数学分析的经济应用

1、三三(补充补充)导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用许多领域都有十分广泛的应用. . 下面介绍导数下面介绍导数(或微分或微分)在经济中在经济中的一些简单的应用的一些简单的应用.1.边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念边际和弹性是经济学中的两个重要概念. . 用导数来研究经济用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法，称之为变量的边际与弹性的方法，称之为边际分析边际分析与与弹性分析弹性分析. .(本段内容可参见本段内容可参见微

2、积分教程微积分教程西南财大出版社西南财大出版社)第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 定义定义 经济学中，把函数经济学中，把函数(x)的导函数的导函数 f (x) 称为称为(x)的的边际边际函数函数. 在点在点 x0 的值的值 f (x0) 称为称为(x)在在 x0 处的处的边际值边际值(或变化率、或变化率、变化速度等变化速度等).0000()() ()limxf xxf xfxx 因因为为，所所以以0000()()() (lim0).xf xxf xfxx 0 (),x 当当即即很很小小 时时 在经济学中在经济学中, , 通常取通常取x =

3、1, , 就认为就认为x达到很小达到很小( (再小无意义再小无意义). ).故有故有000(1)()() f xf xfx 000()() ().f xxf xfxx 有有(1)边际函数边际函数第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 例例 某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本件，假设日产品的总成本C(元元)与日产量与日产量 x (件件)的函数为的函数为21( )602050.4C xxx 求求 (1)日产量日产量75件时的总成本和平均成本件时的总成本和平均成本;

4、 ; (2)当日产量由当日产量由75件提高到件提高到90件时，总成本的平均增量件时，总成本的平均增量; ; (3)当日产量为当日产量为75件时的边际成本件时的边际成本. .解解 (1)日产量日产量75件时的总成本为件时的总成本为C(75)=7956.25(元元), 平均成本平均成本 =106.08(元元/ /件件);(75)(75)75CC 实际问题中，略去近似二字，就得实际问题中，略去近似二字，就得(x)在在 x0 处的边际值处的边际值f (x0) 的的经济意义经济意义：即当自变量：即当自变量 x 在在 x0 的基础上再增加一个单位时，的基础上再增加一个单位时，函数函数(x)的增量的增量.

5、.第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值(3)当日产量为当日产量为75件时的边际成本件时的边际成本1( )602C xx 由，由， 边际成本的经济意义边际成本的经济意义: : C(75)=97.5说明当产量说明当产量x= =75件时，件时，再增加再增加1 1件产品的成本为件产品的成本为97.5元元. .75(75)( )97.5().xCC x 得得元元(2)当日产量由当日产量由75件提高到件提高到90件时，总成本的平均增量件时，总成本的平均增量(90)(75)101.25(/);9075CCCx 元元 件件第六章微分中值定理及其应用第六章微分

6、中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 例例 某糕点加工厂生产某糕点加工厂生产A A类糕点的总成本函数和总收入函数类糕点的总成本函数和总收入函数分别是分别是 求边际求边际利润函数和当日产量分别是利润函数和当日产量分别是200公斤，公斤，250公斤和公斤和300公斤时的边公斤时的边际利润际利润. . 并说明其经济意义并说明其经济意义. .22( )10020.02 ( )70.01.C xxxR xxx 和和解解 (1)总利润函数为总利润函数为L(x) = R(x) C(x) =251000.01xx ，边际利润函数为边际利润函数为( )50.02 .L xx (2)当日产量分别是

7、当日产量分别是200公斤公斤、250公斤和公斤和300公斤时的边际利公斤时的边际利润分别是润分别是200(200)( )1(),xLL x 元元(250)0(),L 元元(300)1().L 元元 其其经济意义经济意义: : 当日产量为当日产量为 200公斤时，再增加公斤时，再增加1公斤，则总利公斤，则总利润可增加润可增加1元元. . 当日产量为当日产量为 250公斤时，再增加公斤时，再增加1公斤，则总利润公斤，则总利润无增加无增加. .当日产量为当日产量为300公斤时，再增加公斤时，再增加1公斤，则公斤，则总利润减少总利润减少1元元.第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函

