建筑制图第二章 正投影基础2

1、A采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A作作H面的投射线面的投射线（垂线），与投影面（垂线），与投影面H的交点即的交点即为点为点A在在H面上的面上的投影投影。B B1 B2 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影22 22 点的投影点的投影解决办法？解决办法？HaHbHWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）

2、投影轴投影轴oXZOX轴轴OZ轴轴OY轴轴Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直V面与面与H面的交线面的交线H面与面与W面的交线面的交线V面与面与W面的交线面的交线WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。aaaAZY向下翻向下翻投影面展开投影面展开aHa WYHa VXZOWHVoXa aa AZY不动不动向右翻向右翻YwY点的投影规律点的投影规律:Zaza XaywOaaxayHa YHYwX

3、YZOVHWAaa a xaazaywayH 点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴 即 a aOX轴轴点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴 即 a a OZ轴轴点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即 aax= a aza ax= a ayw=A到到H 面面的距离的距离aayH= a az=A到到W 面面的距离的距离=A到到V 面面的距离的距离a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa OXZY三

4、、两点的相对位置三、两点的相对位置ZXYHYWOaaabbb x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上判断方法：判断方法：B点在点在A点之后点之后之左、之下。之左、之下。 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。a a ab b bBA重影点：重影点： 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )(

5、)A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a caabbccaabb cc例例2 2：已知各点的两个投影，求其：已知各点的两个投影，求其第三第三投影。投影。 b ba(c)aa a b b b 两点确定一条直线，将两点两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性ABab直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点ab=0 积聚性积聚性AMBabmabABA32 直线的投

6、影直线的投影直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段投影比空间线段ab=ABa acos一、一、直线的投影直线的投影投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面二、各

7、种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性以正平线为例，讨论其投影特性以正平线为例，讨论其投影特性 :OXZYabababABaXabab baOZYHYW 同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。 直线的正面投影直线的正面投影ab反映直线反映直线 AB 的实长的实长,并且反映并且反映直线直线 AB 对对H、W面的倾角面的倾角、。 直线的水平投影直线的水平投影ab和侧面投影和侧面投影 ab 分别平行分别平行于于OX 轴和轴和OZ 轴。轴。a 投影特性：投影特性：1.正平线正平线只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线b a aba b

8、b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面倾角反映直线与另两投影面倾角。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H H面的夹角面的夹角: : 与与V V面的角面的角: : 与与W W面的夹角面的夹角: : 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 表 2-1 投 影 面 平 行 线zzd 水 平 线投影特性abYHdc立体图投影图名 称CbBzaxaobXHbAoxYWabodcY

9、aWXHDaVzb正 平 线cVceYHfYHecfYWcdfxeYdoWeHXffYWoaezfFoWY侧 平 线VeEz1.ab=AB 2.ab/OX ab/OZ 3.ab反 映 AB的 倾 角a、1.cd=CD 2.cd/OX cd/OYW 3.cd反 映 CD的 倾 角、1.ef=EF2.ef/OYH ef/OZ3.ef反 映 EF的 倾 角a、OXZY2.投影面的垂直线：投影面的垂直线：水平投影水平投影abOX, 侧面投影侧面投影abOZ。投影特性投影特性:直线直线AB的正面投影的正面投影ab积聚成一点积聚成一点;只垂直于一个投影面的直线只垂直于一个投影面的直线。以正垂线为例，讨论其

10、投影特性以正垂线为例，讨论其投影特性:同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。AB（a）babbazX（a）b baOYHYWab 投影面投影面垂直线垂直线的的投影特性投影特性: :铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相反映线段实长，且垂直于相 直线在其垂直投影面上的直线在其垂直投影面上的投影，积聚为一点。投影，积聚为一点。a (b )abb a c d c (d)c d e f efe (f )应的投影轴。应的投影轴。立体图投影图投影特性名 称正 垂 线 铅 垂 线侧 垂 线XYWVzXDVYW

11、EfXYFoWVzABabzoCfeYWYHYHYWaxbYHYWz1.ab积 聚 成 一 点 ;2.ab、 ab=AB1.cd 积 聚 成 一 点 ；2.c d 、 c d = CD1.e f 积 聚 成 一 点 ;2.ef 、 e f = EF. c(d)a(b)cddcc(d)bae(f)a(b)abefefe (f)cdcd表 2-2 投 影 面 垂 直 线zzxx且 ab OX,ab OZ且 cd OX,cd OYW且 ef OYH,efOZ Z Z b b a a c c X X 0 0 Y Yw w c c a a b b Y YH H A AB B 是是 线线， 反反映映 A

