第2章 流变学基本概念

1、第第2 2章章 流变学的基本概念流变学的基本概念主要内容主要内容2.1 流体形变的基本类型2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义2.3 应力张量和应变张量2.4 本构方程和材料函数第第2 2章章 流变学的基本概念流变学的基本概念流变现象力学行为理想化模型应力-应变(速率)的关系流体均匀各项同性应力-应变亦如此应力应变应变速率2.1 2.1 流体形变的基本类型流体形变的基本类型三种最基本的形变类型：（1）拉伸和单向膨胀（2）各向同性的压缩和膨胀（3）简单剪切和简单剪切流2.1.1 2.1.1 拉伸和单向膨胀拉伸和单向膨胀（1）拉伸和单向膨胀在拉伸实验中，流体元在拉伸方向上的长度增加，而在两位两个方

2、向上长度则缩短。若L=L，M=M，N=N且=(L-L)/L,=(M-M)/M=(N-N)/N则有=1+ ，=1-（、1）称为应变，或拉伸应力方向上的应变。显然，拉伸时1，1，则有和均0；压缩时1，1，则有和均0；流体元的体积变化率：V/V=(1+)(1- )2 -1-22.1.1 2.1.1 拉伸和单向膨胀拉伸和单向膨胀（2）各向同性的压缩和膨胀若压缩比则压缩应变= -1 (1) 压缩时，0。流体元的体积变化率：V/V= 3-1=(1+)2 -132.1.2 2.1.2 各向同性的压缩和膨胀各向同性的压缩和膨胀2.1.3 2.1.3 简单剪切与简单剪切流简单剪切与简单剪切流简单剪切中，顶面相对

3、于底面发生位移w，高度l 保持不变，则变形可表示如下：=/l=tan=1若1,则表示剪切应变（shear strain）剪切应变速率(剪切速率)：（shear rate）一个假设：在模型推导和计算中，一般将流场中的流体都当作连续介质来处理。定义：由具有确定质量的、连续地充满空间的众多微小质点(微团)所组成的，微团之间无孔洞，在流体的流动形变过程中相邻微团永远连接，既不能超越也不能落后。ddt2.2 2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义标量、矢量和笛卡尔张量的定义2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义（a）标量在选定了测量单位后，仅由数值大小所决定的物理量，与事件发生、发展的方向无关。如温度T、

4、能量E、体积V、时间t等。（b）矢量在选定了测量单位后，由数值大小和空间的方向决定的物理量。如位置p、速度u、加速度a、动量mv、力F等。2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义（c）张量在笛卡尔坐标系中，在一点处不同方向上、具有不同量值的物理量，称为张量或笛卡尔张量。张量是矢量的推广，是比矢量更为复杂的物理量，如应力张量、应变张量、应变速率张量、取向张量等什么是笛卡尔坐标系？笛卡尔坐标系 是直角坐标系和斜角坐标系的统称。.斜角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴

5、的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样就构成了一个笛卡尔坐标。2.2 2.2 标量、矢量和张量的定义标量、矢量和张量的定义3.数学定义 不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关系：标量：123123(,)(,)x xxx xx矢量： 123123123123(,)(,)(,)(,)ikkiikikF x xxF x xxF x xxF x xx张量： 123123123123(,)(,)(,)(,)mijijminjmnimjntx xxtx xxtx xxtx xx 2.2.3.1 几个特殊张量1）单位张量（克罗内克算子）100010001ijI2.2.3

6、2.2.3 张量的运算张量的运算2）对称张量 张量的分量满足 ，则称这样的张量为对称张量。ijji1112131112132122232223313233332.2.3.1 2.2.3.1 几个特殊张量几个特殊张量3）并矢张量 将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：111213212223313233ABABABA BA BA BA BA BA B 并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况下，ABBA2.2.3.1 2.2.3.1 几个特殊张量几个特殊张量2.2.3.2 2.2.3.2 张量的代数运算张量的代数运算1）

7、张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对应相等，则两张量相等。2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。PQTPQ标量、矢量和笛卡尔张量的定义3）张量与标量的乘（除） 即把张量的各个分量分别乘以标量111213111213212223212223313233313233PPPPPPTPPPPPPPPPPPPP标量、矢量和笛卡尔张量的定义4）向量和张量的乘积 向量与张量点乘，其积均为一个矢量。5）张量与张量乘积（单点积） 张量与张量单点积得一张量：TP Q2.2.4 2.2.4 张量的重要性张量的重要性在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。两个

8、同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。2.3 2.3 应力张量和应变张量应力张量和应变张量1、物体受力的三种类型：（1）外力也称为长程力，指作用于物体上的非接触力，如重力、电场力、磁场力等；（2）表面力指施加在物体外表面的接触力。是物体内的一部分通过假想的分离面作用在相邻部分上的力，即外力向物体内传递，常作为边界条件处理；（3）内部应力想象将物体分割成许多微观尺度、足够小的单元，单元表面存在着相互作用力，称为应力。与流体微团相邻的流体质点直接施加的表面接触力，也称为近

9、程力。单位：Pa、MPa、GPaT= FSdFdS2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量在笛卡尔坐标系中，假设某点的作用力为F，则F总可以分解为X、Y、Z三个方向的分力Fx、Fy、Fz，若将之除以相对应微体积元面积，则可得到相应的应力Tx、Ty、Tz。再将每一个应力沿X、Y、Z三个方向进行分解，则得到以下分量形式：Tx=（Txx, Txy, Txz） Ty =（Tyx, Tyy, Tyz）Tz=（Tzx, Tzy, Tzz）应力张量Tij：应力张量分量下标i表示应力的作用面，j 表示应力的方向如Txy表示x面上的沿y 方向的应力xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTT2.3.

