2019年广东省云浮市实验中学高三数学文上学期期末试题含解析

1、2019年广东省云浮市实验中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1 .正方体ABCD-AiBiCiDi中E为棱BBi的中点（如图），用过点A,E,Ci的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为AB:1/DC取DDi中点F,连接AF,CiF.平面AFCiE为截面。如下图:2 .（04年全国卷III文）记函数）=1+3"的反函数为>二名（工），则式0）=（）A. 2B. 一 二C. 3 D. 一1答案：B3.已知集合A=1, 23, 4, B=y|y=2 x1, xCA,则

2、AH B=()A. 1 , 2B. 12, 4 C . 2, 4D. 2, 3, 4B.A.20答案：B5.已知集合A=x|-ivxvl,B=x|x2-x-2v0则图中阴影部分所表示的集合为()A.(1,0B.1,2)C.1,2)D.(1,2C考点：Venn图表达集合的关系及运算.专题：集合.分析：由图象可知阴影部分对应的集合为BA(?uA),然后根据集合的基本运算即可.解答：解：B=x|x2x2v0=x|-1vxv2,由图象可知阴影部分对应的集合为Bn(?a),?uA=x|x>1或x<-1,：Bn(?uA)=x|1<x<2.故选：C.点评：本题主要考查集合的基本运算，

3、利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.6.已知随机变量/从正态分布加3"）,二05,则由等于D.0_7= 1 一。15孤2 =0壬由题意可得2故答案选B.y = sm而A. 已知函数10+1-,则下列命题正确的是（A.【公是最小正周期为1的奇函数B. /）是最小正周期为1的偶函数C. 是最小正周期为2的奇函数D. 丁（工）是最小正周期为2的偶函数D略.1叫8.已知函数f（x）=Jx3+3mX:2121K的两个极值点分别为xi,X2,且0Vxiv1vx2,点P（m,n）表示的平面区域内存在点（x。，v。）满足y0=loga（x0+4）,则实数a的取值范围是（）'B。

4、,D.(0,1)U3,+8)【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】综合题；导数的概念及应用.【分析】根据极值的意义可知，极值点XI、X2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+J=0的两根，一根属于(0,1),另一根属于(1,+00),从而可确定平面区域为D,进而利用函数y=loga(x+4)的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围.【解答】解：.函数f(x)4+L+岂的两个极值点分别为X1,X2,且0<X1<1<X2,：f'(x)=x2+mx+ZI=0的两根X1,X2满足0Vxiv1vx2,则X1+X2=-m,X1X2=I>0,(X1T)(X2-1

5、)=X1X2-(X1+X2)+1=l+m+化0,即n+3m+2<0,-m<nv-3m-2,为平面区域D,直线m+n=Q2+3m+n=0的交点坐标为(-1,1);要使函数y=loga(x+4)的图象上存在区域D上的点，则必须满足1Vloga(-1+4)loga3>1,解得1vav3或0vav1,故选：B.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题.9.定义：如果函数f(x)在a,b上存在X1,X2(avx1VX2b),满足f'(x。E(b)-£f(b)-fLa)=

6、b一白，(X2)=b-社,则称数X1,X2为a,b上的"对望数”，函数f(x)为a,b上的"对望函数”.已知函数f(x)=3x3-x2+mH0.m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是()3333A.(1,2)B.(2,3)C.(1,2)U(2,3)D.(1,2)u(23)B考点：导数的运算；二次函数的性质.专题：导数的综合应用.J1分析：由新定义可知f'(xi)=f'(x2)=3n2-m，即方程x2-2x=3m2-m在区间0,m有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围解答：解：由题意可知，在区间0,m存在xi,x2(0<xi<x2<

7、;a),f(加-fU)满足f'(x。=：m2-m,f(x)=x3-x2+a,：f'(x)=x2-2x,:方程x2-2x=3m2-m在区间0,m有两个解.令g(x)=x2-2x-3mi+m,(0<x<mj)二牡-皿g（。）-§（如）6-面）。'-1皿1解得2Vav3;实数a的取值范围是（N3）.故选：B.点评：本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用.解题时首先求出函数f（x）的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m所满足的条件，解之即得所求.属于中档题.10.函数 f(x)= "x+l

8、og2x的零点所在区间为（）B.1 1C.-D.、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分11 .将5位志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方案有种（用数字作答）。241)12 .已知集合吟冈，二1。皆式工7”三口此环），则MC方三(1,313 .已知抛物线产二2广”尹°）的焦点为F,过点F且斜率为k的直线与该抛物线分别交于A、B两点（点A在第一象限），若舒=3而，则k=14.对于命题：如果 O是线段上一点，则1%6+ 1 °A1 °S= 0 ；将它类比到平面的情形是：若。是.口内一点，有*3知Sa口。一；将它类

9、比到空间的情形应该是：若©是四面体花如内一点，则有15.已知在等差数列an中，ai,22017为方程x210x+16=0的两根，Ma+ai+a?*的值15【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出.【解答】解：:a1,a017为方程X2-10x+16=0的两根，二a1+a2017=10=2ai009,;数列an是等差数列,则a2+a1009+a2016=3ai009=15.故答案为：15.【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16 .若存在xwR，使得产1(a>0

