高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习理

1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验221. （2016课标全国乙）已知方程mg3m77=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（）A.（-1,3）B.（1,小）C.（0,3）D.（0,木）答案A22解析,一方程t-y=1表示双曲线，（m2+n）-（3m2-n）>0,解得一m2<n<3m2,由双m+n3mn曲线性质，知c2=（m2+n）+（3mn）=4m（其中c是半焦距），焦距2c=2X2|m=4,解得|m=1,一1<n<3,故选A.2. （2016天津）已知双曲线:一y2=1（b>0）,以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的4b圆

2、与双曲线的两条渐近线相交于AB,C,D四点，四边形ABCD勺面积为2b,则双曲线的方程为（）3y22xBz4y22C.x-4丫24T22d.-2=122 / 19答案Db一，、22解析由题意知双曲线的渐近线方程为y=±2x,圆的方程为x2+y2=4,4+b'解得2b4+ bx = m，14 + b2y即第一象限的交点为2b4+b由双曲线和圆的对称性得四边形ABC时矩形,其相邻两边长为84b +/r8X4b4W J4Tb2'故由22b,得b2=12.22故双曲线的方程为套=1.故选D.1的左，右焦点，点 M在E上，MF3. （2016课标全国甲）已知Fi,F2是双曲线E

3、:,，一，1，一与x轴垂直，sin/MI2Fi=-则E的离心率为（3A. ：23.B. 2 C. V3 D . 2答案解析如图，因为1|MF|1又sin/MFF1=3,所以扁=3,即|MF|=3|MF|.由双曲线的定义得2b22a=|MF|MF|=2|MF|=一,a所以b2= a2,所以c2= b2+ a2= 2a2,c所以离心率e=a=.2.4.（2016浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M至Uy轴的距离是.答案9解析抛物线y2=4x的焦点F（1,0）.准线为x=-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足Xm+1=10,解得Xm=9

4、,所以点M到y轴的距离为9.考情考向分析11 .以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.热点分类突破热点一圆锥曲线的定义与标准方程2 .圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF|十|PF2|=2a(2a>|F1F2I)；(2)双曲线：|PF|-PF2=2a(2a<|FiF2|)；抛物线：|PF=|PM,点F不在直线l上，PMLl于M3 .求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 58=4.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的

5、定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待,b2,p的值.例1(1)AABC勺两个顶点为A(4,0),B(4,0),AB时长为18,则C点轨迹方程为()2222a.小/1(打。)B.25+x9=1(y-0)2222c.gx9=1(yw。)晦+$10)22(2)在平面直角坐标系中，已知ABC勺顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆务/1上,sinA+sinCsinB答案5(1)D(2) 4解析(1)ABC的两顶点A(4,。)，B(4,。)，周长为18,，|AB=8,|BQ+|AC=10.1。>

6、;8,点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，.点C的轨迹是以A22B为焦点的椭圆，2a=10,2c=8,b=3.椭圆的标准方程是左+y=1(yw。).故选D.259(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(一4,。)和(4,。)，恰分别为ABC勺顶点A和C的坐标，由椭圆定义知| BA +| BC = 2a= 1。，在 ABC中，由正弦定理可知,sin A+ sin C | BC + | BAsin B|AC定系数法，可结合草图确定.跟踪演练1(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30。，则该双曲线的标准方程为()A.2B.yf27=122C.i2-

7、2? =12D.24-12(2)抛物线y2=4x上的两点A, B到焦点的距离之和为 8,则线段AB的中点到y轴的距离为答案(1)B(2)3解析(1)由抛物线x2=24y得焦点坐标为(0,6),双曲线的一个焦点与抛物线x2= 24y的焦点相同，22. .c=6,设双曲线的标准方程为y2x2=1(a>0, b>。)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为a b30° , a=理,即 b=73a,又; c2=a2+b2,a2=9, b2=27,双曲线的标准方程为 、一=1.故选B.9 2 7(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义及题意知，玄+1 +x?+1 =8,+

