第1章绪论√ 有限元

1、第1章 绪 论 1.有限元法发展概况有限元法发展概况2.有限元法在工程中的应用有限元法在工程中的应用3.有限元法的解题过程有限元法的解题过程4.有限元软件简介有限元软件简介1.1 有限元法发展概况1 什么是有限元在工程中有许多力学问题和场问题，尽管人们已建立了求解这些力学问题和场问题的基本方程和边界方程，但是只有少数简单的问题才能求出解析解。对于数学物理方程较复杂，物体边界又不规则的问题，采用解析法求解在数学上会遇到难以克服的困难，因此会寻求各种行之有效的分析方法。有三条有效的解决途径：一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到它在简化状态下的解答。这种方法只在有限的情况

2、下可行，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的解答。二是数值解法，如有限差分法、边界元法、有限元法、离散元法和加权余量法等。对于非线性问题，其中以有限元法更为有效，且已经出现了许多通用程序。三是利用现代科学知识，提出新的求解方法。有限差分法 是从方程本身的角度出发，将问题的基本微分方程和边界条件化为差分方程，从而将求解微分方程问题转化为求解代数方程组问题比如，我们要求解下面的问题),( ,),( ,2222syxffyxFfyfxfyfxf在求解域上画上差分网格，将每个结点的 1,2阶导数通过有限差分方式，变换成函数 f 的结点值。泰勒展开式 对于任意场函数 f，其泰勒展开式为300332

3、0022000)()(! 31)()(! 21)()(xxxfxxxfxxxfff20310223102)( 2)(hfffxfhffxf；02220010222003)(2)()(2)(xfhxfhffxfhxfhff考虑在1，3 点展开，略去三阶以上的高阶小量从上式解出一、二次偏导数在0点的值这样就把二阶偏微分方程转化为仅包含函数值的代数方程。边界单元法 依据边界积分方程，将物体的边界离散化，建立边界未知量的代数方程组，求出边界未知量后，进而求解域内的未知量边界元法基于边界积分方程，而建立边界积分方程的基础有两个，一是基本解，二是功的互等定理（贝蒂互换定理）。基本解 一单位力作用于无限大域

4、中产生的应力和位移互换定理 （功的互等定理）。设弹性体受到两种力系作用，产生两种状态。状态一相应的体力、面力、应力、应变、位移分别是)1()1()1()1()1(,iijijiiuFf)2()2()2()2()2(,iijijiiuFf状态二相应的体力、面力、应力、应变、位移分别是 由功的互等定理得siiiisiiiisuFufsuFufdddd)1()2()1()2()2()1()2()1(当状态一取实际状态，状态二为单位集中力时，功的互等定理为siiiisiiisuFufsuFuddd)1()2()1()2()2()1()1(有限单元法 的理论基础是变分原理。常用的变分原理有最小势能原理、

5、最小余能原理和混合变分原理。采用不同的变分原理，将得到不同的未知场变量。当采用最小势能原理时，必须假设单元内位移场函数的形式。这种以位移作为基本未知量的分析方法称作位移法。当采用最小余能原理时，须假设应力场的形式，这种方法称为应力法。当采用混合变分原理，例如基于 Hellinger-Reissner 变分原理的混合板单元，就必须同时假设某些位移和某些应力，因而这种方法称为混合法。当用有限元法处理瞬态问题时，常用的变分原理是 Hamilton原理。进行静力分析时，对大多数问题，应用位移法较简单。因此，这种方法得到了广泛的应用。有限元法是从结构本身出发，将连续问题离散化为一个个单元，以插值函数表示

6、单元内场函数的分布规律，建立平衡方程（或通过变分原理建立有限元方程），从而将求解微分方程问题转化为求解代数方程组问题。有限单元法处理弹性力学问题的基本思路是：离散化：将受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体。单元之间只在结点上互相联系，亦即只有结点才能传递力；单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系； 整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程、引入边界条件、解线性方程组求出位移以及计算单元应力。有限元法主要优点是：概念清楚，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究；适应性强，府用范围广，不仅能成功地分析具有复