10、且awl)成立，则实数a的取值范围是.J之工17 .设加在约束条件5+口下，目标函数二二x+»的最大值为4,则脸的值为.3本题考查线性规划求最值和解一元二次不等式的问题，难度中等。目标函数1zr尸网物、z=x+5y化为二5,因此当目标函数过的交点即.十1燧十1时z15m3部+1,z-十-4取最大值，此时函十】咕十】附十1,解得m=3。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知PD",A,B分别为边PQ上的两个三等分点，BD为底边PQ上的高，AE/DR如图1,将4PDQ分别沿AE,DB折起，使得P,Q重合于点C.AB中点为M,如图2

11、.(I)求证：CMLEM(II)若直线DMt平面ABC所成角的正切值为2,求二面角B-CAE的大小.的I【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质.【分析】（I）推导出ABC是等边三角形，从而CMLAR再由DBLAB,DBLBQ知DBL平面ABC又EA/DB,从而EAL平面ABC进而C®EA由此CML平面EAM进而能证明CMLEM（II）以点M为坐标原点，MCf在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M-xyz.利用向量法能求出二面角B-CAE的平面角.【解答】证明：（I）因为A,B是PQ的三等分点，所以PA=AB=BQ=CA=C

12、B所以ABC是等边三角形，又因为M是AB的中点，所以CMLAB.因为DBLAB,DBLBQABHBC=B所以DBL平面ABC又EA/DR所以EAL平面ABCCM（平面ABC所以C®EA因为AMTEA=A所以CML平面EAM因为EA?平面EAM所以CMLEM解：（II）以点M为坐标原点，MClf在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M-xyz.因为DBL平面ABC所以/DM时直线DM1平面ABC所成角./DM3二罂二2由题意得tanMB,即BD=2MB从而BD=AC不防设AC=2又AC+2AE则CM叫AE=1.故B（0,1,0）,C（展，

13、0,0）,D（0,1,2）,E（0,1,1）.于是BC=（”-1,0）,限（°,°,2）,CE=（GL1）,CD=1,2）,设平面BCg平面CDEB法向量分别为n-=（x,y,z）,口二（a,b,c）,m BC=3x-y=0m*BD=2z=0令 x=1,得 ir= (1, jl, 0)n * CE -a-b+ c- 0n-CD=-73a-Fb+2c=05令 a=1,得 i= (1,V3 273所以 cos v m，n> =0.所以二面角B-CD- E的平面角大小为9019.（本题共14分）已知函数/=缶八坛的导函数f二/的两个零点为-3和o（I）求了的单调区问；（R）

14、若/的极小值为-1,求八幻的极大值.解：（I）/-3+风+g曰+"gy加+3+由2分令；一：.-I-的零点就是）功升”的零点，且尸与其力符号相同.当xy或一。时，纲>0,即/5）口0,当-时，g<0,即，5）v。，6分./的单调增区间是（。，-3）,（0,+2,单调减区间是（-3,0）.7分（H）由（I）知，苫=0是“外的极小值点，所以有<7=-1,；匕+T=0,9B一3（24+占）+启斗。=0,解得厘=1力=1上=-1.11分所以函数的解析式为了=4+5/.又由（I）知，,（力的单调增区间是（-OO,-3）,（0,+OO）,单调减区间是（-3,0）._,，八一司二

15、©一3T*二4八所以，函数口的极大值为旨.14分20 .如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,乙瓯=卬°&=勿=2点e、F分别为BC、PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.(1)已知平面R延c平面"D=E,求证：(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.(1)见解析(2).35【详解】试题分析：(1)由三角形中位线定理可得乂唐"，利用线面平行的判定定理可得"/平面尸口,在根据线面平行的性质定理可得ABH2L.(2)由勾股定理可得平面由此可以点/为原点，直线用皿”分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数

16、量积为零列出方程组，分别求出直线匐的方向向量与平面*叩的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.试题解析：(1).修门8,出史平面衣力,COu平面中5.二出平面武力，Hfi平面口4斤,平面BIBc平面PCD=】Mill(2)二底面是菱形，E为BC的中点AB=2,BE=lAE=AErRCAEXADVPA±¥®ABCD,则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则0(02®P(ftQ2。(由10)E(用Q。)F (0, 1, 1),石=(百(四万=(Q11)元-10)加=e-22)设平面PCD的法向量为,有丽i=o屈法=。得M=（1后间

17、,设星症吁义证，则在睁钢-孙，在履不通（432=抬arH-I/无停尾J）4'解之得3，:1333）设直线AQ与平面PCD所成角为%sina=|皿®须|=W则3$371«:直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为35【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21 .

18、（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA1B面ABC,/BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.(I)求证：MN/狂面BDE;(II)求二面角C-EM-N的正弦值;也(田)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为21,求线段AH的长.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.z轴正方向建立空间直角坐如图，以A为原点，分别以用，宓，用方向为x轴、y轴、标系.依题意可得A(0,

19、0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0)(I)证明：理=(0,2,0),n®=0,-2).设腰=3。)，为平面BDE的法向aH£=0r2y=04J则即3-2?=。.不妨设卫=：1,可得，=( ,. f(x) = x2-x + bf(log 2a) = (log 2a)2 log 2a+ b.(log 2a)2log 2a + b= b=0叫又碰=(1,2,-1),可得n=o.因为胸史平面BDE,所以MN平面BDE.(II)解：易知=(W0为平面CEM的一个法向量.设,=«*其工)为平面EMN的法向$-皿/=。f-2y-z=0量，则值-皿旬，因为亚7nLzT),皿=(LZT,所以工+"-厘印.