具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形

1、具有幂条件的矩阵类的具有幂条件的矩阵类的研究与研究与JordanJordan标准形标准形杨忠鹏杨忠鹏 陈梅香陈梅香一、问题的来源一、问题的来源 1. 1. 教学教学 2. 2. 学生毕业论文选题学生毕业论文选题 3. 3. 考研试题考研试题二、问题的内容二、问题的内容 近年来，J.koliha1 和 Y.Tian2,3等一批学者对幂等矩阵的性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列的秩等式关系，并得到了在约束条件 下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无关的结果。=(a,b):ab(a+b) 0 1. 若A A2 2=A=A，则称A A为幂

2、等矩阵。文献5研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性.文献6利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献7讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性. 2.2.若若 A A3 3=A=A，称，称 A A为三幂等矩阵。为三幂等矩阵。5指出 3 幂等矩阵的重要且常用的性质: 3A =ABC=-,2BB=,2CC=,0BCCB=,(1) 在(1)中当0C =或0B=时,A分别是幂等和由1-确定的数量幂等的(见2)。 当,B C都非零时,1称A为本质 3 幂等的. m幂等矩阵的研究引起很多人的关注：文献8-10讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性,11，12研究了m幂等矩阵的一

3、些代数性质.由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否有一个统一的形式？有一个统一的形式？三三 问题的解决问题的解决 定义1与13的(m,l)幂等矩阵的规定相同，13还研究了(m,l)幂等矩阵性质与判定，如： 这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立.15应用最小多项式来刻划本质(m,l)幂等矩阵的两个充要条件都是不成立的.出现问题主要原因，可能在于没有从内部结构上把握这类矩阵特点. 从16，命题5和15,定理7可得应用矩阵秩的恒等判定(m,l)幂等矩阵的充要条件.事实上，要得到为本质(m,l)幂等矩阵的结果，与14-

4、16相比不仅要求Am=Al，还要证明m是这个等式成立的最小正整数. 由14,引理2.1知AFnn的幂等性与数域的扩大无关,因此问题可归结为A在复数域上的Jordan标准形的幂等性.这样总设ACnn，满足 我们在18中应用矩阵AC nn的Jordan标准形得到了本质(m,l)幂等矩阵的特征刻画. 作为应用，可给出本质m对合、本质m幂等矩阵的充要条件.四、进一步的讨论 在19、20和11等关于含幺结合环上的k次幂等矩阵正交与代数等价的讨论基础上，最近12研究了数域F上的相关情况，使得讨论深入到了特征多项式和特征值等矩阵理论的核心问题。 我们在文献22中应用数域上(m,l)幂等矩阵与m幂等矩阵的关系

5、，得到了数域上(m,l)幂等矩阵的l次方幂的代数等价、相似和特征多项式相等是互为确定的结论。 参考文献参考文献1J.J.KoliHa，V.Rakocevic,Sttaskraba.The difference and sum of projectors.Linear Algebra Appl. 2004，8：1-10.2Y.G. Tian,G. P.H.Styan.Rank equalities for idempotent and involutory matrices. Linear Algebra Appl. 2001 ，335 :101-117.3 Y.G.Tian,G.P.H.Sty

6、an Rank equalities for idempotent matrices with applications.Journal of Computional and Mathematics. 2006，191 ：77-97.4 J.K. Baksalary, O.M. Baksalary, Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices, Linear Algebra Appl.2004，388 ： 25295 J. K Baksalary，O.M.Baksalary and George Styan P H.