8、9=6.线段AB的中点到y轴的距离为3.热点二圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中，a, b, c之间的关系(1)在椭圆中：a2=日+-离心率为一；(2)在双曲线中:y= 土 a*.注意离心率e与渐近线的斜率的关222.双曲线与一y2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为ab系.22例2(1)椭圆r：/+襄1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=43(x+c)与椭圆F的一个交点M满足/MFF2=2/MFR,则该椭圆的离心率等于.(2)已知双曲线x2b2=1的左、右焦点分别为E、E,过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点RC

9、,且|BC=|CE|,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±2gxC.y=±(地+1)xD.y=±(/1)x答案(1)>/31(2)C解析(1)直线y=43(x+c)过点Fi(c,0),且倾斜角为60。，所以/MFF2=60。，从而/MFFi=30°,所以MF,MF.在RtMFFz中，|MF|=c,|MF|=木52c2c所以该椭圆的离心率e=J3-1.2ac+f3c"(2)由题意作出示意图,a易得直线BC的斜率为a,又由双曲线的定义及|BC=|CE|可得|CF|CE|=|BF|=2a,|B4一|BF|=2a?|BF2

10、|=4a,/b4a2x ya2-b2= 1(a>0, b>0)的右焦点为F,右顶点为 A,过F作AF的垂线与双曲线交于 B, C两点，过B, C分别作AC AB的垂线，两垂线交于点 D,若D到直线BC的距离小于a+ >/a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()+4c216a222b2bb厂故cos/CFF2=c=_2x2ax2c?b2ab2a=0?(a)2(a)2=0?a=1+3,故双曲线的渐近线方程为y=±(/3+1)x.思维升华(1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值

11、，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c,a,b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.22跟踪演练2设椭圆C：>>1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PEXF1F2,/PFF2=30°,则椭圆C的离心率为()B. 1 C. 1 D.32(2)(2015 重庆)设双曲线A.(1,0)U(0,1)B.(8,-1)U(1,+oo)C.(-F0)U(0,0D.(-8,*U(G+oo)答案(1)D(2)A解析(1)因为PF21FiF2,ZPFiF2=30,所以|PF2|=2ctan30°=-c,|PF

12、|=-c.所以a2=w-3 3又|PF|+|PF2|=63c=2a,3即椭圆C的离心率为(2)由题作出图象如图所示.x2y2由孑一b2=1可知A(a,0),F(c,0).易得Bc,含，Cc,-7.aab21ab2kAB=,c-aac-a,aa-ckCD=；-2.bb2ab2kAC=a-caa-caa-ckBK；-2bb2aa-cb2+ 了.lBD：yb(xc)，即y=-aa-caca-cU2x+72bbb2aa-clCD：y+3=b(x-c),口raacacac即y=12x72Jbbb4Xd=c-2，点D到BC的距离为b4 aa cb4<a+qa2 + b2 = a+ c,，b4<

13、a2(c2-a2)=a2b2,'''a2>b,0<-2<1.-0<<1.aa热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.例3(2015江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2+电=1(a>b>0)的离ab心率为半，且右焦点F到直线l：x=2的距离为3.2c(1)求椭圆的标准方

14、程；(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC=2|AB,求直线AB的方程.解(1)由题意，得c=乎且c+a=3,a2c解得a=&c=1,则b=1,x22所以椭圆的标准方程为x2+y2=1.(2)当AB!x轴时，|AB=也，又|CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x1),A(xby。，Rx2,y。，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,皿2k2土J21+k23X1,2=1+2k"，"r2k2-kLC的坐标为1+2/，l+2k2'且

