第一章集总参数电路中的电压电流的约束关系

1、1 1电路及集总电路模型 12电路变量 电流、电压及功率13基尔霍夫定律14电阻元件15电压源16电流源17受控源18分压公式与分流公式19 两类约束 KCL和KVL方程的独立性 110支路分析法第一章第一章 集总参数电路中电压、集总参数电路中电压、电流的约束关系电流的约束关系 1.1.1-1 1-1 电路与电路模型电路与电路模型 一、电路的组成 电路由电源（信号源）、负载、传导和控制部分组成。 如图1-1-1（a）所示 (a)手电筒实际电路(b)手电筒电路模型 对于各种实际的电路元件，在一定条件下，忽略其次要性质，用一个表征其主要物理特性的理想化模型来表示，即理想元件。 对于理想电阻元件，简

2、称为电阻，只表征消耗电能的性质。 二、理想元件 理想电感元件，简称为电感，只表征储存和释放磁场能量的特性。 理想电容元件，简称为电容，只表征储存和释放电场能量的特性。 1-1 1-1 电路与电路模型电路与电路模型 电路符号见图1-1-2。 电阻符号 电感符号 电容符号 图1-1-2 三、电路模型由理想元件组成的电路称为电路模型。电路分析的对象是电路模型。 1-1 1-1 电路与电路模型电路与电路模型 由集总参数元件构成的电路称为集总参数电路。四、集总参数集总参数元件(lumped parameter element)：当实际电路的尺寸远小于其使用时最高工作频率所对应的波长时而抽象出的理想元件。

3、集总参数电路几种常用集总参数元件： RCL sUsi1-1 1-1 电路与电路模型电路与电路模型 例如电力系统的供电频率为50Hz,波长=6000km, 在此工作频率下，电路实验的元件尺寸L0 ，说明电路吸收（消耗）功率；若p0 ，说明电路释放（供给）功率。 当电压与电流取关联参考方向时:1-2 1-2 电路分析的基本变量电路分析的基本变量 已知某支路电压电流参考方向如图所示。 （1）如i=2mA,u=-5mV,求元件吸收的功率， （2）如u=-200V,元件吸收功率p=12kW,求电流。 元件吸收功率-1010-6 W，或供出功率1010-6W。610 10 Wpui 解解：（1）例例1-2

4、-1（2）312 1060A200piu 支路电流是-60A 例例1-2-2 1-2-2 如图所示，(a)已知某支路电流i=5A，u=3V,求功率p。(b)已知电压源支路，i=-2A,us=3V，求功率p。 +_(a) (b) 例例1-2-2 解：解：（a）电压电流为非关联方向 p=-ui=-35=-15W 支路供出功率15W (b) 电压电流为关联参考方向p=ui=3(-2)=-6W 供出功率6W 11( )ttttw tpduid能量的单位是焦耳（J）。例例1-2-31-2-3已知图1-2-6（a）中某元件电流 , i电压 的波形如（b）（c）所示,求1）求元件吸收的功率；2）求元件吸收的

5、能量及平均功率。 u2.能量 ( )w t 若电路的电流和电压符合关联参考方向，在 到 时刻内该电路吸收的能量为:1tt例例1-2-2解解：1）由图示波形写出电流和电压的表达式如下： 1 03312 V363tti ttts 14 03312 V 363ttu ttts 1.元件吸收的功率 2241 0339( ) ( )14 W 369tttp ti t u tttS 在0t1，则uo us，此时受控源起着线性放大的作用。受控电源的功率，根据电源与电流的参考方向，其获得的功率为p = u1iL= u1( u1/RL)= (u1)2/RL可见，受控源向外提供功率，为一有源元件。例例1-14 含

6、CCCS电路如图1-7-2（a）所示，试求电压uo和流经受控源的电流图1-7-2 例1-14图1-7 受控源受控源i4i62110Auo(a)uou610Ai4i21(b)解解 为了分析方便，将图(a)画成图(b)，注意正确标出控制量与被控质量的方向首先，在列写方程时，将受控源看做独立源。根据KCL有1-7 受控源受控源uou610Ai4i21010)4(216iuu010)3436uuu（其次，找出控制量与被求量之间的关系，并代入方程求解3ui V12u所以A4312i故得V8)(20iu流经受控源的电流为A164 i在电路分析中，串联电路的分压公式和并联电路的分流公式是很有用的公式。12