12、AB B 实实长长； A AC C 是是 线线。 反反映映 A AC C 实实长长 正正平平线线a ab b a ac cb ba ac c例例5 5： 已知直线已知直线ABAB、ACAC的两投影，求两直线的第的两投影，求两直线的第三投影三投影, ,并指出其空间位置和反映实长的投影。并指出其空间位置和反映实长的投影。 水平线水平线 OXZY三个三个投影投影都都小于实长小于实长，而且而且与三根投影轴都与三根投影轴都倾斜倾斜。 投影特性：投影特性：3. 一般位置直线一般位置直线 与三个投影面与三个投影面都倾斜都倾斜的直线。的直线。abbabaZXaaaOYHYWbbbb ba a 例例4 4：已知

13、立体上直线：已知立体上直线 ABAB、CD CD 的空间位置，的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。在投影图中标注其投影位置，并填空。 a a b b c c d d a a b b c c （d d） (c(c ) ) (d(d ) ) 铅垂铅垂 一般位置一般位置一般位置直线一般位置直线 投影特性：投影特性： 三个投影三个投影都缩短了。即都缩短了。即: 都不反映空间都不反映空间线段的实长及线段的实长及与三个投影面与三个投影面夹夹 角，且与角，且与三根投影轴都三根投影轴都倾斜。倾斜。HXVaWAaOaYBbbbbag三、三、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 点与直线的相对位置可以

14、分为两种，即点与直线的相对位置可以分为两种，即点在点在直线上直线上和和点不在直线上点不在直线上。 （1）若点在直线上，则点的各个投影必在直线）若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同名投影上，并将线段的各个投影分割成定比。的同名投影上，并将线段的各个投影分割成定比。 如图所示，C点在直线AB上，则C点的正面投影 c在直线 AB 的正面投影 ab上，C点的水平投影c在直线 AB 的水平投影ab上，同样c在ab上,而且AC/CB= ac/cbBcaaHbcAACaCWVb= ac/cb=ac/cb，（2）若点的投影有一）若点的投影有一个不在直线的同名投影个不在直线的同名投影上，则该点肯定不在该上，

15、则该点肯定不在该直线上。直线上。 反之，若点的各投反之，若点的各投影分别属于直线的同名影分别属于直线的同名投影，且分割线段的投投影，且分割线段的投影长度成定比，则该点影长度成定比，则该点肯定在该直线上。肯定在该直线上。BcaaHbcAACaCWVbccaYHcXabOaWHbZbYw其投影为：其投影为：BcaaHbcAACaCWVb例例1：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在 AB 上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：

16、空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 例例2：判断图中两条直线是否平行：判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平

17、行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影则其同名投影 必相交，且交点的投影必符合空间一点必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点d b a abcdc1 (2 )3(4 ) 两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线

18、上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？ 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc

19、为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明： b aacbcbaacbcaabcbcabcabcdd b b c c b bc cPPVPHPVPHQVQHQHQVQQ为侧垂面一般位置平面PH 平面平面P的水平面迹线的水平面迹线PV 平面平面P的正面迹线的正面迹线二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-实形性实形性 平面垂直投影面平面垂直投影面-积聚性积聚性 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-相似性相似性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面

20、的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面2、 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面类似形类似形类似形类似形积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：

21、投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？ OXZYPHPPHOXZYQQV AcCabBbaababaccc投影特性投影特性 ：1) 1) a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线 2) 2) abcabc、 a a b b c c 为为 ABCABC的类似形的类似形 3) 3) a a b b c c 与与OX

22、OX、 OZOZ的夹角反映的夹角反映 、 角的角的 真实大小真实大小 OXZY QQVQVOXZYSWS CabABcbaababaccc投影特性投影特性 1) 1) a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线 2) 2) abc abc、 a a b b c c 为为 ABCABC的类似形的类似形 3) 3) a a b b c c 与与OZOZ、 OYOY的夹角反映的夹角反映、角角 的真实大小的真实大小OXZYVWSwSZXOYSwYOXZYCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性： 1) 1) a a b b c c 、 a a b b c c 积聚为一条线，具

23、有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 2) 2) 水平投影水平投影 abcabc反映反映 ABCABC实形实形 OXZY投影特性：投影特性： 1) 1) abcabc 、 a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 2) 2) 正平面投影正平面投影 a a b b c c 反映反映 ABCABC实形实形 cabbacbcabacabcbcaCBAOXZYabbbaccca投影特性：投影特性： 1) 1) abcabc 、 a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 2) 2) 侧平面投影侧平面投影 a a b b c c 反映反映 ABC