15、| AB| = yjX2xi2+y2yi2 =71 + k2X2 X12 22 1 + k2=1 + 2k2若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意.从而kw0,故直线PC的方程为2k12k2y+1+2k2=-kX-1+2k2，5k2+2则P点的坐标为一2,2,kI十2k2从而| PC =-3k2+11+k2；7-2|k|1+2k因为|PC=2|AB,2 所以一3k2+1 41 + k2 4g 1 + k22| k|1 + 2k；-21+ 2k解得k=±1.此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数

16、的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.跟踪演练3(1)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()1 1A.一,，习B.2,2C.-1,1D.-4,4一.一x2y2x_,一.一.一(2)设椭圆C：-+y=1与函数y=tan4的图象相交于A,A两点，若点P在椭圆C上，且直线PA的斜率的取值范围是2,1,那么直线PA斜率的取值范围是.答案(1)C(2)1384解析(1)由题意知抛物线的准线为x=2,，Q2,0),显然，直线l的斜率存在，故设得 k2x2+4( k2-2)x+4k2= 0,y=kx

17、+2直线l的方程为y=k(x+2),由y28x当k=0时，x=0,此时交点为(0,0),当kwo时，A>0,即4(k22)2-16k4>0,解得一1wk<0或0<kW1,综上，k的取值范围为1,1,故选C.2X1(2)由题意，得A,A2两点关于原点对称，设A(X1,y1),A(X1,-y1),P(x°,y°),则有彳2y12Xo2V。232、232、卜=1,即y1=4(4X1),yo=-(4-xo),“一，/口y0+y13X0X131两式相减整理，付吕=一“口=“立因为直线PA的斜率的取值范围是2,1,y0+y1所以2w函=1,所以-2W-w1斛得k

18、PA<-.48PAi4kPA1高考押题精练x2y2,1已知双曲线c/±1(a>0，b>。)的一条渐近线与直线3x+6y+3=0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(xc)2+y2=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为()A.1B.2C.诋D.2乖押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点.答案D解析 由直线垂直的条件， 求出渐近线的斜率a，从而得到渐近线方程，根据圆心到渐近线的距离等于半径，求得b,进而求出焦距2c.由已知，得b(-=-1,所以 b=*6, a 3：6由点F(c, 0)到渐近线y=(-x的距离d =3骂3 c逆2 +3=

19、42,可彳# c=/5,2c=2，5,-1 2故选D.2.已知椭圆C22x y1 一，b2+=1( a>b>0)的离心率为2,且点(13)在该椭圆上.求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于AB两点，若AOB勺面积为平，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.解(1)由题意可得e=a=2,又a|0 t X0+ 1|O的半径r = j-2.'1 + t2=b2+c2,所以b2=3a2.4因为椭圆c经过点(1,2),914所以孑十=1，4a解得a=2,所以b2=

20、3,故椭圆C的方程为x-+yr=1.43-1,9=0,(2)由(1)知Fi(1,0),设直线l的方程为x=ty消去 x,得(4 +3t 2)y26tyx=ty-1,由x2y2*=1显然A>0恒成立,A(x1, y1) , B(x2, y2),w6t则y1+y2=4+3t2所以|yy2|=Nydy24yy36t3612/t2+16 J 2+ 1 6.24+3t2 7 '4+3t22+4+3t2=4+3t2'1所以&aob=2|FQ-|y1y2|=化简得18t4-t2-17=0,即(18t2+17)(t21)=0,解得t2=1,t2=11+t2'所以r=32,

21、故圆O的方程为x2+y2=1.专题突破练A组专题通关221.点F为椭圆，+（=1（a>b>0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使AOF%;正三角形，那么椭圆的离心率为（）D.3-1答案D解析如图所示,设F为椭圆的右焦点，点A在第一象限,由已知得直线 OA的斜率为k=tan60。=声，点A的坐标为c232一_c44.,点a在椭圆上，a2+"b2"=1即袅率1.c4= 0,.b2c2+3a2c2=4a2b2,又.飞2=a2-c2,.Ua4-8a2c2+又 ee(0,1),2.eiA.e?=4±23,e=43 1.故选 D.2（2016 浙江）已知椭圆 G：m+