7、uiRR1-8 分压公式和分流公式分压公式和分流公式1212=+u uuRiR i一、串联分压公式NR1R2uu1u2由KVL及欧姆定理得因而由此可得uRRRu2111uRRRu2122一般情况下，n个电阻串联，第k个电阻的电压为uRRunkkkk11-8 分压公式和分流公式分压公式和分流公式二、电位及电子电路的习惯画法在电子电路中常把金属壳作为导体，因而把一些应连在一起的元件一端分别就近与机壳相联，机壳往往称为“地”虽然它并不与大地相连接。如图1-8-1(a)所示。图1-8-1 电子电路中分压电路的习惯表示形式R2R1us2u113u1R1R2us213(a)(b)在有了电位的概念以后，电路

8、中各点对“地”的电压习惯上就用电位表示，因此就有了电路的习惯画法。图(a)得分压电路的习惯画法如图(b)所示。例1-15 空载直流分压电路如图1-8-2所示，R1=R2=R3=100，求节点电压U1及U21-8 分压公式和分流公式分压公式和分流公式解 注意U1、U2均系指节点1、2到参考节点的电压，U1并非R2上的电压，而是R2+R3两端的电压。R2两端的电压应记为U12。因此有图1-8-2 例1-15图例1-16 图1-8-3(a)所示电路为双电源直流分压电路，试说明U1可在+15V至15V间连续变化。电位器电阻为R，为1、3间的电阻在电位器总电阻R中所占比例的数值，0 1.U1R1R215

9、0V21R2U2V100100200200150RRRRR150U321321V50100200100150RRRR150U321321-8 分压公式和分流公式分压公式和分流公式解 首先将习惯画法的电路变成我们熟悉的电路，如图(b)所示。根据图(b)有图1-8-3 例1-16图015-15-RIV)(RIUR15V1U1R15V(a)R15V1U1R15V(b)I23当滑动端1已知2时，。15VU1当滑动端1已知3时，15VU10当滑动端1在其他位置时，则根据KVL有RI30得所以有可见，当滑动端移动时，随之而动，U1将在+15V与15V之间连续可变。12 iuGG1-8 分压公式和分流公式分

10、压公式和分流公式1212= +i iiGuG u一、并联分流公式NG1G2ui1i2串联电路可以起到分压作用，并联电路则可以起到分流作用。如右图所示电路中，根据KCL有因而由此可得iGGGiiGGGiiGGinkkkki可见，并联电导中的任一电导的电流等于总电流乘以该电导对总电导的比值。若有n个电导并联，不难得出第k个电导的电流为思考题PP431-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 一、电路的两类约束一、电路的两类约束 求解电路所需独立方程数 ：（1）电路的结构约束：节点电流约束 KCL 回路电压约束 KVL（2）电路的元件约束：电阻元件、电源元

11、件、受控 源的VCR设一电路有b条支路，每条支路需求一支路电流和一支路电压则共需求2b个未知量，则共需2b个独立方程才能求解该电路。b条支路有b各元件约束，可提供b个独立元件约束方程，这样要求结构约束也能提供b个独立方程。1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 二、二、KCLKCL方程的独立性方程的独立性 一般来说，一个具有n个节点的电路，可得到的独立的KCL方程数为n1。 i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234图1-9-1 电阻电路一例图1-9-1所示电路有4个节点，5条支路。现依次对4个节点列写KCL方程，有iiii

12、iiiiii这4个方程式中只有3个是独立的，例如，第4个式子可由前3式相加、减得出。1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 所有n各节点的KCL方程之和为 KCL独立方程数的证明每一支路接在两个节点之间。因而每一支路电流对一个节点为流出（设为if），则对另一个节点为流入（if）。因此如对所有的节点列写KCL方程，每一支路电流将出现两次，且一次为正，一次为负。这一结果表明，对电路的n个节点列写的n个KCL方程式非独立的（线性相关）。 nkbjjjkiii)()(但是，从n个方程中任意去掉一个，余下的(n-1)方程一定是互相独立的。一般来说，对于n节

