高考数学试题新亮点类比推理题

1、1、实数系与向量系的类比:高考数学试题新亮点一一类比推理题实数系向量系实数0、单位1数a的相反数一a实数a的绝对值|a|零向量不、单位向量方向量m的相反向量一m向量m的模G|运算规律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac消去律：若ab=ac,aw0,则b=c若ab=0,则a=0,或b=0公式：(a+b)(ab)=a2b2(a±b)2=a2±2ab+b2|a-b|=|a|-|b|运算规律：交换律：结合律：（情+&）+苍=m+（石+W）.7T>.",.，一、（a'b）

2、ca（b-c）（乘法不满足）分配律：1-（?+!）=1-t+1t不满足消去律：若mm力，那么b与c不一定相等.若N3=0,那么不一定1=-0或甘=0.公式：（m+石）.（二弓）=彳2石2（l±t）2=l2±21-行+石2|1-t|<|1|.|t|IIa|-|b|<|a±b|<|a|十|b|a|-|b|<|a士b|w|a|+|b|2、平面几何与立体几何:平囿儿何立体几何角及角平分线一面角及角平分面线段的垂直平分线线段的垂直平分面三角形的三条边四向体的四个面平行四边形对角线相交一点，并且被平分平行六面体的对角线相交一点，并且被平分3、圆与球的性

3、质的类比:圆球圆心与弦（非直径）中心的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心）圆心连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距相等的两个截面圆的面积相等圆的周长CM（d为直径）球的表向积S=nd2（d为球直径）圆的面积S=/2（r为半径）球的体积V=*nr3（r为球半径）（这一点不是很好31的类比）4、三角形与四面体的性质类比:三角形四向体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半四向体的中位面（同一顶点发出的三条棱中点确定的截面）平行于第四个面，面积等于第四个面的14一角形一边的中垂线交于,点，且这一点是三角形外接

4、圆的圆心（外心）四向体的六条棱的中垂面（经过棱的中点且垂直于棱的平面）交一点，且这一点是四面体外接球的球心，（或经过各个向二角形外心且垂直该面的垂线交于,点，这一点是四向体外接球的球心）三角形的三条内角平分线交干-点，且这个点是三角形内切圆的圆心（内心）四向体的四个面构成的六个二面角的平分面父十点，且这个点是四向体的内切球的球心三角形的三条中线相交干点（重心），这点把每条中线分成2:1.四向体的每个顶点与对向二角形的重心的连线相父点（重心）,且被该点分成3:1三角形的面积S=；ah1四面体的体积V=0Sh35、直角三角形与直角四面体的类比:直角三角形直角四面体（在四向体中，若什-顶点发出的二条

5、棱两两互相垂直，则改四向体成为直角四向体）如图，RtACAB中，/C=90口，O如图，在四面体OABC中，OAOB,OBXOC,OCXOA,O为直角顶点：A公AHcBBAB2=OA2+OB2(c2=a2+b2)Saabc=S2/xoab+S2/xobc+S2/xocacos2A+coS2B=1cos«+cosP+cos，=1（口、P、是侧面与底面所成的角）2=2+2OHab1。二OH2=a2+b2+c2外接圆半径R=2Va+b1f999外接球半径R=Na+b+c内切圆半径r=a+b_cab一SaOAb+SAOBc+SAOCA+SAABC2a+b+c内切球半径r=,a+b+c6、等差数

6、列与等比数列的类比:等差数列an(公差为d)等比数列bn(公比为q)通项：an=a1+(n1)d通项：bn=b1-qn1aman=(mn)dbm_m-n；-=qbn若a1=0,s,t是互不相等的正整数，则有(s1)at=(t1)as若b1=0,s,t是互不相等的正整数,则有bts1=bstT若m+n=p+r,其中m、n、p、rCN*,则am+an=ap+ar若m+n=p+r,其中m、n、p、rCN*,则bmbn=bp-br若m+n=2p,其中m、n、pCN*,am+an=2ap若m+n=2p,其中m、n、pCN*,bmbn=bp2Sn,S2n-Sn,S3nS2n构成等差数列Sn,S2n-Sn,

7、SnS2n构成等比数列、八-cn(a1+an)前n项和：Sn=a+a2+an=2前n项积：Tn=b1,b2bn=/b1bn)n若ak=0,2k>n+1,k,nCN*则有a1+a2+an=a+a2+a2kn1若bk=1,2k>n+1,k,nCN*则有b1,b2bn=b1,b2b2kn1右Cn=n,则数列Cn也是等差数列若dn=Mb1。b2bn,则数列dn也是等比数列a1+2a2+3aa+-+nan川.万1后cn=1+2+3+n，则数列,也是等差数列.若dn=(b1b2b3M)1+2+3+n,则数列dn也是等比数列.7、椭圆与双曲线的类比:椭圆双曲线22x2+y2-=1(a>b&

