D1-4函数的连续性和间断点

1、一、函数的连续性的概念一、函数的连续性的概念二、函数的间断点二、函数的间断点四、小结四、小结 思考题思考题第四节第四节 函数的连续性函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性(continuity)1.函数的增量函数的增量(increment).1221的的增增量量称称为为变变量量则则变变到到终终值值从从它它的的初初值值设设变变量量uuuuuuu 注意：注意：可可正正可可负负；u )1(.)2(的乘积的乘积与与是一个整体，不能看作是一个整体，不能看作uu ，变变到到从从，函函数数；相相应应地地的的增增量量在在点点为为自自变变量量称称时时，变变到到内内由由在

2、在当当内内有有定定义义在在设设函函数数)()(),(,),()(0000000 xxfxfyxxxxxxxUxxUxf .)()()(00的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在),(0 xU内有定义内有定义, ,如果当如果当自变量的增量自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数的增量对应的函数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称那末就称函

3、函数数)(xf在在点点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. . ,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在),(0 xU内内有有定定义义, ,如如果果函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限存存在在, ,且且等等于于它它在在点点0 x处处的的函函数数值值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就称称函函数数)(xf在在点点0 x连连续续. . :定定义义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当 从从这这个个定定义

4、义我我们们可可以以看看出出，函函数数)(xf在在点点 0 x处处连连续续，必必须须满满足足以以下下三三个个条条件件： （1）函函数数)(xf在在点点 0 x处处有有定定义义； （2）极极限限 )(lim0 xfxx存存在在，即即 )(lim)(lim00 xfxfxxxx （3）)()(lim00 xfxfxx . . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.即：函数在某点连续00lim( )()xxf xf x例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义

5、2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 例例2 2.),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)(),()0

6、(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 000000lim0 xfxfxfxfxfxx例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,

7、或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.32),(1,)(处左连续）在右端点（处右连续；）在左端点（内连续；）函数在开区间（上连续：在闭区间函数bxaxbabaxf连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数(多项式多项式 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内在其定义域内(分母不为分母不为0)连续连续.只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx若

8、若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .注意注意: :1:如果区间包含端点如果区间包含端点,那么函数在右端点连续指其那么函数在右端点连续指其在该端点左连续在该端点左连续,在左端点连续指在该端点右连续在左端点连续指在该端点右连续.比如在比如在(a,b);a,b);(a,b;a,b上连续上连续.2:存在在其定义区间上处处不连续的函数存在在其定义区间上处处不连续的函数:狄利克狄利克函数函数也有在所有整数点都不连续的函数也有在所有整数点都不连续的函数,比如取整函数比如取整函数.xx

9、 cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续5 连续函数和差积商的连续性连续函数和差积商的连续性定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)sin ,cosxx 连续商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,在其定义域内每一点都连续在其定义域内每一点都连续t an ,cot ,sec ,cscxxxx结论结论：三角函数在其定义域内每一点都连续：三角函数在其定义域内每一点都连续定理定理2. 连续连续严格单调严

10、格单调递增递增 函数的反函数函数的反函数(严格递减严格递减).(证明略证明略)严格单调严格单调递增递增(严格递减严格递减) 也连续且也连续且注意注意:1:如果仅仅是单调可能反函数都不一定存在如果仅仅是单调可能反函数都不一定存在. 2:反函数是在原函数的值域上连续和严格单调的反函数是在原函数的值域上连续和严格单调的.反函数和复合函数的连续性反函数和复合函数的连续性例如例如,xysin在在,22上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin在在 1 , 1 上也连续单调递增上也连续单调递增.反三角函数反三角函数在各自定义域内连续在各自定义域内连续.xyarcsinarctanyx

11、arccosyxarccotyx定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.(前提是可以复合前提是可以复合)xey 在在),(上连续上连续 严格单调严格单调 递增递增,其反函数其反函数xyln在在),0(上也连续严格单调递增上也连续严格单调递增.证证: 设函数设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且且即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一般的一般的

12、:若复合函数若复合函数g(f(x)的的内函数内函数f在在时的极限是时的极限是a,但是不等于但是不等于 外函数外函数g在在u=a时连续时连续,那么我们仍然可以用上述定理那么我们仍然可以用上述定理来求复合函数的极限即来求复合函数的极限即0 xx 0()f x00lim( ( )(lim( )xxxxg f xgf x例例1 1233lim sin9xxx求。极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义意义)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 例如例如,xy1sin是由连续函数链是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*R

13、x上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyoxy1sin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 .设设)()(xgxf与均在均在,ba上连续上连续, 证明函数证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上连续上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则 ,可知可知)(, )(xx也在也在,ba上上连续连续 .)(, )(min)(xgxfx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用常用初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数在

14、它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内内单单调调且且连连续续在在 )1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) xyxaalog ,uay .log xua 初等函数的定义域可以是区间或区间初等函数的定义域可以是区间或区间的并或者包含一些离散的点构成这时的并或者包含一些离散的点构成这时在离散的点处就没办法研究连续性例在离散的点处就没办法研究连续性例如如()基本初等函数的定义域都

