高中数学1[1]31函数的单调性课件新人教版必修1[1]

1、1.3.1函数的单调性函数的单调性函数的基本性质思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律们分别反映了相应函数的哪些变化规律复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。下面，我们将按照列表、描点、连线等步骤画出函数 的图象。 （1）列表x-2-1012y41014（2）描点（3）连线（用光滑的曲线连接）得到的图象如图所示。2xy2xy2xyx0y1124-1-2引入：从函数的图象看到图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间0，+ )上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大， 这时我们就说函数y=f(x)= 在0,+ )

2、上是增函数。 图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x在区间（- ，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，这时我们就说函数y=f(x)= 在(- ,0)上是减函数。yxO1124-1-22x2x那么应该如何用数学语言来描述并给出增函数与减函数的定义呢？思考：函数 f(x)=x :则f(x1)= , f(x2)= x12x22函数 f(x)=x 在(0,+)上是增函数。都有xy0 x1x2f (x1)f (x2)在(0,+)上任取 x1、x2 , 因此在f(x)在（0,+）上, 当x增大时, 函数值y相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在（0,+）上是

3、增函数。 x12 x22对任意 x1 x2 , 即对任意 x1 x2 ， 都有 f(x1) x22对任意 x1 x2 , 即对任意 x1 f(x2) x如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 。增函数与减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 。xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)yxo x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)增函数减函数0yx1x2f(x2)f(x1)0

4、yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1

5、x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2

6、)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大

7、的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数由此得出单调增函数和单调减函数的定义的定义. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )， 当当x1 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 增增 区间区间.单调区间单调区间 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是

8、单调减减函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I， 对任意的对任意的 x1,x2 I 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I， 对任意的对任意的 x1,x2 I如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间。单调性与单调区间：注意：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数;函数的单调区间是其定义域的子集。例例1：下图是定义在区间：下图是定义在区间-

9、5，5上的函数上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。yoxoyxyox在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在 增函数在 减函数ab2-，,2abyoxyoxyox在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数在 增函数在

10、 减函数ab2-，,2ab(0)ykx b k(0)y kx bk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca 对任意对任意x x1 1,x ,x2 2 0 0，+）, ,且且x x1 1 x x2 2， 则：则：2121)()(xxxfxf2121xxxx由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得 021 xx021xx于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 0。即即 f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )所以函数所以函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。xxf)(证明:例例2 证明函数证明函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上

11、为增函数。xxf)(三判断函数单调性的方法步骤三判断函数单调性的方法步骤 利用利用定义定义证明函数证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性的上的单调性的一般步骤：一般步骤：1 取值取值： 设任意两个实数设任意两个实数x1、x2有，有， x1，x2D，且且x1x2；2 作差作差：f(x1)f(x2)；3 变形变形：通常是因式分解和配方；：通常是因式分解和配方；4 定号定号：即判断差：即判断差f(x1)f(x2)的正负；的正负；5 下结论下结论：即指出函数：即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的 单调性单调性3.利用定义证明函数单调性的步骤:设值定号作差得出结论2.图象法

12、判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右1.增函数、减函数的定义；上升下降变形课本上习题1.3A组：1 , 2 题数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离. 华罗庚华罗庚判断题：（1）已知f(x)= ，因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是 增函数。（2）若函数f(x)满足f (2)f(3),则函数f(x)在区间2，3 上为增函数。（3）若函数f(x)在区间

13、(1，2和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。（4）因为函数f(x)= 在区间（-，0）和（0，+） 上都是减函数，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是减函数。1x1x1x例5：证明函数 上是增函数。 ），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，且证明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21 ()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函数，在（，即，22)()()(0)()(022, 02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx

14、例6：证明函数 在R上是增函数。xxxf3)(证明：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf则)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xxxxxx1432)(2222212121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。xxxf1)(221xx 021xx上是增函数。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。xxxf1)(2，的定义域为证明：)(xf)1

15、()1()()(),(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且设任意的11)1()1()(11)11()()()(11)()(11)()11(22212222112122212221212121222121212122212221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx21xx 。在其定义域内是减函数即即有，都有对任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01, 0101,110110221212222112222222121思考思考例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(

16、x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 为什么？12121212121122,( )( )()(), ()()()() ()() ()()x xDxxf xDg xDf xf xg xg xF xF xf xg xf xg x且在区间 上是增函数，在区间 上是增函数)()()()(2121xgxgxfxf)()(, 0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数是（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍

17、为减函数？ 为什么？（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是同加，单调性不变例2 如果 是m,n上的减函数，且 ， 是a,b上的增函数，求证 在m,n上也是减函数。 g x ag xb f x fg x 12122121,( ),()().,.,x xm nxxg xm nag xbag xg xbf xa bfg xfg xfg xm n证：且是上减函数，且

18、又是上的增函数,在上是减函数.复合函数:判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。定义域：1、若已知 的定义域为a,b,则复合函数 的定义域由 解出。2、若已知 的定义域为a,b,则函数 的定义域即为 fg x f x ag xb fg x fg x f x ,xa bx当时，函数g的值域。小结：小结：同增异减同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的。研究函数的单调性，首先考虑函数的定定义域义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)()()()(xgfyxguufyxgf

19、y)(xgu )(xfy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数复合函数单调性复合函数单调性注：注：1、复合函数、复合函数y=fg(x)的单调区的单调区间必须是其定义域的子集间必须是其定义域的子集2、对于复合函数、对于复合函数y=fg(x)的单的单调性是由函数调性是由函数y=f(u)及及u=g(x)的的单调性确定的且规律是单调性确定的且规律是“同增，同增，异减异减”例例1.设设y=f(x)的单增区间是的单增区间是(2,6)，求函数，求函数y=f(2x)的的单调区间。单调区间。

20、2,2,62,6 ,22,6 ,4,0 .24,024,024,0 xxfttxxxxxxfxfxxfx 解：令t由已知得，在上是增函数。而t又t在上是单调递减的，由复合函数单调性知：t在上是单调递减的。的单调减区间是。2212,3ux 又在上是减函数。2432,3yxx 在上是减函数。2432,3 。yxx故函数的单调递减区间为小结小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。是定义域的某个区间。？）的单调递增区间是什么问：函数34(2xxy.34. 22的单调递减区间求函数例xxy，即解：03403422xxxx.3 , 131，即函数的定义域为x，故令uyxxu342.增函数是定义域内是的单调递uy 0542 xx解：。函数的定义域为, 51, 542uyxxu则令在定义域内是增函数。uy 上是减函数，在又, 2122xu上是增函数。在2 ,上是增函数。上是减函数，在在1, 5542xxy函数的单调区间。：求练习5412xxy（2）求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间. 注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.（1）掌握复合函数单调性的判断方法）掌握复合函数单调性的判断方法.小结小结同增异减同增异减四、小结四、小结1.概念探究过程：从直观到抽象、从特殊