概率论第3讲ppt课件

1、概率论第3讲第三章随机事件的概率本文件可从网址math.shekou上下载随机事件虽然有偶尔性的一面, 即它在一次实验中, 能够发生, 也能够不发生; 但是在大量反复实验中, 人们还是可以发现它是有内在规律性的, 即它出现的能够性的大小是可以度量的. 随机事件的概率就是用来计量随机事件出现的能够性大小的一个数字, 它是概率论中最根本的概念之一.第一节 古典概型 概率的古典定义讨论一类简单的随机实验, 其特征是:(1) 能够的实验结果的个数是有限的. 把这些实验结果记作e1,e2,.,en, 其全体记作U=e1,e2,.,en;(2) 两两互斥的诸根身手件e1,e2,.,en出现的能够性相等.这

2、时, 称所讨论的问题是古典概型的.例如, 在一个口袋中含有编号依次为1,2,.,n的n个球, 从这袋中任取一球, 以ei表示实验结果获得号数为i的球 (i=1,2,.,n), 那么U=e1,e2,.,en. 这里, 由于取球是恣意的, 所以两两互斥的根身手件ei(i=1,2,.,n)出现的能够性相等. 因此, 这问题属于古典概型.对于古典概型的情形, 设一切能够的实验结果的全体为U=e1,e2,.,en,事件12,rkkkAeee其中k1,k2,.,kr为1,2,.,n中指定的r个不同的数, 那么定义事件A的概率为总的试验结果的个数数中包含的试验结果的个AnrAP)(概率的这种定义, 称为概率

3、的古典定义例1 从一批由90件正品, 3件次品组成的产品中, 任取一件产品, 求获得正品的概率.解 想象把这些产品进展编号. 比如, 把90件正品编为1#,2#,.,90#, 把3件次品依次编成91#,92#,93#. 那么一切能够的实验结果的全体为U=1,2,.,93, 其中i表示获得编号为i的一件产品(i=1,2,.,93), 是两两互斥的, 出现的能够性相等. 获得正品就是事件A=1,2,.,90出现, 所以获得正品的概率为9030( )0.9689331P A 例2 从例1的这批产品中, 接连抽取两件产品, 第一次抽出后的产品并不放回去, 求第一次获得次品且第二次获得正品的概率.解 想

4、象将这些产品按例1的方法编号, 抽到的结果可用一对有序数组(i,j)表示, i,j表示第一,第二次获得的产品的号数. 一切实验结果可由一切这种数组的全体表示, 共有9392种. 事件A表示第一次获得次品且第二次获得正品, 可由i取91到93且j取1到90的数组表示, 共有390种. 因此3 9045( )0.031693 921426P A 为了计算各种复杂事件的概率, 同时为了揭露概率的本质, 在古典概型的情形下, 证明如下定理.定理 两个互斥事件A与B的和事件的概率, 等于事件A与事件B的概率之和, 即P(A+B)=P(A)+P(B)证 设U=e1,e2,.,en,1212,rskkkll

5、lAeeeBe ee因此( ),( ).rsP AP Bnn按互斥性, A与B没有共同元素, 所以1212,rskkklllABeeee ee从而()( )( )rsrsP ABP AP Bnnn例3 对于例2中的实验, 求获得两件产品为一件正品, 一件次品的概率.解 设事件A为获得两件产品为一件正品, 一件次品; 事件A1为第一次获得正品, 而且第二次获得次品, 事件A2为第一次获得次品且第二次获得正品. 那么A1,A2互斥, 且A=A1+A2. 因此12121290 33 90()()93 9293 92( )()()90 33 904593 9293 92713P AP AP AP AA

6、P AP A例4 从0,1,2,3这四个数字中任取三个进展陈列. 求获得的三个数是三位数且是偶数的概率.解 事件A表示排成的数是三位数且是偶数; 事件A0表示排成的数是末位为0的三位数; 事件A2表示排成的数是末位为2的三位数. 由于三位数的首位数不能为零, 所以023 2 12 2 1()()4 3 24 3 2P AP A 显然, A0, A2互斥. 由上述定理得02025( )()()()12P AP AAP AP A第二节 几何概率对于实验的能够结果有无穷多个的情形,概率的古典定义显然是不适用了. 为了抑制这个局限性, 我们仍以等能够性为根底把这个定义作必要的推行, 使得推行后的定义能

