第四章 傅里叶变换和系统1

1、第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析本章提要本章提要 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 傅里叶级数和傅里叶级数的形式傅里叶级数和傅里叶级数的形式 傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析系统的频域分析 抽样定理抽样定理 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析p复习：复习：时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数的叠加；而yzs(t) = h(t)*f(t)。p本章本章将以正弦信号和虚指数信号e

2、jt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。p这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：其内积为0。即p由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量正交矢量集集p如三维空间中，以矢量pvx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)p所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。p例如对于一个三维空间三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合线性组

3、合表示。即 A= vx+ 2.5vy+ 4 vz？p矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间：在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。这这就是信号的正交分解。就是信号的正交分解。二、信号正交与正交函数集p1. 定义：p定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。2. 正交函数集：若n个函数 1(t)和 2(t) ， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。3. 完备正交函数集：p如

4、果在正交函数集正交函数集 1(t), 2(t), n(t)之外，不存在任何函数(t)(0）满足则称此函数集为完备完备正交函数集。例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函完备正交函数集。数集。三、信号的正交分解p设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为pf(t)C1 1+ C2 2+ Cn np问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间

5、(t1，t2)内为最小。p通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差均方误差为p为使上式最小（系数为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0(?)，写为即所以系数所以系数p 误差误差21)(2ttiidttK)()(2)()(12121211122212ttnjnjttjjttjjdtttfCdttCdttftt2)(12111222122ttnjnjjjjjKCKCdttfttdtttfktt21)()(111C1=？在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多越多，即n越大，则均方误差越小越小。当n时（为完备正交函为完备正交函数集

6、数集），均方误差为零。此时有即：函数即：函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明：表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交完备正交函数集中函数集中分解的各正交分量能量的总和。当n时，024.2 周期信号的傅里叶级数p一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式p设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数傅里叶级数系数an , bn称为傅里叶系数傅里叶系数可见，可见， an 是是n的偶函

7、数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。p将上式同频率项合并同频率项合并，可写为式中，A0 = a0可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。（的奇函数。（？）an = Ancos n ， bn = Ansin n ，n=1,2,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中， A0/2为直流分量；A1cos(t+ 1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+ 2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+ n)称为n次谐波。例例41 试将下图所示的方波信号试将下图所示的方波信号

8、f(t)展开为傅里叶展开为傅里叶级数。级数。0T2T2T2T T11tf (t)p 解：傅里叶系数解：傅里叶系数, an,bn为为 22020202022( )cos(2)22( 1)cos(2)1 cos(2)2121 sin(2)sin(2)220TTnTTTTaf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnfTnf =2 f0,2,4,6,41,3,5,nnn2002|)2cos(212| )2cos(212TTnftnftTnftnftT)cos(1 2nn二、奇、偶函数的傅里叶级数p1 、f(t)为偶函数对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。2 .f(t)为奇函数对

9、称于原点an =0，展开为正弦级数。3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2)p此时其傅里叶级数中只含奇次p谐波分量，而不含偶次谐波分p量即a0=a2=b2=b4=0三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确(?)(?)，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2例例4.2-2p上式中第三项的n用n代换，A n=An(An是是n的的偶函数偶函数)， n= n（ n是是n 的奇函数）的奇函数），则上式写为令0,00000tjjeeAA 令复数令复数称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数简称傅里叶系数。表明：表明： 任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指