8、gt;0)ab2-y2=1(a>0,b>0)ab焦半径：左支上|PF1|=-(ex0+a),|PF2|=焦半径：|PF1|a+ex0,|PF2|-a-ex0(ex0-a)右支上|PF11=exo+a,|PF2|=ex0a通径：|H1H21=2baP是椭圆上一点，/F1PF2=e,则SAPF1F2=b2tan22b2通径：H1H21=一aP是双曲线上一点，/FiPF2=0,则SAPFiF2=b2c0t丐X0Xy0y孑+b-X0Xy22右P0（X0,y0）在椭圆/十一1（a>b>0）外，过P0作椭圆的两条切线的切点为Pi、P2,则切点弦P1P2的直线方程日X0XY0Y是/+

9、¥=i.22右P0（X0,Y0）在双曲线孑一b2i（a>0,b>0）外，过P0作双曲线的两条切线的切点为Pi、P2,则切点弦PiP2的直线方程是X0X-Y0y=i.ab椭圆的焦点PFiF2的旁切圆圆心M的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.fcjM）双曲线的焦点PFiF2的内切圆圆心M的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.代过椭圆上一点（xo,yo）的切线方程为:过双曲线上一点（xo,yo）的切线方程为:AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，Fi,F2是椭圆的的焦点，直线AC,BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PFiPF2=PCPDAB是

10、双曲线的实轴，O是双曲线的中心，Fi,F2是双曲线的的焦点，直线AC,BD是双曲线过A、B的切线，P是双曲线上任意一点，CD是过P的切线，则有PFi-PF2=PC-PDP是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦 点，则以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2 内切，如下图：P是双曲线上一点，F是双曲线的一个焦点， 则以PF为直径的圆与圆 x2+y2=a2内切或外 切，如下图：CADB数列中的类比推理例1（2000年上海卷）在等差数列Q中，若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2十.+a19_n（n<19,nwNJ成立，类比上述性质，相应地：在等比数列名/中，若0=1,则有等式成立.分析本题考

11、查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：-.*等差数列一用减法定义一性质用加法表述（若m,n,p,qwN，且m+n=p+q,则am+an=ap+aq）；一一*等比数列一用除法定义T%质用乘法表述（若m,n,p,qwN，且m+n=p+q,则ama=apq）.,.*由此，猜测本题的答案为：hb2'.h=b1b2b1715c17,nwN）.事实上，对等差数列匕）,如果ak=0,则an+a2k=an也+a2k/=ak+ak=0.所以有：a+a2+-+an=a+a2+an+(an书+an书+a2k/_n+a2k工_n）（n<2k1,nwN*）.从而对等比数列%,如果bk=1,则有等

12、式：*、b1b2bn=b|b2,b2k_n(n<2k1,n=N)成立.评注本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列n而得到等比数列必的新的一般性的结论。例2（2004年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列Gn是等和数列，且a1二2,公和为5,那么a18的值为,这个数列的前n项和Sn的计算公式为.分析由等和数列的定义，易知a2n=2,a2n=3（n=1,2,），故a18=3.551当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=

13、n-一.222评注本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。例6在计算“1*2+2*3+3+总（总+1）”时，某同学学到了如下一种方法:+1)-+l)(i+2)-(i-1),先改写第k项：3由此得1x2=2x3-0x1x2),2x3二;(2x3x4-1x2x3),为(冏+1)=；双侬+1)(月+2)-(厘一】)方(题+1),Ix2+2x3+-=-«(«+l)(w+2).相加得3类比上述方法，请你计算“1*2><3+2><3><4+-+为何+1)(为+2)”

14、，其结果为解析：类比已知可得:1x2x3=1(1x2x3x4-0k1x2x3),2x3x4=1(2x3x4x57x2x3x4),44照例+1)(盟+2)=«?+D5+2)(总+3)-S-1)刘(短+l)(w+2).4'Ix2x3+2x3x4+-+?s(?2+r)(?s+2j=2m(k+1)(m+2)(盟+3).相加，得.二、函数中的类比推理例3 ( 2003年上海春招高考题)设函数 f (x)=2x二方，利用课本中推导等差数列前n项和公式的.211方法，可求得f(T)+f(0)+f(5)+f(6)的值为分析此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式

15、的特点，尝试着计算f (x)十f (1 x):f(x)=.1f(1 - x)= 212x12 22x22、2 2x. f (x) f (1 -x)=. 22x发现f (x) + f(1 -x)正好是一个定值,'2S = 乂12,二 S = 3后22.已知函数f(x) =,21+ x，那么 f(1) + f(2) +电)+ f(3)+fg , f(4) + f4 17/23.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a#0)的对称中心为M(x0,y0),记函数f(x)的导函数为f'(x),f'(x)的导函数为f”(x),则有f''(x0)=0。若函数f(