10、1 2.3.1 应力张量应力张量 通常将应力张量分解为两部分： 流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； 张量的各向同性部分；-TP-ijijijTP2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量称为单位张量，可定义为以下形式：100= 010001ij当时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量一些基本流变实验中的应力张量：a、（单向）拉伸实验作用力施加于试样的断面，且与断面所在平面垂直，因此，其应力为Txx，相应的应力张量为： Ttensile=00000000 xxT2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量b、各向同性的压缩定义：如果应力矢量T无论在什

11、么方向上总是与分隔面(作用面)垂直，且其大小与分隔面的方向无关，则称为各向同性。流体静止时（完全流体无论何时）内部的接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力也称为流体静压力。2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量nTnP 因此，在压缩实验中，其应力为Txx=Tyy=Tzz=P，其它剪切应力分量均为零。则相应的应力张量为： Tcompresion=000000 xxyyzzTTT2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量c、简单剪切在剪切应力实验中，应力与作用面平行，为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必须施加相应的另一个剪切应力。总力矩为： 2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量=0yx

12、xydLT dxdydzT dxdydz=yxxyTT因此，Txy=Tyx=f / S，则相应的应力张量为或Tshear= = 或0000000 xyyxTT0000000 xzzxTT0000000yzzyTT2.3.1 2.3.1 应力张量应力张量变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：12(,)PPdx dy dz变形后的两点相对位置用下列矢量表示：12(,)xyzP Pdxdu dydudzdu2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量变形前的距离为：(,)dsdx dy dz变形后产生的相对位移：(,)xyzdudu dudu2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量 变形前后两点的相对位

13、置发生变化，其变化量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形式为:xxxyyyzzzuuuxyzuuududsxyzuuuxyz 无穷小位移梯度张量,yxzuuuxyz和分别表示各坐标轴方向上的单位伸长，即变形对各坐标的变化率。2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量 根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张量可分解为两部分：11+2211+2211+22110-2211-2212yxxxzyyyxzyxzzzyxxzyyyxzuuuuuxyxzxuuuuududsxyyzyuuuuuxzyzzuuuuyxzxuuuuuxyyzy（） （）（）（）（） （）（） （）（）（）（=E+W1-2yxzz

14、zuuuuuxzyzz） （）应变张量反对称二阶张量2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量应变张量可简为：xxxyxzijyxyyyzzxzyzzeeeEeeeeeee可得到：,yxzxxyyzzuuueeexyz1+2yxxyyxuueeyx（）1+2xzxzzxuueezx（）1+2yzyzzyuueeyz（）2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量第一不变量：1xxyyzzIeee第二不变量：2( , , )ijjiijIe ei jx y z第三不变量：3000000 xxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzeeeeIeeeeeeee2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量3332

15、312322211312113I3322111I3331131133322322221221112I.各向同性压缩 设笛卡尔坐标的原点在试样的角上，各边与坐标轴一致。(1)xx(1)yy(1)zz2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量.拉伸实验 笛卡尔坐标的原点在物体的中心，各边与坐标轴平行。(1)xx(1)yy(1)zz2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量.简单剪切xxyyyzz2.3.2 2.3.2 应变张量应变张量2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量在流动过程中，与流体应力状态相关的更重要物理量，往往不是形变的大小，而是形变进行的速率，它与流动场中的速度梯度密切相关。设

16、在某一瞬时位形，流体内的流动速度场为，则定义速度梯度张量如下：2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量描述流动会涉及应变速率张量，则为11()()2211()()2211()()22yxxxzyyyxzyxzzzxyxzxvxyyzyxzzyz zvzvyvzvxvyvzvyvyvxvxvzvxvyvxvzyzxzzyyxyzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx2220)()(0)(0yVzVxVzVyVzVxVyVxVzVxVyVzyzxzyyxzxyx2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量是应变速率张量，表征了材料形变的速率。是反对称张量，称旋转速率张量，与材料的

17、形变无关。例例1 1 简单剪切流场中的形变率张量简单剪切流场中的形变率张量2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量任一瞬间流体的运动可以分解为以下四种运动：1、平动2、整体刚性转动3、产生拉伸应变速率的运动4、产生剪切应变速率的运动应变速率张量的性质应变速率张量的性质应变速率张量随应变速率张量随zzyyxxI zzzyyzyyzzzxxzxxyyyxxyxxII zzzyzxyzyyyxxzxyxxIII2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量如果 ，则流体无体积变化11I 如果 ，则流体体积膨胀11I 如果 ，则流体体积压缩11

18、I 2.3.3 2.3.3 应变速率张量应变速率张量2.4 2.4 本构方程和材料函数本构方程和材料函数牛顿第二定律：F=m.a应力张量 应变张量(应变速率张量)本构方程（constitutive equation）定义：一类联系应力张量和应变张量或应变速率张量之间的关系方程。联系的系数通常是材料常数，如黏度、模量等建立本构方程是将计算方法引入流变学的关键，可以说是流变学最重要的任务? =G 2.4 2.4 本构方程和材料函数本构方程和材料函数材料函数可看作本构方程的特殊情况，即某一给定的特定的应力分量与应变分量之间的关系。通常表现为联系应力和应变相应分量的各种经验方程；通常决定于应力、应变测量范围内的多种因素根据不同的材料体系，往往会表现出各种不同的材料函数