高等数学：11-3函数幂级数

1、函数项级数一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .,120 xxxnn例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果Ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, ,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .)()(limxsx

2、snn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x x的收敛问题的收敛问题, ,实质上是数项实质上是数项级数的收敛问题级数的收敛问题. .问题问题：如何确定函数项级数：如何确定函数项级数的收敛域？的收敛域？3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?),(xsn解解121)( nnxxxxs时如果1 xxxn 11,1时当 xx 11,1时当 x级数级数收敛于收敛于级数级数发散发散可以用级数敛散的定义求收敛域。可以用级数敛散的定义求

3、收敛域。解解由比值判别法，由比值判别法，x 0时，时，)()(1xuxunn 12 nx)(0 n).,(故级级数的收敛域x=0时时,级数显然收敛，级数显然收敛，可以用数项级数判敛法求收敛域。可以用数项级数判敛法求收敛域。解解由比值判别法由比值判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故

4、级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或又如又如, 级数级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散级数发散 ;所以级数的收敛域仅为所以级数的收敛域仅为 总结：总结：一般函数项级数收敛域求法一般函数项级数收敛域求法1.借助于已有级数（几何级数，借助于已有级数（几何级数，p级数）敛级数）敛散性散性2.借助于数项级数，利用比值（根值）法借助于数项级数，利用比值（根值）法求求. 1x,1时收敛当x,10时但当 x步骤：步骤：1.用比值（根值）法求用比值（根值）法求 ；)(x. )x()x()x(lim1nnnuu即即2.解不等式解不等式, 1)(x求出求出1)(nn

5、xu的收敛区间的收敛区间);,(ba3.考查考查)( ,bxax时，级数时，级数1)(nnau) )(1nnbu的敛散性；的敛散性；4.写出写出1)(nnxu的收敛域。的收敛域。)()(limxxunnn或或例例. 求级数求级数12) 1() 1(nnnnxx的收敛域。的收敛域。解：解：01,2xxRx)x()x(lim)x(1nnnuu) 1() 1()2)(1() 1(lim212nnxxnnxxnnn12xx解不等式解不等式112 xx原级数化为原级数化为01x令令0 x得得1) 1(1nnn收敛；收敛；原级数化为原级数化为令令1x1) 1(1nnn收敛；收敛；原级数收敛域是原级数收敛域

6、是0 , 1二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :下面只需讨论下面只需讨论,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发散域发散域 0nnnxa阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家挪威数学家, 近代数学发展的先驱者近代数学发展的先驱者. 他在他在22岁时就解决了用根式解岁时就解决了用根式解5 次方程次方程的不可能性问题的不可能性问题 , 他还研究了更广的一他还研

7、究了更广的一 并称之为阿贝尔群并称之为阿贝尔群. 在级数研究中在级数研究中, 他得他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路拓了道路. 数学家们工作数学家们工作150年年. 类代数方程类代数方程, 他是椭圆函数他是椭圆函数C. 埃尔米特曾说埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群后人发现这是一类交换群,定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散,

8、,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa（绝对收敛）（绝对收敛）,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论x

9、o R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域xO界界 点点讨论：讨论：在界点处在界点处函数项级数是否函数项级数是否有相同敛散性？有相同敛散性？答：答：在界点处级数可能收敛，在界点处级数可能收敛，也可能发散也可能发散，在两个界点处的，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论敛散性未必相同，要单独讨论.RR 因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，后来遇到的全部是发散点后来遇到的全部是发散点. .起初只遇到收敛点，起初只遇到收敛点，如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整

10、个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的幂级数的收敛（开）区间收敛（开）区间., 0 R规定规定, R收敛区间收敛区间0 x;收收敛敛区区间间),( .问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0

11、x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 0)1( 即即,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x.0 nnnxa发散级数;1 R收敛半

12、径收敛半径当当1| x , 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收敛半径收敛半径,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数. 0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.注意注意（1 1）缺项的幂级数不能直接用此定理缺项的幂级数不能直接用此定理解决：解决：（iiii）用一般级数收敛域求法）用一般级数收敛域求法（i i）作变换）作变换112nnnxa12nnnxa（2 2）也可以由根值法求收敛半径也可以由根值法求收敛半径例例1. 设设1) 1(nnnxa在在1x处

13、收敛，处收敛，则此级数在则此级数在2x处收敛性如何？处收敛性如何？解解: 令令1 xy设级数设级数1nnnya的收敛半径为的收敛半径为R。级数级数即即, 21yx1nnnya收敛，收敛，由阿贝尔定理由阿贝尔定理22 R,12Ryx 即即又又.2处处级级数数绝绝对对收收敛敛x例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1

14、()4(1nnnnxn nnna limnn lim, , R级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0R收收敛敛区区间间),( .;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法

15、法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x法一法一, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 令令,2tx 则级数为则级数为 1!)!2(nnntn即可直接应用公式。即可直接应用公式。练习练习. 求下列幂级数的收敛域 :.!0nnxn 解解: limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收

16、敛 .练习练习.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由练习练习.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn

17、此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x例例. 在幂级数在幂级数nnnnx02) 1(2中中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数为奇数,23n 为偶数为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能. 因为因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当当2x时级数收敛时级数收敛 ,2x时级数发散时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明可以证明:比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运

18、算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx以上结论可用部分和的极限证明 .(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛

19、域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)例如例如, 设设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为它们的收敛半径均为,R但是但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11)lim(lim000000 nnxxnnnnnnnxxxaxaxa)()(lim00 xsxsxx (1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单

20、侧侧连连续续.本质本质:逐项求极限逐项求极限2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(注：注：1.收敛半径不变收敛半径不变; 2.积分下限的变化？积分下限的变化？) 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(注：注：1.收敛半径不变收敛半径不变; 2.和函数的性质？和函数的性质？)幂级数的性质常用来求一些简单级数的和：幂级数的性质常用来求一些简单级数的和：如，已知如，已知1|;110 xxxnn1;)1(1)11(201 Rxxnxnn端点处：端点处：1);1ln(

21、111)(00100 Rxdxxnxdxxxnnxnn端点处：端点处：1);1ln(111)(001001 Rxdxxnxdxxxnnxnn即即11);1ln(101 xxnxnn还可得到：还可得到：1|;11)()1(00 xxxxnnnnn例例6. 1nnxn求幂级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散散,例例7. 求级数求级数01nnnx的和函数的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的

22、收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收敛收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及解解: （1）先求收敛域）先求收敛域 （ - ， + ）.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有故有0)(xSexx

23、eCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得故得.!0 xnnenx的和函数的和函数 .因此得因此得（2）设）设内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求也可通过换元

24、化为标准型再求 .乘法运算乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.复习思考复习思考1. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答: 根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 2. 在幂级数nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61则R=？它存在吗?答答: 不能. 因为nnna lim21)1(2limnnn 21 .2R3. 求极限

25、, )(lim221nanaan其中. 1a解解: 令nnanaaS221nkkak1作幂级数,1nnxn设其和为, )(xS易知其收敛半径为 1,则1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa4.2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(21nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x例例 5 5 求求 12)1(nnnn的的和和.解解,)1(1nnxnn