检测与估计习题ppt课件

1、(a)4.3题题似然比为: 1204,0131pyL yypyy第四章第四章01000011111BPHCCCCPH根据贝叶斯准那么，得门限贝叶斯检测器为： 1024131HHL yy因此，判决区域为：1:01/3Dy0:1/31Dy与最小贝叶斯风险：1000001010001011111001001011131201313112420.4519DDrP CP CP CP CCp y HdyCp y H dyydydy根据极大极小准那么，需求找到一个门限 ，使得两种条件代价相等，即(b)0000101001011111P CP CP CP C120314ydydy由题得：0.54793解得：附

2、：求解过程120314ydydy此等式转化为三次方方程3740两个根为虚数，舍去，我们定义三次方方程模型为30ab实根可以写成A B 其中，1 323,24.27bbaA132324.27bbaB平均风险：100112011213112421220.45207rPPydydydy(c) 根据NP准那么，必需找到一个门限 ，满足10fafPP D H20314fydy即方程解:A B1 32241,ffA其中，1 32241ffB因此，检测概率为110.dPP D Hdy4.6题题下 的pdf为：1Hy 1211p yy s0H下 的pdf为：y 0211pyy s似然比：由题得 2211ysL

3、 yys(a)01000011111BPHCCCCPH根据贝叶斯准那么，得门限贝叶斯检测器： 1,00,0Bifyyify1022111HHysys化简得：贝叶斯风险：02201111122111tan2rdydyy sy ss(b)根据极大极小准那么，需求找到一个门限 ，使得两种条件代价相等. 由a可以得到02201111dydyysys(c)虚警概率由门限决议：211fdyys经过变量交换tanys得：121tan111tan2fsds 由反函数可逆性：tan2fs因此检测概率为：211dPdyys经过一个类似的变量交换，可得：111tantan222dfPs4.11题题a01000101

4、11()0.3(10)0.214()0.7(20)BCCCCb010.30.4290.7MAPc0100000111()0.3(1 0)0.214(1)()0.7(2 0)mmCCCCd21exp()0.122NPfyPdy1()0.822(0.8)NPNPerferf所以：第五章第五章5.1题题1kkiiyxk 20221()exp()22kkypykk 21221()()exp()22kkykp ykk 设 ，根据中心极限定律，当 ，有，a由NP准那么，得虚警概率：0()fkkapydy运用变量交换 ，2/2ktyk得到222/ 211exp()()22fkatdterfck 由此得到：1

5、2(2) 2ferfcakb 由检测概率定义得21221()()exp()22kdkkkykPp y dydykk 运用变量交换2() /2ktykk可得：21()22dkPerfck代入a中求得的，可得最终表达式： 11(2)22dfkPerfc erfc由于 ，分母为正数，且定值，为使5.3题题22|( )|( )| w TsnrEN T最大，即使分子最大。把 代入分子中，并且根据Schwartz不等式，snr( )w T2202200| ( )|( ) ()| ( )| ()|TTTw Tuh Tdudh Td可得：即222max00|( )| ( )| ()|TTw Tudh Td*(

6、 )()h tu Tt*()( )h Ttu t当 时 ，进展简单的变换得到即*( )()uh T 因此满足Schwartz不等式等号成立条件snr*( )( )x tAy t分子获得最大值，故而 获得最大值。5.8题题01011(|)PP uuH定义：01v=uu ，010111(|)= (v 0 |)PP uuHPH那么有： 01v=uu由于 为高斯随机变量，并且v1r0 10 12v1001r0 1= v/H 2-= v/H 2(2)EVN 011+2220v201r0 10= (v 0|)1()=exp221()2221()24vvvvPPHvdverfcerfcN 所以：5.12题题