15、是基本初等函数的定义域都是区间或区间的并构成区间或区间的并构成基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义定义区间区间内内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点为单侧连续端点为单侧连续)xysinln的连续区间为的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为的定义域为Znnx,2因此它无连续点因此它无连续点而而()定义区间是指定义区间是指包含在定义域包含在定义域内的区间内的区间. .1. 初等函数仅在其初等函数仅在其定义

16、区间内定义区间内连续连续, 在在其其定义域内定义域内不一定连续不一定连续;例例,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义. .), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注注:000lim( )()()xxf xf xx定义区间2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原原式式. 1sin e解解例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat则则, )1

17、 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当当, ea 时时, 有有0 x)1ln(x1xexx1log(1)logxaauuxue看作与 =的复合，且在 处连续。例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解: 原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若若,0)(lim0 xuxx则有则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x2等阶无穷小等阶无穷小代换代换一般的一般的,对

18、于对于 的函数的函数(通常通常称称为幂指函数为幂指函数)如果如果( )( )( ( )0, ( )1)v xu xu xu xlim ( )0,lim ( ),u xav xb那么那么( )lim ( )v xbu xa上述上述lim都指在都指在同一自变量变化过程同一自变量变化过程中的极限中的极限在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但00lim( )()xxf xf x 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某的某

19、去心邻域内去心邻域内有定义有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 (无定

20、义或者不等于函数值无定义或者不等于函数值).为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 补充定义或者改变函数值可使得函数在该点连续补充定义或者改变函数值可使得函数在该点连续1.可去间断点可去间断点(a removable discontinuity).)()(),()(lim)(的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或，但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx00000 例例.,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数1

21、1111012 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1) 1 ( f, 2)01 ( f, 2)01 ( f2)(lim1 xfx),1 (f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例4中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112例例5 5.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00

22、()00( ff.0为为函函数数的的间间断断点点 xoxy2.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.都都存存在在函函数数在在该该点点左左、右右极极限限左右极限相等，则为可去间断点；左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点左右极限不相等，则为跳跃间断点例例5 5中的间断点为跳跃间断点中的间断点为跳跃间断点3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(0

23、0的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f0.x 为函数的第二类间断点.断点断点这时也称其为无穷间这时也称其为无穷间例例7 7.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x注意注意 函数的间断点可能不只是个别的几个点函数的间断

24、点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点这时也称其为振荡间断点 , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlets function)在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.o1x2x3xyx xfy ,)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxf11在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其

25、绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a 最值最值定义定义: :0000( ),( )()( )()()( )().f xXxXxXf xf xf xf xf xf xX 设函数在集合上有定义如果有且对于都有或则称是函数在 上的最大值 最小值

26、例如例如,sgn xy ,),(上上在在 , 2max y; 1min y,), 0(上上在在 maxmin1.()yy最大值等于最小值,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y( )( , )f xxa b而在上没有最大值和最小值三 闭区间上连续函数的性质 注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1 1. .在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即: 设设( ) , ,f xC a bxoyab)(xfy 12则则, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffb

27、xa值和最小值值和最小值. .或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)点点 ,例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tan,yx 在区间(-)内连续，2 2但是在(-)内无界且无最大值和最小值.2 2,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax,

28、,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证：证：Axfx )(lim取取, 0, 10 X当当|x|X时时, | f (x)-A|1又又|f (x)|-|A| f (x)-A|1, 即即: | f (x)|0, x X, 都有都有| f (x)|M0取取M=max|A|+1, M0,.| )(|),(Mxfx 例例1 设设 f (x) 在在(-, +)上连续，且上连续，且 存在存在,)(limxfx 证明证明 f (x) 在在(-, +)上有界。上有界。二、零点定理和介值定理二、零点定理和

29、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少至少有一点有一点, ),(ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略证明略 )定义定义: :000()0,( ).xf xxf x如果使则称为数的零点函( )0( , ).f xa b即方程在内少存在一个实根至ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy xyo)(xfy 定理定理3. ( 介值定理介值定理 )设设 , ,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf则

30、对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点, ),(ba证证: 作辅助函数作辅助函数( )( )xf xC则则,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点, ),(ba使使,0)(即即.)(CfAbxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少至少有有几何解释几何解释:.)(至至少少有有一一个个交交点点直直线线与与水水平平连连续续曲曲线线弧弧Cyxfy 推论推论: 在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值 .例例1. 证明方程证明方程01423 xx一个

31、根一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423说明说明:12,x ,0)(8121f内必有方程的根内必有方程的根 ;12( ,1)取取 1 ,21的中点的中点34,x ,0)(43f内必有方程的根内必有方程的根 ;3124( , )可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有内至少有则则则则例例.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在

32、区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上上连连续续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即0)()()(212xfxff上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 ,例例2. 设设)(xf在在,ba对任意的对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点必存在一点证证:, ,21xx使使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 则则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf12( ) ()f xf x 212 ()()f xf x0使使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知故由零点定理知 ,