22、丫2=1户0）与双曲线e2分别为C,。的离心率，则（m> n 且 eie2> 1B. m> n 且 eie2V iC2：2n2- y2= 1( n > 0)的焦点重合,C.2解析由题意可得：m即 m2=n2+2,D.m<n且eie2V1答案A又：m>0,n>0,故m>n.n2+1n2+1n2+1n2n2+2n2e1 , e2> 1.n+2n+11n4+2n2=1+nra>15X223 .已知双曲线C：-y2=1的左，右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相3交于P,Q两点，且点P的横坐标为2,则APEQ的周长为（）A.

23、163B.53C.yD.43答案Ax22解析因为双曲线C:-y=1,3所以a=小,b=1,c=>/a2+b2=2,故F1（2,0）,E（2,0）.由于点P的横坐标为2,则PQLx轴.令x=2,则有y2=:1=；,即y=土里.3337,33|QF2|=|PFa|=,|P（Q=|3,|QF|=|PF|=|PE|+2a=则PFQ的周长为|PF|+|QF|+|PQ=¥+¥+¥=*.故选a.4 .设抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线E上一点，|MF的最小值为3,若点P为抛物线E上任意一点，A(4,1),则|PA+|PF的最小值为()3A.4

24、+-2-B.7C.4+23D.10答案B,，一,一、.p解析由题息，|MF的取小值为3,-2=3,p=6,抛物线E：y2=12x,抛物线y2=12x的焦点F的坐标是(3,0)；设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF=|PD,.要求|PA+|PF取得最小值，即求|PA+|PD取得最小值，当D,P,A三点共线时|PA+|PD最小，为4(3)=7,故选B.5.已知双曲线= 1(a>0, b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F,两曲线的一个交点为P,若|PF=5,则点F到双曲线的渐近线的距离为()A.3B.2C.6D.3答案A2解析.抛物线y=8x的焦点为R2,0),

25、X2y2222，双曲线才一式=1(a>0,b>0)的一个焦点F的坐标为(2,0)，.=c=a+b=4.P是两曲线的一个交点，且|PF=5,Xp+2=5,Xp=3,y2=24.P(Xp, yp)在双曲线2X-2_ a2 泊上,92-翁=1. a ba2+b2=4,联立9 24 a b '解得 a2= 1, b2= 3.双曲线的方程为x223=1.又双曲线的渐近线方程为y=±3x,点R2,0)到渐近线的距离为小.226.已知点A(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，且抛物线的准线过双曲线X2-2=1(a>0,b>0)ab的一个焦点，若双曲线的离

26、心率为2,则该双曲线的方程为.答案x2-y-=13解析二.点A(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上,.16=4p,解得p=4.抛物线的准线方程为x=2.22又抛物线的准线过双曲线02y2=1(a>0,b>0)的一个焦点，c=2,又e=1j=2,a=1,贝Ub=ca=41=3,.双曲线的方程为x2-yr=1.37.一动圆与已知圆O：(x+3)2+y2=l外切，与圆Q：(x3)2+y2=8l内切，则动圆圆心的轨迹方程为.22答案25+16=1解析两定圆的圆心和半径分别是0(3,0),ri=1;Q(3,0),2=9.设动圆圆心为Mx,y),半径为R,则由题设条件，可得|MQ=

27、R+1,|QM|=9RIM0+|M0=10>|OO|=6.由椭圆的定义知点MB以O,Q为焦点的椭圆上，且2a=10,2c=6,by221(a>b>0)的离心率为椭圆的短轴端点与双曲线1x=1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A, B两点.(1)求椭圆C的方程； (2)求OA OB勺取值范围.解(1)由双曲线y2-x2=1得其焦点为(0, 士小),=16.动圆圆心的轨迹方程为著yT=1.2516228.过椭圆，+?=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点，0为坐标原点，则AOB勺面积为.5答案；3解析由已知得直线方程为y=2(x1).y