7、 Idemotency of linear combinations of an idempotent matrix and tripotent matrix.Linear Algebra Appl.，2002，304：21-24.6杨忠鹏杨忠鹏, 陈梅香陈梅香,林国钦林国钦.关于三幂等矩阵的秩特征的研究关于三幂等矩阵的秩特征的研究. 数学研究数学研究, 2008,41(3) :311-315.7 张俊敏，成立花，李作张俊敏，成立花，李作. 幂等矩阵线性组合的可逆性幂等矩阵线性组合的可逆性. 纯粹数学与应用数学纯粹数学与应用数学. 2007，23 (2)：231-234.8J.Benitez

8、and N.Thome. Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and t-potentmatrix that commute . Linear Algebra Appl., 2005, 403:414-418.9Deng Chun-yuan,Li qi-hui and Du Hong-ke. Generalized n-idempotents and Hyper-generalized n-idempotents. Northeast Math. J., 2006,22(4):387-394.10Leila le

9、btahi and Nestor Thome. A note on K-generalized projections. Linear Algebra Appl.,2007,420(2-3):572-575.11周航，樊旭辉周航，樊旭辉. 由由n次幂等矩阵确定的交换幺半群次幂等矩阵确定的交换幺半群. 纯粹数学与应用数学，纯粹数学与应用数学，2009，25（1）：）：99-101.12金慧萍，吴妙仙金慧萍，吴妙仙. k次幂等矩阵和矩阵的正交性次幂等矩阵和矩阵的正交性. 茂名学院学报茂名学院学报,2010,20(1):55-5713 13 张伟张伟. . 方阵的幂及具有幂条件的矩阵类方阵的幂及具有

10、幂条件的矩阵类. . 青岛化工学院学报青岛化工学院学报, ,1999,20(3):292-295.1999,20(3):292-295.1414郭文静郭文静, , 杨忠鹏杨忠鹏, , 陈梅香陈梅香. . 秩幂等矩阵和幂等矩阵的特性研究秩幂等矩阵和幂等矩阵的特性研究. .北华大学学报（自然科学版）北华大学学报（自然科学版）. 2009,10(1):5-9. 2009,10(1):5-9.1515杨忠鹏杨忠鹏, , 陈梅香陈梅香, ,林国钦林国钦. .关于矩阵方幂的秩恒等式的注记关于矩阵方幂的秩恒等式的注记. . 福州大学学报（自然科学版）福州大学学报（自然科学版）,2009,37(1):24-2

11、8.,2009,37(1):24-28.1616胡付高，曾与娥胡付高，曾与娥. .一类矩阵多项式秩的恒等式与应用一类矩阵多项式秩的恒等式与应用. . 山东大学学报（理学版），山东大学学报（理学版），20082008，4343（8 8）：）：51-54.51-54.17 17 亓正坤，王廷明，傅海伦亓正坤，王廷明，傅海伦. . 方阵幂的秩等式及其应用方阵幂的秩等式及其应用. .山东师范大学学报（自然科学版），山东师范大学学报（自然科学版），20082008，2323（3 3）：）：15-17.15-17.18 18 杨忠鹏杨忠鹏, ,陈梅香陈梅香, ,郭文静郭文静. .本质本质( (m,l)m,

12、l)幂等矩阵的特征研究幂等矩阵的特征研究. .数学研究数学研究, ,2011,44(01):87.2011,44(01):87.1919 周航周航, ,柳卫东柳卫东. .次幂等矩阵的代数等价与相似次幂等矩阵的代数等价与相似. .西南民族大学学报西南民族大学学报( (自然科学版自然科学版),2008,34(02):229- 230.),2008,34(02):229- 230.20 20 周航周航, ,樊旭辉樊旭辉. .次幂等正交矩阵集中的等价关系次幂等正交矩阵集中的等价关系. .纺织高校基础科学纺织高校基础科学学报学报,2008,21(02):255-256.,2008,21(02):255-

13、256.2121林维林维, ,黄玉笙黄玉笙, ,陈梅香陈梅香, ,杨忠鹏。关于杨忠鹏。关于“次幂等矩阵和矩阵的正交性次幂等矩阵和矩阵的正交性”的注记，广东石油化工学院学报，的注记，广东石油化工学院学报，2011,212011,21（6 6）：）：60-6360-632222陈梅香陈梅香, , 林维林维, ,杨忠鹏杨忠鹏 （通信作者）。幂等矩阵的代数等价与正交（通信作者）。幂等矩阵的代数等价与正交的一些性质，数学研究，的一些性质，数学研究，20122012年年4545卷卷1 1期期:58-65:58-6523R.A.Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis.New York:Cambridge 23R.A.Horn, C. R. Johnson.