16、x)=x33x2,则可求得：工1£2,4026,4027ff.ff=-80542014201420142014二、在函数中的应用例3如图所示，对于函数了二/(工刈上任意两点A(即厘，B(加的，线段岫必在曲线段AB的上方，设点C分向量AB的比为口。),则由图象中点C在点Cf的上方可得不等式+魂口R+叫1+211+4)。请分析函数j=lnx('。)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式/+助2年+勉丫 解析：首先弄清不等式 i+a的来历，由图象知下凹知，知B但町，所以点c的纵坐标是i+兄，而必十卷2 , 6而C点在曲线上，C点在曲线上方，所以%= 1+五了" 1八尸ty

17、J,1F而如图所示函数) =,在0上图像上凸，所以K,Inds + JilnA 2 +助即：1+丸、1+4 (八。/！0，0)三、排列组合中的类比推理/e，. 1、一4目匚、皿_m x(x -1)(xm+1)例5 (2002年上海高考题)规定： Cxm -m!C： =1,这是组合数 Cnm(n,m是正整数，且 mWn)的一种推广.y=/的图象，在工0上图象 a+/lii C与C'的横坐标都是1 + 4 ,丁+也Y 1+4 L,其中x R , m是正整数，且是.（1） 求C5i5的值；（2）组合数的两个性质（cm=c：q,cm+c;=c；g是否都能推广到cm（xwR,m是正整数）的情形？

18、若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数cm是正整数，证明：当xwz,m是正整数时，CXmwZ.分析本题“新的规定cm（xWR,m是正整数）”是组合数Cm（n,m是正整数，且mWn）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.解：（1）根据新规定直接进行演算即可C515=（-15）（-16）（-17）（-18）（-19）=11628.5!（2）性质不能推广.反例：当x=J2,m=1时，C;有意义，但C：,无意义.性质能推广，22且推广形式不变：Cm+cm'=C2（xwR,m是正整数）.证

19、明如下:mm J.CxCxx(x - 1)(x - 2) (x - m 1) x(x -1)(x - 2) (x - m 2)m!(m -1)!=(x-)(2)(x-m-2)(x1)=(x1)<x1)-1"(x1)-21l(x1)-m11=m!m!cmCx1(3)需要就x与m的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.当x之m时，x,m都是正整数，Cm就是组合数，结论显然成立;当0Mxem时，Cm-x(x1)(x2)0(xm+1)=。z,结论也成立;当x <0时,Cmx(x -1)(x -2) (x - m 1)m!= (-1)m1 ,(-x m - 1)( -x m - 2)

20、m!(x+1)(x)=(1)mC二的,-x+m-1>0,-C14m_1是正整数C=（OmCmm4WZ.综上所述，当xWZ,m是正整数时，Cmwz.例6（2003年上海高考题）已知数列右口（n为正整数）的首项为公比为q的等比数列(1)求和：a1C0a2c2+a3c2;aC0a2c3+a3C；-a4C；.（2） 由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明分析本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：(1)a1c0-a2c2+a3C2=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,a1c3 - a2c3a3c3（2）归纳概括的结论为：若数列an是首项为ai ,公

21、比为q的等比数列，则3233a4c3=a13a1q3a1q-a1q=a1(1-q).alCn0-a2C1+a3c2a4c3+(1)nan¥Cnn=ai(1q)n.(证明略)五、解析几何中的类比推理例10（2001年上海高考题）已知两个圆：x2+y2=1,与x2+（y3）2=1则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.分析将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况：设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2,与（xc）2+（yd）2=r2其中a#c或b#d,则由式减去式可

22、得两圆的对称轴方程.评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。例11（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆c上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之22积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x9=1写出具有类似特性的性质，并加以证明a2b22 x分析 类似的性质为：若 M、N是双曲线？ab2=1上关于原点对称的两个点，点p是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为 kpM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P的位置无关白定值.证明：设点 M、P的坐标为（m

23、, n ）、（ x, y）,则N （ m,n ）.因为点M （m,n）在已知双曲线上，所以 n2.2,22 m2 -b2 ,同理 y2 = 2 x2 -b2. aa22,2y - n y n y - n b,=222x-m x m x 。m a22. 2x- mb-22 _2x -ma（定值）、在圆锥曲线中的应用例1在直角坐标系中，不难得到“对于双曲线期二上，上任意一点F,若点F在工轴、y轴上的射影分别为 版, K则P部网 必为定值工上=1”；类比于此，对于双曲线a 虑一，0上 °）上任意一点?，可以得出类似命题为.解析：对于双曲线ky=一非常熟悉的反比例函数x,其图象无限趋近于坐标轴，但是不能与坐标轴相交，在这里我们把坐标轴称之为渐近线，其图象上任意一点?到渐近线距离与之积必为定值攵,类似地，对于二1双曲线/记一，它的渐近线为岳郎=0或加一以二。，其图象上任意一点p（见）在两渐近人工+如卜工一切线上的射影分别为时，M,则点p到渐近线距离为淳万和不定，即|户财口网|麻+他|忸-他|囚-号a2b2=Jd+UJT7P"=-=a+b2即：若点P在两渐近线上的射影分别为肱N,则|同/口冽必为定值J+虑