24、ABC实形实形bbbacaccCABaOXZYabccabbaaabbccbacABC投影特性：投影特性： (1) (1) abc abc 、 a a b b c c 、 a a b b c c 均为均为 ABCABC 的类似形的类似形 (2) (2) 不反映不反映a a、 、 的真实角度的真实角度例例13:13:已知立体上平面已知立体上平面P P、Q Q、R R的空间位置，在的空间位置，在 投影图中标注其投影位置投影图中标注其投影位置, ,并填空并填空。 r r p p r r q q 水平水平铅垂铅垂侧垂侧垂r r p p p p q q q q （1 1） （2 2） 是是 面面是是 面

25、面 例例14:14:已知平面的两个投影已知平面的两个投影, ,求作其第三投影求作其第三投影, ,并并 填空。填空。 铅垂铅垂侧垂侧垂三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点 平面上取任意直线平面上取任意直线判断直线在平面内的依据判断直线在平面内的依据定理一定理一:若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内面内.定理二定理二:若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内的另一直线，则此直线在该平面内.abcb c a abcb c a d mnn m d例例1010：已知平面由直线：已知平

26、面由直线ABAB、ACAC所确定，试在平面所确定，试在平面 内任作一条直线。内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：根据定根据定理一理一根据定根据定理二理二例例1111：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H H面的面的 距离为距离为10mm10mm。n m nm10c a b cab试想直线试想直线mnmn是否唯一呢是否唯一呢? ?是唯一是唯一的！的！ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1 1：已知：已知K

27、K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解kkbckada d b c ada d b c k bc例例1212：已知：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD 的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题

28、一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行 定理：定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。该直线与此平面必相互平行。n a c b m abcmn例例1515：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。AbcAbc为平面内为平面内的任一直线的任一直线试想试想:可作多少条这样的直线可作多少条这样的直线MN?无数条无数条!正平线正平线例例1616：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。c b a m abcm

29、nn 试想试想:可作多少条这样的直线可作多少条这样的直线MN?唯一的一条唯一的一条! 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直投影面垂直面面相互平行，则它们相互平行，则它们具有具有积聚性积聚性的那组投的那组投影必相互平行。影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交其其交点交点是是直线与

30、平面直线与平面的的公共点。公共点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点交点; ; 判别可见性判别可见性, ,即判别两者之间的相互遮挡关即判别两者之间的相互遮挡关 系。系。Pabcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例例1717：求直线：求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mnmn的交点即的交点即为为K K点的水平投影点的水平投影 求交点求交点 判别可见性判别可见性由

31、水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交平投影积聚成一个点，故交点点K K的水平投影也积聚在该点的水平投影也积聚在该点上。上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MNMN上，在后。上，在后。故故k k 2 2 为不可见。

32、为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法XHVZabcAaBbcacbCY（3）直线和平面都在一般位置）直线和平面都在一般位置直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点有点, ,且满足投影规律且满足投影规律. . 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共交线是两平面的共有线，有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点两个共有点。确定确定一个

33、共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即判别两平面之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。还可通过正面投影直观地进行判别。还可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正正垂面垂面，其正面投影都积聚，其正面投影都积聚成直线。成直线。交线为正垂线交线为正垂线，只要求得交线上的一个点只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。便可作出交线的投影。 求交线求交线 判别可

34、见性判别可见性作作 图图nm例例1818：求两平面的交线并求：求两平面的交线并求MNMN并判别可见性。并判别可见性。b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，是一水平面，它的正面投影有积聚性。它的正面投影有积聚性。a a b b 与与e e f f 的交点的交点m m 、 b b c c 与与f f h h 的交点的交点n n 即为两个即为两个共有点的正面投影，故共有点的正面投影，故m m n n 即即MNMN的正面投影。的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FHFH上，点上，点在在BCBC上，上，点点在上，点在

35、上，点在下，故在下，故fhfh可见，可见，n2n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n n位于位于defdef的外面，的外面，说明点说明点N N位于位于DEFDEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不在在DEFDEF这个图形内。这个图形内。 故故ABCABC和和DEFDEF的交的交线应为线应为MKMK。nn m kmk 互交互交三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平

36、面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。 平面上取任意直线平面上取任意直线abcc a abcb c a mnn m 例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有无数解。有无数解。d d有多少解？有多少解？b 例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距离为面的距离为10mm。n

37、m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例3：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解ckada d b c ada d b c k c例例4：已知已知AC为正平线，为正平线，补全平行四边形补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二bb 属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线 参看：参看：例题例题5 5 例题例题6 6 平面上投影面的平行线平面上投影面的