7、杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到求解数学方程中的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题；已经出现了许多大型结构分析通用程序，如ASKA、SAP、NASTRAN、ADINA、ANSYS、ABAQUS等。这些优点, 使有限单元法得到了广泛的应用和发展。2 有限元的发展史1909年，里兹(Ritz)提出求解连续介质力学近似解的方法，利用未知量的试探函数将势能泛函近似化，然后由求泛函极小值条件，导出求解未知量的代数方程组1943年，科朗（Courant）将里兹法作了重要推广，将 ( 平面）求解区域进行三角形剖分，在每个三角形的区域上引入分片线性函数1947年，电子

8、计算机问世，为有限元法提供了强大的计算工具1960年，克拉夫(Clough)最先提出“有限元”(Finite Element Method）这一术语，把杆件结构力学的位移法推广到求解连续介质力学问题1960年代开始，有限元理论的研究与应用快速发展： 单元研究：协调元、非协调元，不同形状单元；应用领域：三维问题、板壳问题、材料非线性和几何非线性、动力分析、流体力学、渗流、热传导、电磁场分析；方法研究：位移法、力法、混合法、杂交法；半解析半数值法：有限条法、边界元法、有限元线法发展趋势；集成化：一个有限元程序包含各种单元、多种材料；通用化：一个有限元程序可以包含静力分析、动力分析、热传导、电磁场分

9、析等；智能化：输入图形化、网格自动化分；可视化：计算结果可以多方位、多层次的图形图象表示。1.2 有限元法在工程中的应用1 有限元法优越性l能够分析形状复杂的结构l能够处理复杂的边界条件l能够保证规定的工程精度l能够处理不同类型的材料l能够处理随时间变化的材料l能够处理随温度变化的材料2 有限元法在工程中的应用在科学技术研究中，广泛用于机械、交通、电子电气、生物能源、石油化工、航空航天、汽车船舶、轻工纺织、水利地矿、土木工程等领域在结构工程中，用于桁架、框架、板壳屋顶、剪力墙、桥梁、预应力混凝土结构；结构的固有频率与振型、结构的稳定性；应力波的传播、非周期性荷载作用下的结构相应在岩土力学中，用

10、于坑道、地下通道、岩石节理、土与结构相互作用、分层堆积与机器基座的应力分析；坝水库系统和土结构相互作用的固有频率和振型；和时间有关的土壤与岩石中瞬态渗流、应力传播在水力学及水资源工程、流体动力学中，势流、自由表面流、边界层流、粘性流、空气动力学问题、水工结构；水池、湖泊、港湾的固有频率和振型、容器中液体的晃动；非稳定流动和波的传播问题、多孔介质中的瞬态渗流 1.结构离散化：将计算结构划分成许多单元组成的体系；2.单元分析：分析每一个单元的位移与所受荷载的关系；3.荷载向节点移置：将作用在非结点上的荷载移植到结点上；4.建立结构的平衡方程：建立结构所受荷载与位移的关系；5.引入边界条件：考虑结构

11、所受的约束条件；6.求解平衡方程：解出每一个结点的位移；7.计算单元中的位移、应变和应力。1.3 有限元法的解题过程有限元法的一个简例1 结构离散化如图1(a)所示的直杆，受重力作用沿 x方向将直杆离散成 n 个单元，共有n+1个节点，如图1(b) 将单元和节点依次进行编号，如图1(c)结点所受的力（单元对节点的作用力以及荷载作用在节点上的力） 如图1(d)所示。2 选择位移插值函数对于整个直杆来说，位移函数是不知道的，但在每个单元内，可以近似地假设一个位移函数，使其在节点处等于节点位移假定第i个单元中的位移函数为eiiiiiiiiiiiiiiiiiNuulxxlxxlxxulxxuxxluu

