概率论与数理统计：2-5随机变量的函数的分布

1、一、离散型一、离散型随机变量随机变量的函数的分布的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布2.52.5随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布问题的提出问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. .42d求截面面积求截面面积 A A = = 的分布的分布. .例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d d 的分布，的分布，已知已知t=tt=t0 0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V V的分布，的分布，求功率求功率 W=VW=V2 2/R/R ( (R R为电阻）的分布等为电阻）的分布等. .这这类类问题无论在

2、实践中还是在理论上都是重要的问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. .问题的一般提法问题的一般提法?)(的分布的分布变量变量的分布求得随机的分布求得随机量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XfYX . )(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 记作记作的函数的函数为随机变量为随机变量则称随机变量则称随机变量的值的值而取而取的值的值取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布下面举例说明解决办法下面举例说明解决办法 设设X X是离散型随机变量

3、，则是离散型随机变量，则Y=g(X)Y=g(X)一般也一般也是离散型随机变量。是离散型随机变量。 此时，只需由此时，只需由X X分布律求得分布律求得Y Y的分布律即可。的分布律即可。Y 的可能值为的可能值为 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002 XPXPYP,41 .2的分布律求XY Xp2101 41414141例例1 1 设X的分布率为)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故Y 的分布律为的分布律为Yp410412141由此可得离散由此可得离散型随机变量函型随机变量函数分布的求法数分布的求法离散型随机变量

4、的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgX -1 0 1 2 3 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 求求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律的分布律 练习练习: : 设离散型随机设离散型随机 变量变量X X的分布律为的分布律为 解: 由X的

5、分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18(1)Y=X-1的分布律为的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 （2）Y= -2X2的分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 3/10 3/10 3/10 1/10 二、连续型随机变量函数的分布 yxgXlXyYdxxfdxxflXPyFy)()()(再由FY(y)求导可求出Y的概率密度 )(yFyfYY 设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X) （g连续）

6、的概率密度。 因为FY(y)=PYy=Pg(X)y，1 1一般方法一般方法分布函数法分布函数法可先求出可先求出Y的分布函数的分布函数FY(y)：下面举例说明此法也叫“分布函数法” 设ly=x|g(x)y则)()(yFyfyY ,2828 yyfX第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度. .d)(28 xxfyX ., 0, 4280,212881)(其其他他所所以以yyyfY ., 0,168,328其其他他yy.82., 0, 40,8)(的概率密度求随机变量其他的概率密度为设随机变量XYxxxfXX第一步第一步 )(yYPyFY 解解例例228( ).YYXFy先求的分布函

7、数28PXy82yP X82( )dyXfxx例例3 设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X2的概率密度的概率密度.)(xfX)(yXyP求导得求导得0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY当当 y0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，)()(yFyFXX若若exxfX2221 )(x则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：0, 00,21)(221yyyfeyyY称称Y Y服从自由度为服从自由度

8、为1 1的的 分布。分布。2练练 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度.,0)(yFY当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 1)(yFY10 y x0当当时时故故解：注意到解：注意到,当当00(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )严格单调增加，它的反函数严格单调增加，它的反函数h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求严格单调增加，可导，现在先来求Y Y的分布函的分布函数数F FY Y(y)(y)。 yhXdxxf因为因为Y=g(X)Y=g(X)在在(，)

9、取值，故当取值，故当yy时，时， F FY Y(y)=PYy=0(y)=PYy=0；此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似. .当当yy时，时， F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1；当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g (x)0)(x)0)，此时此时 )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)0, 同理可证同理可证 其其他他0)()()( yyhyhfyfXY证证X 的概率密度为的概率密度为.,e21)(222)( xxfxX,)(baxxgy 设设,)(abyyhx 得得. 01)( ayh知知.)0(,

10、),(2也服从正态分布也服从正态分布数数的线性函的线性函试证明试证明设随机变量设随机变量 abaXYXNX例例4 ., 0, )()()(其他其他由公式由公式 yyhyhfyfXY的概率密度为的概率密度为得得baXY .),(1)( yabyfayfXY222)(e211abya .,e2122)(2)( yaaaby)( ,(2abaNbaXY 得得.,2,2,sin的概率密度的概率密度求电压求电压试试且有且有是一个随机变量是一个随机变量相角相角数数是一个已知的正常是一个已知的正常其中其中设电压设电压VUAAV 解解上恒有上恒有在在因为因为 2,2sin)(Agv, 0cos)( Ag,ar