28、= 2x- 2,由 222 c4x2+5y220=0,得 3y2+2y-8= 0,设 A(x1, y1) , B(x2, y2),则 y+y2 =283，y1y2= 3，I y1 y2| = yjy1+y22,4yy2=4 32 10鹏十了十S»A AOB= - X 1 X2103229 .已知椭圆C： -2 + y2 =a b，b=<3.又由e=7=2，a2=b2+c2,得a2=4,c=1.22故椭圆C的方程为991.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x 4),由消去V，得(4 k2+ 3) x2- 32k2x+ 64k2- 12=0由 =( 32k2

29、)24(4k2+3)(64 k212)>0 ,设 7x1, y1) , B(x2, y2),32k2“ x1 + x2 = 4k2+3，.264 k 12x1x2= 4k2+3 'yy2= k2( x 4)( x2 4) =k2x1x24k2(x1 + x2) + 16k2,Oa Ob= X1X2 + yiy2= (1 + k2) -64k2-12,232k21 2874k2+ 3 4 , 4k2+3 + 16 =25 4八3.-0< k2<-, 29w 4，87874k2+3 < 彳OA- Obe - 413彳)故OAOb勺取值范围为4,143).10 .如图

30、所示，抛物线y2=4x的焦点为F,动点T(1,n),过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点，弦PQ勺中点为N证明：线段NT平行于*轴(或在x轴上)；(2)若mo0且|NF=|TF|,求m的值及点N的坐标.、一，、八,.一一m证明易知抛物线的焦点F(1,0),准线x=-1,动点T(-1,m在准线上，则kTF=».当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上.y2=4x,一，一22当mO时，由条件知kPQ=二所以直线PQ勺方程为y=-(x-1),联立2mmy=mxi,得x2(2+n2)x+1=0,又=(2+喻24=n2(4+n2)&

31、gt;0,设p(xi,yi),C(x2,y2),可知xi+x2=2+m,yi+y2=m(xi+x22)=2m所以弦PQ的中点2+mN(-2,m,又T(1,m,知kNT=0,则NT平行于x轴.综上可知线段NT平行于x轴(或在x轴上).INF(2)解已知|NF=|TF|,在TFN中，tan/NTF=-'=1?/NTF=45,设A是准线与x轴的交点，则TFA是等腰直角三角形，所以|TA=|AF=2,又动点T(-1,m,其中m>0,则m=2.因为/NTF=45°,所以kpQ=tan450=1,又焦点F(1,0),可得直线PQ勺方程为y=x-1,由m=2得T(1,2),由(1)知

32、线段NT平行于x轴，设N(x。，y。)，则丫。=2,代入y=x-1,得x0=3,所以N3,2).B组能力提高2211 .已知F1、F2为椭圆25+16=1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且MFF2的内切圆的周长等于3兀，则满足条件的点吊有()A.0个B.1个C.2个D.4个答案Cx2y2口22斛析由椭圆方程云+16=1可得a=25，b=16,a=5,b=4,c=3.由椭圆的定义可得|MF|十|MF|=2a=10,且|F1F2|=2c=6,.MFF2的周长|MF|+|MF|+|用|=10+6=16.设MFF2的内切圆的半径为r,3由题意可得271r=3兀，解得r=2.设M(x0,v0,-1_则SVMF1F2=2(1MF|+|MF|+IF1F2I)r1131=2lF1F2I,Iyo|,即Xi6x2=2*61yo|,解得|yo|=4.，yo=±4.M0,4)或(0,4).即满足条件的点M有2个.故选C.F,且右22a2,一口.八.八x2y2乙一12.已知圆x+y=i6上点E处的一条切线l过双曲线孑一b2=1(a>0,b>0)的左焦点与双曲线的右支交