高数可分离变量的微分方程教案

1、 §7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y¢=2x的通解. 为此把方程两边积分, 得y=x2+C. 一般地, 方程y¢=f(x)的通解为(此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y¢=2xy2 的通解. 因为y是未知的, 所以积分无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为, 两边积分, 得 , 或, 可以验证函数是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y¢=j(x, y)能写成 g(y)dy=f(x)dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程

2、G(y)=F(x)+C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0在这种方程中, 变量x与y 是对称的. 若把x看作自变量、y看作未知函数, 则当Q(x,y)¹0时, 有 . 若把y看作自变量、x看作未知函数, 则当P(x,y)¹0时, 有 . 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y¢=j(x)y(y)的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy, 另一端只含x的函数和dx, 那么原方程就称为可分离变量的微

3、分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y¢=2xy, 是. Þy-1dy=2xdx .(2)3x2+5x-y¢=0, 是. Þdy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是.(4)y¢=1+x+y2+xy2, 是. Þy¢=(1+x)(1+y2).(5)y¢=10x+y, 是. Þ10-ydy=10xdx.(6). 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 两端积分:, 设积分后得

4、G(y)=F(x)+C; 第三步 求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解. 例1 求微分方程的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 , 两边积分得 , 即 ln|y|=x2+C1, 从而 . 因为仍是任意常数, 把它记作C, 便得所给方程的通解 . 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比. 已知t=0时铀的含量为M0, 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数. 由于铀的衰

5、变速度与其含量成正比, 故得微分方程, 其中l(l>0)是常数, l前的曲面号表示当t增加时M单调减少. 即. 由题意, 初始条件为 M|t=0=M0. 将方程分离变量得 . 两边积分, 得, 即 lnM=-lt+lnC, 也即M=Ce-lt. 由初始条件, 得M0=Ce0=C, 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=M0e-lt . 例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解 设降落伞下落速度为v(t). 降落伞所受外力为F=mg-kv( k为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F=ma, 得函数v(t)应满足的方程为 , 初始条件为 v|t=0=0. 方程分离变量, 得 , 两边积分, 得, , 即 (), 将初始条件v|t=0=0代入通解得, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为. 例4 求微分方程的通解. 解 方程可化为 , 分离变量