11、csin)(Avvh 所以反函数为所以反函数为,1)(22vAvh 例例5的概率密度为的概率密度为知知又由又由U,2,2 ., 0,22,1)(其他其他f的概率密度为的概率密度为由定理得由定理得AVsin ., 0,11)(22其他其他AvAvAv?)(,)(又怎样又怎样是连续型的是连续型的若若也是离散型随机变量吗也是离散型随机变量吗则则是离散型随机变量是离散型随机变量若若是连续函数是连续函数设设XXgYXxg 思考思考1：思考思考1，2的举例见附录！的举例见附录！ 若在上题中若在上题中在在(0(0，)上服从均匀分布，因为上服从均匀分布，因为此时此时v=g()=Asinv=g()=Asin在在

12、(0(0，)上不是单调函数，上不是单调函数，上述定理失效，此时方法如何？上述定理失效，此时方法如何？ 思考思考2：小结：小结：求随机变量函数的分布的方法：求随机变量函数的分布的方法：2.2. 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的密度函数为的密度函数为 X X(x), y=f(x)(x), y=f(x)连续连续, , 求求Y= f(X)Y= f(X)的密度函数的方法有三种：的密度函数的方法有三种：1.1. 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 PX=xPX=xi i=p=pi i，i=1,2,i=1,2,n ,n , 又又y=f(x)y=f(x)是是x x的连续函数，则

13、的连续函数，则Y=f(X)Y=f(X)是随机变量，是随机变量，其分布律为其分布律为 PY=f(xPY=f(xi i)=p)=pi i，i=1,2,i=1,2,n ,n , 若某些若某些f(xf(xi i) )相等，将它们作适当并项即可。相等，将它们作适当并项即可。（1 1）分布函数法；）分布函数法； ygygygygyXXY2211 （2 2）公式法：公式法：若若y=f(x)y=f(x)严格单调可导，则其反函数严格单调可导，则其反函数严格单调可导，此时可用公式法；严格单调可导，此时可用公式法；* *（3 3）若若y=f(x)y=f(x)在不相重叠的区间在不相重叠的区间I1,I2,I1,I2,上

14、逐段上逐段严格单调可导，其反函数分别为严格单调可导，其反函数分别为g1(y), g2(y), g1(y), g2(y), , ,且且g g 1(y), g 1(y), g 2(y), 2(y), , ,均为连续函数，则均为连续函数，则Y= f(X)Y= f(X)是连续型随机变量，是连续型随机变量， 其密度函数为其密度函数为 在求在求Y Y= =g g( (X X) ) 分布时，分布时，关键步是把关键步是把事件事件 g g( (X X) ) y y 转化为转化为X X在一定范围内取值的形在一定范围内取值的形式式，从而可以利用，从而可以利用 X X 的分布来求的分布来求 P P g g( (X X

15、) y y . .本章小结0 -1 分 布二 项 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U (a ,b )正 态 分 布 N (a , )指 数 分 布 E （ )连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变随随 机机 变变 量量随 机 变 量 函 数 的 分 布2附附 录录

16、 思考题思考题1，2举例举例思考思考1 1：例：例 设设X X在在0,0,服从均匀分布，求：服从均匀分布，求：Y=sinXY=sinX的分布函数的分布函数F FY Y(y)(y)和概率密度和概率密度. . 其他其他0), 0(1)(: xxfX （2 2）y=sinxy=sinx在在0,0,不不单调，但可分为两单调区间单调，但可分为两单调区间 （0,/2 0,/2 ）(/2 , )(/2 , )解：解：（1 1）（3）求：FY(y)=PYy ，当0y1时，FY(y) =PsinX y =P0 Xarcsiny +P -arcsiny X yy0 x /2 xx1=arcsinyx2=-arcs

17、iny其他求01012 )()(: )()4(2yyyFyfyfYYYyyydxdxyyarcsin2arcsin1arcsin111arcsinarcsin0 1110arcsin200)(yyyyyFY ?)(,)(又怎样又怎样是连续型的是连续型的若若也是离散型随机变量吗也是离散型随机变量吗则则是离散型随机变量是离散型随机变量若若是连续函数是连续函数设设XXgYXxg .,.,量量不一定是连续型随机变不一定是连续型随机变那么那么机变量机变量是连续型随是连续型随若若是离散型随机变量是离散型随机变量因此因此限多个限多个列无列无的取值也是有限个或可的取值也是有限个或可因此因此可列无限多个可列无限多个它的取值是有限个或它的取值是有限个或是离散型随机变量是离散型随机变量若若YXYYX思考思考2 2：概率密度为概率密度为上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设,)2, 0(X ., 0, 20,21)(其他其他xxf . 21, 1, 10,)(xxxxgy又设连续函数又设连续函数:)()(可以计算出来可以计算出来的分布函数