7、令：1( ,.,),nvvv为一组独立同分布的随机变量，它的概率密度分布函数为： 1( )( )niip vp v即：11111exp()1,:( )0nniiievvinHp v当，其它00100exp()1,:( )0nniiievvinHp v当，其它贝叶斯准那么1010(v)v =(v)HBHpLp（ ）由题得01000011111BP HCCCCP H似然比为10()11,( )0nievinL v 当，其它分情况进展讨论：1当一切的 大于等于 时，iv110()( )nL ve()1 010()0( )1nnL ve 所以 判决为检测到目的。 ( )BL v2当任一 小于 时，iv

8、1( )0L v 所以 判决为没有检测到目的。 ( )BL v 10010000001010001011111001001011()121(1)2iDDnvinnrP CP CP CP CCpv dvCpv dvedvee最小贝叶斯风险：由题得： ，110(|)()1(|)iiip yHL yp yH5.13题题a贝叶斯检测器可以写为：1iy ()1iL y 1D当 ，判决为 。 否那么， ，0iy 1()12iL y，判决为 。0Db最小风险：010 10101011110224C PC Pc 由于一切变量相互独立，111010(|)(|)( )(|)(|)NiiiNiiip yHp yHL

9、 yp yHp yH Log似然比为：1101ln(|)ln ( )ln(|)NiiNiip yHL yp yH 假设0H为真，一切 等于0。 iy所以011ln (|)0NNiiiip yHy因此，设计一个判决变量： 。1Niiuy假设 ，0u 判决为 ；0H 假设 ，0u 判决为 。1H最小代价为：1010 10101 011110( )( )222NNC PC Pd 根本代价为 ，112N对N个采样，将存在额外代价 。15N因此，N个采样的总代价为 。(1)215NN使得总代价取最小值的N为2.6.8题题a不引入性能损失时，我们假设相位 ，0相关接纳机写为：0u=Tcdtr(t)sin(

10、2 ft)( )sin(2)( )cr tAf tn t其中，第六章第六章那么，u符合高斯分布，且 1 |2ATE u H均值：方差：21 |nV u H理想检测概率：2221(/ 2)exp()22nnuATPddu引入性能损失时，相位 ，0此时，( )sin(2)( )cr tAf tn tu依然符合高斯分布，且 均值：方差：21 |nV u H1 |cos2ATE u H所以：2221(cos/ 2)exp()22nnuATPddub在0H假设下， 0 |0E u H所以：2221exp()22fannuPducos0当 时，dfaPP6.9题题假设 时， ，根据等式5.66，它的似然函

11、数为：0H( )( )y tn t200 01( |)exp( )Tp y HKy t dtN假设 时， ，1H( )sin(2)( )cy taf tn t根据等式5.66， 知的条件概率密度函数为：20 01( | )exp( )sin(2)Tcp yKy taf tdtN此时的平均似然函数为：12022000( |)( | ) ( )1exp( )sin(2)( )Tcp y Hp ypdKy taf tdt pdN上式可以展开成：220002222000220000001exp( )sin(2)( )1exp( ) 2 sin(2) ( )sin (2)( )1exp( )exp22e

12、xpsin(2) ( )TcTccTTcKy taf tdt pdNKy taf ty taf tdt pdNaTKy t dtNNaf ty t dtN 2( )pd 将 与 下的似然函数相除，可得到似然比： 0H1H10220000( )( |)( |)2expexpsin(2) ( )( )2TcL yp y Hp y Ha Taf ty t dt pdNN 其中指数项内的积分可以展开成：0 00 000002( )sin(2)2( ) cos sin2sin cos222cos( )sin2sin( )cos2TcTccTTccay tf tdtNay tf tf t dtNaay t

13、f tdty tf tdtNN令0000( )sin2cos( )cos2sinTcsTccy tf tdtqqy tf tdtqq其中22scqqq0arctancsqq把 和 带入可以得到：q00 00000000002( )sin(2)22cos( )sin2sin( )cos(2)2cos cossin sin2cos()TcTTccay tf tdtNaay tf tdty tf tdtNNaqqNaqN因此似然比的公式可以变成：220000220000( )2expexpsin(2) ( )( )22expexpcos()( )2TcL ya Taf ty t dt pdNNa T