12、uu)()(11111）（BxAxluuxluuuiiiiiiii11这里11 ,iieiiiiuulxxlxxN3 求出应变与应力在第 i 节点（截面ab）处，应力的合力为eeiiiiiiiiBlluulxxlxxxxu11dddd11eeiiSllEE11iiieiiiluuAEllAEAEAF1114 荷载向节点移植按照静力等效原则，将体积力移置到节点上11221ieqlff5 建立节点平衡条件i 点受力如图1(d)所示，平衡方程为即0)1(2)(11iiiiffFF0)(211iiiillqFF)(2)()(1111iiiiiiiillqluuEAluuEA节点n+1受力如图2所示，平

13、衡方程为)(21)(21)( 0nnnnnnfluuEAfF，)(2)()(1223llqluuEAluuEA)(2)()(2334llqluuEAluuEAlqluuEA2)(34现假设将直杆划分为3个单元，每个单元的长度为 l，各节点的平衡方程为节点2： 节点3： 节点4： 24324322321)(2)2()2(qluuEAqluuuEAqluuuEA经化简后得 6 引入边界条件从约束条件可知，结点1的位移u1=0，代入方程组得2432432232)(2)2()20(qluuEAqluuuEAqluuEA2/1111101210122432qluuuEA写成矩阵形式或FK7 解线性代数方

14、程组将上述线性代数方程组进行求解，求出节点位移：EAqauEAqauEAqau29,28,25242322LEAqaLEAqaLEAqaLEAqaLEAqaLEAqa2398 11232985 112321550 1123223222221LAqaLAqaLAqa2329215232221计算单元中的应变和应力有限元法的一般步骤1 结构离散。即将研究对象分割成有限元单元体，使相邻单元仅在节点处相连接，构成单元结合体。并用这个单元结合体代替原来的研究对象进行分析计算。2 单元分析。研究对象的位移场是未知函数，但是我们可以在单元内假设一个位移函数来模拟位移场，通过弹性力学的几何方程、物理方程和平衡

15、方程，求出单元节点位移与节点力的关系式。将这个关系用矩阵表示，即可得单元刚度方程。3 荷载移置。实际问题中，很多荷载不是作用在节点上，而是作用在单元的边上，有限元分析时需要按静力等效原则将非节点荷载向节点移置。4 建立结构的平衡方程。以每一个节点作为隔离体建立平衡方程，这个方程是一个线性代数方程组，这个过程在有限元中称为整体分析。在整体分析时，并不需要一一建立节点平衡方程，而是采用节点编号法由单元刚度矩阵集合为整体刚度矩阵。5 引入边界条件。研究对象受到外界约束，在求解平衡方程之前应考虑约束作用，即将已知节点的位移引入到平衡方程中，称为引入边界条件。6 解线性代数方程组。研究对象的未知量是节点

16、位移。7 计算单元中的位移、应变和应力。1.4 有限元法的软件第一个通用（商用）有限元程序是SAP(Structural Analysis Program）其后有很多软件问世如 ANSYS， NASTRAN ， ADINA ，MARC等结构分析的有限元软件的功能大致包括：弹性力学、框架分析、离岸结构、地震动分析、结构元件与机械零件、结构稳定性、转子轴承系统、气动弹性力学、复合材料、桥梁系统、薄壳厚壳结构、瞬态分析、结构最优化、粘弹性分析、焊接问题、冲击波传播、船舶结构、管道系统、热应力与蠕变、断裂力学、塑性力学、非线性连续介质等主要有限元软件的功能程程序序名名称称框框架架分分析析离离岸岸结结构构地地震震分分析析面向图形的有限元程序 机械零件、结构稳定性 转子与轴承系统气动弹性力学 复合材料、瞬态分析 桥梁与梁系统 薄壳、厚壳 结构优化 粘弹性分析 焊接问题 冲击波传播船舶结构、管道系统热应力与蠕变断裂力学塑性分析非线性连续介质ADINAXXXXXXXXANSYSXMARC XNASTRAN XXXXXXXX XXXXSAP XXXXXXXXXXXX参考文献1.监凯维奇有限元法(上下册)北京：科学出版社，197