8、数的极值与最值函数的极值与最值(2)弹性弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时，弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时，所作出反映的强弱程度，即弹性是用来描述一个量对另一个量所作出反映的强弱程度，即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量的相对变化率的一个量. . 定义定义 若函数若函数 y = (x) 在点在点 x0(0) 的某邻域内有定义，且的某邻域内有定义，且f(x0)0，则称，则称 x 和和 y 分别是分别是 x 和和 y 在点在点 x0 处的处的绝对增量绝对增量，并称并称00000()() ()f xxf xxyxyf x 与与分别为自变量分别为自

9、变量 x与与(x)在点在点 x0 处的处的相对增量相对增量. .第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值00000() ( )0lim ( ) ().xy f xyf xxx xf xxx 设设当当时时，极极限限存存在在，则则称称此此极极限限值值为为函函数数在在点点处处的的，记记定定义义作作弹弹性性 由弹性定义可知若由弹性定义可知若 y = (x) 在点在点 x0 处可导处可导. . 则它在则它在 x0 处的处的弹性为弹性为 0()x 000() : 1% ( ) () ( 1%);xxxf xx 弹弹性性的的经经济济意意义义是是 在在处处，当当

10、 产产生生的的改改变变时时，就就会会产产生生的的改改变变注注(3)弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关. .0()0(0) ();(2)xxy 当当时时，与与的的变变化化方方向向相相同同 相相反反000()limxy f xx x 000lim()xxyf xx 000()()fxxf x 第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值31( )2pQ pa p 例例 某日用消费品需求量某日用消费品需求量Q(件件)与单价与单价p(元元)的函数关系为的函数关系为(a是正常数是正常数)，求，求(1)需

11、求弹性函数需求弹性函数(通常记作通常记作 ). .(2)当单价分别是当单价分别是4元、元、4.35元、元、5元时的需求弹性元时的需求弹性. . (1)解解( ) ( )pQ ppQ p 由由44.3550.92,1,1. 5.21( )pppppp 易知易知: : 任何需求函数对价格之弹性任何需求函数对价格之弹性 ，均满足，均满足p 0.p ( )Q p 3111ln.322pa 33111ln32212ppapa 0.23p 第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 在商品经济中，商品经营者关心的的是提价在商品经济中，商品经营者关心的的是提价(

12、p0)或降价或降价(p 0)对总收益的影响对总收益的影响. . 下面利用需求弹性的概念，可以得出价格变下面利用需求弹性的概念，可以得出价格变动如何影响销售收入的结论动如何影响销售收入的结论. .( )( )( )pQ ppdQpQ pQ pdp 因因为为，() pp 所所以以价价格格 的的微微小小变变化化 即即很很小小时时 而而引引起起的的需需求求量量的的改改变变为为 pdQp dQppQdQpQQdpQ dppp pQpQp 需需求求量量的的相相对对改改变变量量为为*(3)弹性的进一步研究弹性的进一步研究第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值

13、 (1)若若 (称为高弹性称为高弹性)时，则时，则 R 与与 p 异号异号. . 此时，降此时，降价价(p 0)将使收益减少；将使收益减少；1p (2)若若 (称为低弹性称为低弹性)时时, , 则则 R 与与 p 同号同号. . 此时，降此时，降价价(p 0)将使收益增加；将使收益增加；1p 0(1)ppppRQ p 由由知知，从而有结论从而有结论: : (3)若若 (称为单位弹性称为单位弹性)时，则时，则 R0 . . 此时，无论是降此时，无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响价还是提价均对收益没有明显的影响. .1p ( ) R ppQ 销销售售收收入入的的改改变变量量为为 ()()(1

14、)pRpQd pQQdppdQQdp 第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 由此对前例而言：当由此对前例而言：当p = = 4时，时， (低弹性低弹性)，此时降此时降价使收益减少；提价使收益增加；价使收益减少；提价使收益增加；0.92 1p 1p 1.151p 当当 p = = 4.35 时；时； (单位弹性单位弹性)，此时，降价、提价对收，此时，降价、提价对收益没有明显的影响益没有明显的影响; ; 当当 p = = 5 时，时， (高弹性高弹性)，此时降价使收益增加；，此时降价使收益增加；提价使收益减少提价使收益减少.第六章微分中值定理及其