14、aqpdNN 把 的概率密度函数代入上式得：220000022000002000000( )21expexpcos()exp( cos )22( )12expexpcos()cos22( )1exp22( )2cos2sinexp ()cos( )sinL ya TaqvdNNI va TaqvdNI vNa TNI vaqaqvNN202200000122expexp ()cos( )sin22( )scda TaqaqvdNI vNN 上式又可以写成： 22000001 222200000( )122expexp ()cos( )sin22( )122exp2( )scscL ya Taq

15、aqvdNI vNNa TaqaqIvNI vNN其中 为修正的零阶第一类贝塞尔函数。0()I 统计量可以写为：10220022HscHaqaqvNN 进一步简化为为：102220042HsHvaqaqvNN接纳机框图为：6.10题题a由于相位是均匀分布的，根据课本上讲述的有：200022( | )exp()()2a qaqp y aKINN 因此，绝对密度函数为：00200000( )( |0) (0)( |) ()22(1)exp()()2p yp y ap ap y aap aaa Ta qKpKpINN 检测概率是对基于幅度的条件检测概率进展平均：b0(1)(0)()dddPp P a

16、pP aa经过定义可知(0)dfaP aP 可以证明所需的结果0(1)()dfadPp PpP a6.12题题假设 时， ，0H2( )cos(2)( )y tbf tn t2020 01( | ,)exp( )cos(2)Tp yHKy tbf tdtN假设 时， 1H12( )cos2cos(2)( )y taf tbf tn t根据等式5.66，它的条件似然函数为：12120 0( | ,)1exp( )cos2cos(2)Tp yHKy taf tbf tdtN根据等式5.66，它的条件似然函数为：此时的条件似然比为：10220 02120 0()( | ,)( | ,)1exp( )

17、cos(2)1( )cos2cos(2)TTL yp yHp yHy tbf tdtNy taft bf tdtN220 02210 0221210 0221100000()1exp( )cos(2)1( )cos(2)cos21exp2 cos2( )cos(2)cos 211exp2( )cos2cos 212 cos2TTTTTL yy tbf tdtNy tbf taft dtNafty tbf taftdtNay tftdtaftdtNNaN120cos(2)Tft bf tdt220 02210 0221210 0221100000()1exp( )cos(2)1( )cos(2)

18、cos21exp2 cos2( )cos(2)cos 211exp2( )cos2cos 212 cos2TTTTTL yy tbf tdtNy tbf taft dtNafty tbf taftdtNay tftdtaftdtNNaN120cos(2)Tft bf tdt对指数项内的第三个积分式行化简：120121201212002 cos2cos(2)2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos2cos22sincos2sin20TTTTaft bf tdtabftf tftf tdtabftf tdtabftf tdt所以条件似然比化简为：22110000120 0221

19、10000()11exp2( )cos2cos 212 cos2cos(2)11exp2( )cos2cos 2TTTTTL yay tftdtaftdtNNaft bf tdtNay tftdtaftdtNN由于条件似然比与 无关，所以似然比也是以上方式。检测器可以写为：102211000011exp2( )cos2cos 2HTTHay tftdtaftdtNN进一步化简为：10100( )2ln24THNaTy t cosf tdtaH假设先验概率相等，似然比的MAP门限为零，因此，检测器构造为：1102( )24TDaTy t cosf tdtD第十章第十章10.11题题由题可知(ln ),ln()(ln )0,yneyp yp y其它因此+-1(ln )0(ln )0( )() ( ),02,02yyyyeyp yp ypdeedyeedya 根据定义() ( )() ( )MSp ypdp ypd分母项曾经求得，分子项为：+-1(ln )02(ln )0() ( ),03,03yyyyeyp ypdeedyeedy将分子与分母项分别代入，得到：2,032,03MSyyeyb 为了求MAPE，需求先求()py2() ( )()( )2 ,