13、点电路，任意选择(n-1)节点列写的KCL方程一定是互相独立的。三、三、KVLKVL方程的独立性方程的独立性 对图1-9-1所示电路列些回路KVL方程。先对两个网孔列写KVL方程：一般来说，如果一个电路有b条支路，n个节点，则该电路的独立回路KVL方程数为（b- n+1）。1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234图1-9-1 电阻电路一例suuusuuu另外，还可对外回路列写KVL方程。ssuuuu实际上，外回路的方程可由两个网孔方程相加获得。这就是说，不是所有的回路方程都是独立的。

14、1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 下面分两步证明： KVL独立方程数的证明为了证明简单，以平面电路为例。所谓平面电路就是可以画在一个平面上而不使任何两条支路交叉的电路。（a）一个平面电路有b-(n-1)个网孔；用数学归纳法证明平面电路的网孔数m =b-(n-1)。（b）b-(n-1)个网孔的KVL方程是独立的；论证当m=1时，由图1-9-2可知，这一关系是无疑是正确的。图1-9-2 m=1假设对一个具有m个网孔的电路该式也是正确的。则当电路改为（m+1)网孔时，该式仍为正确，即可得证。1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVL

15、KVL方程的独立性方程的独立性 当网孔数为m+1时，一般情况下，设在m个网孔的任意两个节点间增加串联的k条支路，很显然这k条支路 必然经过(k-1)个节点，因此这时电路具有的支路数、网孔数和节点数分别是：图1-9-3 网孔数为 m+1k-1123k具有m个网孔kbb mm)(knn由于)(nbm，因而)()()()(nbknkbknkbnbmm可见，网孔数的公式依然正确。1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 所有网孔KVL方程是独立的的证明 mkbjjjkuuu)()()(但是，去掉一个网孔方程（可去掉外沿网孔方程），其余m个方程一定是互相独立

16、的。而电路的网孔数m=b-(n-1)，所以，一个电路可以提供b-(n-1)个独立网孔方程。图1-9-4 网孔及外沿网孔对于具有m个网孔的平面电路，如果把边界也看成是一个包围外部“空间”的网孔，则共有m+1个网孔。设网孔的绕行方向如图所示，则对这m+1个网孔列写KVL方程时，每个支路电压将在这些网孔方程中出现两次，一次为正，一次为负。所有方程之和为四、两大约束提供的独立方程数四、两大约束提供的独立方程数 （1）元件约束提供的支路电流和支路电压VCR约束方程数：b条支路可提供b个独立的支路约束方程 （2）结构约束提供的KCL、KVL独立方程数 ： KCL节点方程数：n-1 KVL网孔方程数：b-(

17、n-1) KCL、KVL工提供的独立方程数： n-1+ b-(n-1) = b 所以，两大约束提供的独立方程数为所以，两大约束提供的独立方程数为2b个。因个。因此根据电路两大约束关系列写电路方程完全可此根据电路两大约束关系列写电路方程完全可以解出电路中各支路电流和支路电压。以解出电路中各支路电流和支路电压。 1-9 1-9 两类约束两类约束 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 电路分析的典型问题是：给定电路的结构、元件的特性以及各独立源的电压或电流（激励），求出电路中所有的支路电压和电流，或某些指定的支路电压、支路电流（响应）。1-10 1-10 支路分析支路分析 支路分析就

18、是以支路电流或支路电压为变量对电流求解。以支路电流为变量求解称为支路电流法，以支路电压为变量求解称为支路电压法。由于每一给定支路电流和电压之间并不独立，只要求出其中一个，就可以根据它们的约束关系求出另外一个。所以在实际中，并不需要同时以支路电流和支路电压为变量求解的，而是以支路电流或支路电压为变量对电流求解。 对于一个有b条支路的电路，同时以支路电流和支路电压为变量求解，共有2b个变量，需要有2b个电路方程，称为2b法；而分别一支路电流或支路电压为变量求解则有1b个变量，需要1b个电路方程，称为1b法。 仍以图1-9-1电路为例说明。该电路有5条支路，有5个支路电流变量，需要5个独立方程，这5个独立方程分别来自于KCL和KVL1-10 1-10 支路分析支路分析i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234 对于两个网孔得到KVL： 一、支路电流法对3个任一节点得到KCL:iiiiiiisuiRiRsuiRiR注意：在支路电流法中列写KVL方程是先根据元件约束关系将各支路电压用相应的