15、应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 * *例例 某商品的需求量为某商品的需求量为2660单位，需求价格弹性为单位，需求价格弹性为1.4. .若若该商品价格计划上涨该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变假设其他条件不变) )，问该商品的需求，问该商品的需求量会降低多少量会降低多少?解解 设该商品的需求量为设该商品的需求量为Q，在价格上涨时的改变量为，在价格上涨时的改变量为 Q=Q26608%1.4ppp ， 思考题思考题: : 用类似方法用类似方法, , 对供给函数、成本函数等常用经济对供给函数、成本函数等常用经济函数进行弹性分析，以预测市场的饱和状态及商品的价

16、格变函数进行弹性分析，以预测市场的饱和状态及商品的价格变动动等等. .且且1.4 8% 266297.920()ppQQp 单单位位第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值2. .函数最值在经济分析中的应用函数最值在经济分析中的应用 在经济管理中，需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利在经济管理中，需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等，这些问题都可归结为求函数的最大润最大的一系列价格策略等，这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题值和最小值问题. . 下面举例说明函数最值在经济上的应用下面举例说明函数最值在经济上的应

17、用. .(1)平均成本最小平均成本最小例例 某工厂生产产量为某工厂生产产量为 x (件件)时，生产成本函数时，生产成本函数(元元)为为2( )9000400.001.C xxx 平平均均成成本本函函数数是是解解求该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小求该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小? 并求出其最小平并求出其最小平均成本和相应的边际成本均成本和相应的边际成本. .( )9000 ( )400.001 .C xCxxxx 第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值29000 ( )0.001,Cxx 318000 ( )0,Cxx ( )0 3

18、000.Cxx 令令得得从从而而稳稳定定点点唯唯一一. .3000 x 当当产产量量件件时时，平平均均成成本本达达到到最最小小，且且最最小小平平均均成成本本 (3000)46(/)C 元元 件件 ( )400.002C xx 而而边边际际成成本本函函数数为为 3000 (3000)46(/).xC 故故时时相相应应的的边边际际成成本本为为元元 件件.显显然然，最最小小平平均均成成本本等等于于其其相相应应的的边边际际成成本本3000(0,)x 故故是是区区间间上上唯唯一一的的极极小小值值点点. .第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值000( )

19、()()0,x xL xR xC x (2)最大利润最大利润 设总成本函数为设总成本函数为C(x)，总收益函数为，总收益函数为R(x)，其中，其中x为产量，则为产量，则在假设产量和销量一致的情况下，总利润函数为在假设产量和销量一致的情况下，总利润函数为 假设产量为假设产量为 x0 时，利润达到最大，则由极值的必要条件和时，利润达到最大，则由极值的必要条件和极值的第二充分条件，极值的第二充分条件，L(x)必定满足必定满足: :000( )()()0.x xL xR xC x 可见，当产量水平可见，当产量水平 x=x0 使得边际收益等于边际成本时，可使得边际收益等于边际成本时，可获得最大利润获得最

20、大利润. . L(x) = R(x) C(x)第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值)()()(pCpRpL .64900016160802 pp，16160160)( ppL.)(101，且是唯一稳定点，且是唯一稳定点元元得得 p时时，元元，故故当当又又因因)(1010160)101( pL).(167080)101()(元元有有最最大大值值，且且最最大大值值为为 LpLpQ8012000 QC5025000 例例 假设某种商品的需求量假设某种商品的需求量Q是单价是单价p (单位单位:元元)的函数：的函数： ；商品的总成本是需求量的函数：商品

21、的总成本是需求量的函数： ，每单位商品需纳税每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品价格和最大元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润利润.解解 总利润函数为总利润函数为，令令0)( pL)5025000()2)(8012000(Qpp 第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值函数的极值与最值 例例 某商家销售某种商品的价格满足关系某商家销售某种商品的价格满足关系p = 70.2x(万元万元/ /吨吨), , 且且x为销售量为销售量(单位单位: :吨吨)，商品的成本函数为，商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元万元) (1)若每销售一吨商品，政府要征税若每销售