C2.平面a截球O的球面所得圆的半径为 1，球心O到平面a的距离为，2，则此球的体积 为（）A.nB.nC. 4 冷*6nD.64：3n解析：设球的半径为R由球的截面性质得 R=22+ 12= 3,所以球的体积V=4n戌=

2、473n.答案：B3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）32D.解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示,A.nB.3n2B.正主）规图俯视图82V=V柱+V锥=2X(1+1)X1X2+1x-x(1+1)x1X2=咯232、答案：C4如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线（实线和虚线则该几何体外接球的体积为（）答案：B5. （2018 合肥市质检）如图,视图，则该多面体的体积为（-|-41iii-1-i i-M|iH-1.- -1- 1-i-i-Rl1 HUIRiR1*tk故选 C.） 表示的是某几何体的三视图,A. 24nC. 48nB. 29nD.

3、 58n解析：如图，在 3X2X4的长方体中构造符合题意的几何体 为长方体的外接球，表面积为4nR=n（32+ 2 + 4） = 29n（三棱锥A BCD，其外接球即1，实线画出的是某多面体的三正观圉:劇视图;-4;帕段图；:;网格纸上小正方形的边长为3腑抿图：产 -a 1 1 lIIli11) )R4A. 3B. 3 2C. 9D. 9 2解析：由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面11积S=-X(2 + 4)X1= 3，高h= 3，故其体积V= 3Sh= 3,故选 A.答案：A6._ 若三棱锥P ABC勺最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥

4、的外接球的体积是_ .解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R= 1PA= 1,所以该三棱锥的外接球的体积V= 3Xn X13= 4n.答案：3n7.已知矩形ABCD勺顶点都在半径为 2 的球0的球面上，且AB=3,BC= 3,过点D作DE解析：如图所示，BE过球心0 DE= 42- 32-：32= 2,答案：2 3&已知H是球0的直径AB上一点，AH：HB=1 : 2,ABL平面a,H为垂足，a截球0所得截面的面积为n，则球0的表面积为 _ .解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R因为AH：HB=1 : 2，所以O

5、H=R由19勾股定理，有R=r2+0H,又由题意得nr2= n ,贝Ur=1，故R=1+2,1卩R=.由38垂直于平面ABCD交球0于E,则棱锥E ABCD勺体积为皿ABC=1X3X3X2=2 3.59n球的表面积公式，得S= 4nR=2-.9n答案：y9如图，菱形ABCD勺对角线AC与BD交于点0,点E,F分别在AD CD上，AE=CF, EF交BD于点H将厶DEF沿EF折到D EF的位置.(1)证明：ACL HD;5若AB=5,AC=6,AE= 4,0D= 2 2，求五棱锥D-ABCFE勺体积.解析：证明：由已知得ACLBD AD= CD,ZHAE CF亠又由AE= CF得=市故AC/ E

6、FAD CD由此得EFL HD EFL HD，所以ACLHD.丄ZH0HAE1由EF/ AC得50= AD=4.由AB=5,AC= 6 得DO- BO-寸ABA0=4.所以OH=1,D H= DH=3.于是OD2+OH=(2 2)2+ 12= 9=DH故OD丄OH由知，ACLHD，又ACLBD BDH HD=H,所以ACL平面BHD，于是ACLOD.又由OD丄OH ACTOH= O,所以OD丄平面ABC又由EF= 得EF= |.611969五边形ABCFE勺面积S=歹6X8-丁3=.所以五棱锥D-ABCFE勺体积 V= 3X9x22=23厂2.10. (2018 莆田质检)如图，在四棱锥S A

7、BCD，四边形ABCD矩形，E为SA的中点,SA= SB=2，AB=2 3，BC= 3.(1)证明：SC/平面BDE若BCSB求三棱锥C BDE的体积.解析：证明：连接AC,设A8 BD= O四边形ABCD矩形，贝U O为AC的中点. 在厶ASC中,E为AS的中点，SC/ OE又OE平面BDE SC?平面BDESC/平面BDE(2)TBCL AB BCL SB ABA SB= B,BC丄平面SAB又BC/ AD,AD丄平面SAB SC/平面BDE点C与点S到平面BDE的距离相等,V：BDE=MBDE=VD SBE,在厶ABS中，SA= SB=2 ,AB=2 3 ,SAABS=X2 f3X1=3

8、又E为AS的中点,7SABES=1SAABS=_3V.8又点D到平面BES的距离为AD角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2X23 =甘,外接球的半径R=33答案：B2. （2018 广州模拟）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥P ABC为鳖臑，PAL平BEMBES-AD=3X-23X3=BDE=即三棱锥C BDE的体积为-23.B组一一能力提升练1. （2018 湖北七市联考）一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（A. 36nC. 32n112B.nD. 28n解析：根据三视图，可知该几何体是一个四

9、棱锥，其底面是一个边长为4 的正方形，高是2 3 将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4 的正三角形，高是 4,该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球. 三棱柱的底面是边长4 的正三角形，底面S=4nR=4nX28=半上，故选 B.9面ABC PA= AB=2,AC= 4，三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面10积为（）A. 8nC. 20nD. 24n解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心0,易得 2R=PC=20,所以R=，球0的表面积为 4nR2= 20n，选C.答案：C3.在封闭的直三棱柱AB

10、CABG内有一个体积为V的球.若A吐BC AB=6,BC=8,AA= 3,则V的最大值是（）9n32nA. 4nB.C. 6nD._23解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2,球的直径为 4,超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底3面相切，此时球的半径R= 2 该球的体积最大,答案：B4.四棱锥S ABCD勺所有顶点都在同一个球面上，面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于32nA.B.3C. 16nD.底面ABC是正方形且和球心0在同一平8 + & 3,则球0的体积等于（）32 2n316 2n3解析：依题意

11、，设球0的半径为R四棱锥S ABCD勺底面边长为a、高为h,则有hR,12R3即h的最大值是R又AC= 2R则四棱锥S ABCD勺体积VABCD=- X2F2h.因此，当四33棱锥S ABCD的体积最大，即h=R时，其表面积等于（.2R）2+ 4X X2RX2 R2+R= 8+ 8 寸3，解得 R= 2，因此球0的体积等于3R=3，选 A.答案：AB. 12n434n27Vnax=3nR=X =1135. （2017 河北质量监测）多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 _ cm.6已知正四棱锥O ABC啲体积为 竽，底面边长为 3,则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_.1 解析：过O

12、作底面ABCD的垂线段OE图略），贝 UE为正方形ABCD的中心由题意可知-X（3）2XOE=竽，所以OE=竽，故球的半径R=OA=OE+EA= 6，则球的表面积S=4nR=24n.答案：24n7如图，已知正三棱锥RABC勺侧面是直角三角形，PA= 6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF勺体积.解析：（1）证明：因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB丄PD因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABL DE因为PDQ DE= D,所以AEL平面PED故AB丄PG解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥D ABC中,底面ABC是等腰三角形，设底边AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为 4,侧棱AEL平面ABC且A44,11132所以三棱锥D ABC的体积V=TSABC- AD 3X X4X4X4=33 23(cm3).答案:32亍I】:.视图D12又由已知，可得PB,所以G是AB的中点.理由如下：由已知可得PB丄PA PBL PC又EF/ PB所以EF丄PA EF丄PC因此EF丄平面PAC即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG因为P在平面ABC内