7、适用于有无穷多个不同实验结果且各个根身手件具有等能够性的情形.例如, 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间0,3)上的诸数字, 旋转这陀螺. 要合理地规定陀螺停下时其圆周与桌的概上间面接触点的刻度位于区2 ,21率, 由于陀螺及刻度的均匀性, 它停下时其圆周上各点与桌面接触的能够性相等, 即接触点的刻度位于在0,3)内的一个区间上的能够性与这区间的长度成比例.于是, 所要的概率可规定为2103212)3 , 02 ,21的长度区间的长度区间又如, 设一个粒子位于容积为V的容器内各点处的能够性相等, 即位于容器内的任何部分的能够性与这部分的容积成比例. 于是, 这粒子位于这容器内体积为v的一个部

8、分区域D内的概率可规定为VvD容器的容积的容积区域以上两个例子中, 都以等能够性为根底, 借助于几何上的度量(长度,面积,体积或容积等)来合理地规定概率, 用这种方法规定的概率称为几何概率.例5 甲,乙两人相约在0到T这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t(tT)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时辰到达该地是等能够的, 且两人到达的时辰互不牵连. 求甲,乙两人能会面的概率.解 以x,y分别表示甲乙两人到达的时辰, 那末0 xT, 0yT.假设以x,y表示平面上点的坐标, 那么一切根身手件可以用一正方形内一切点表示, 两人能会面的条件是 |x-y|tyOtTxx-

9、y=ty-x=ttTA所以所求概率为OtTxx-y=ty-x=ttTA222211)(TtTtTTp正方形面积阴影部分面积第三节 随机事件的频率 概率的统计定义设随机事件A在n次实验中出现了r次, 那么称比值r/n为这n次实验中事件A出现的频率, 记作W(A), 即rW An（ ）显然, 任何随机事件在n次实验中出现的频率总是介于0与1之间的一个数:0W(A)1必然事件出现的频率总等于1, 不能够事件出现的频率总等于0.下表是抛掷钱币的实验结果, n表示抛掷的次数, r为徽花向上的次数, W=r/n表示徽花向上的频率实验序号n=5n=50n=500rWrWrW120.4220.442510.5

10、02230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494阅历阐明, 只需实验是在一样条件下进展的, 那么随机事件出现的频率逐渐稳定于某个常数p, 这个数字p是事件本身的一种属性. 这种属性是可以对事件出现的能够性大小进展度量的客观根底. 因此, 在普通情形下, 引进下面的概率定义.假设随着实验次数的增大,

11、事件A出现的频率r/n在区间0,1上的某个数字p附近摆动, 那么定义事件A的概率为P(A)=p.概率的这种定义, 称为概率的统计定义.由概率的统计定义可以得到概率的以下性质.(1) 对任一事件A, 有0P(A)1.(2) P(U)=1, P()=0.(3) 对于两两互斥的有限个随机事件A1,A2,.,An有P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An).第四节 概率的公理化体系公理1 对于任一随机事件A, 有0P(A)1.公理2 P(U)=1, P()=0.公理3 对于两两互斥的可数多个随机事件A1,A2,., 有 P(A1+A2+.)=P(A1)+P(A2)+.定义 设函

12、数P(A)的定义域为一切随机事件组成的集合, 且满足公理1,2,3, 那么称函数P(A)为事件A的概率.性质1 设有限多个事件A1,A2,.,An两两互斥, 那么 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)证 在公理3中, 令An+1=An+2=.=, 由P()=0得P(A1+A2+.+An)=P(A1+A2+.+An+An+1+.) =P(A1)+P(A2)+.+P(An)+0+. =P(A1)+P(A2)+.+P(An)习惯上, 统称定理3及性质1为加法定理.性质2 设A为任一事件, 那么P(A )=1-P(A)证 由于A与A互斥, 由性质1得P(A +A)=P(

13、A )+P(A )但 A +A =U, P(U)=1,所以 P( A )+P(A ) =1即 P(A )=1-P(A)性质3 假设AB, 那么P(B-A)=P(B)-P(A).证 当AB时, A(B-A)=, 所以B=A+(B-A).由性质1得P(B)=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A).由于P(B-A)0, 所以由性质3立刻推得当AB时, P(A)P(B)性质4 设A,B为恣意两个随机事件, 那么P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)BA证 先把AB表达成两个互斥事件A及(B-AB)的和(见上图), 即 AB=A+(B-AB)由性质1得P(AB)=P(A)+P(B-AB).而ABB, 由性质3得P(B-AB)=P(B)-P(AB)从而 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)习惯上, 称性质4为广义加法定理.由于P(AB)0, 所以由性质4得 P(AB)P(A)+P(B)例6 设事件A,B的概率分别为1/3和1/2, 求在以下三种情况下P(BA)的值.(1)A与B互斥;(2)AB;(