简单的超越不等式

1、.薃肆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃芇蕿蚀聿芆蚂袆羅芅莁蚈羁芅薄羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁节蒈螅羇芁薀羁袃莀蚂螃膂莀莂罿肈荿蒄螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿蚃膅莅薁袈肁莄蚃蚁羇蒄莃袇袃蒃蒅虿膁蒂薈袅膇蒁螀蚈肃蒀蒀羃罿葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒈螆螄肀薇蒆羀羆膃薈螂袂膂螁羈芀膁蒀袁膆膁薃肆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃芇蕿蚀聿芆蚂袆羅芅莁蚈羁芅薄羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁节蒈螅羇芁薀羁袃莀蚂螃膂莀莂罿肈荿蒄螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿蚃膅莅薁袈肁莄蚃蚁羇蒄莃袇袃蒃蒅虿膁蒂薈袅膇蒁螀蚈肃蒀蒀羃罿葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒈螆螄肀薇蒆羀羆膃薈螂袂膂螁羈芀膁蒀袁膆膁薃肆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃芇蕿蚀聿芆蚂袆羅芅莁蚈羁芅薄羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁节蒈螅羇

2、芁薀羁袃莀蚂螃膂莀莂罿肈荿蒄螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿蚃膅莅薁袈肁莄蚃蚁羇蒄莃袇袃蒃蒅虿膁蒂薈袅膇蒁螀蚈肃蒀蒀羃罿葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒈螆螄肀薇蒆羀羆膃薈螂袂膂螁羈芀膁蒀袁膆膁薃肆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃芇蕿蚀聿芆蚂袆羅芅莁蚈羁芅薄羄艿芄蚆螇膅 第49课 简单的超越不等式考试目标 主词填空1.指数不等式通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a>1时,af(x)>ag(x) f(x)>g(x);0<a<1时,af(x)>ag(x) f(x)<g(x).2.对数不等式通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a>1时,logaf(x)>

3、logag(xf(x)>g(x)>0;0<a<1时,logaf(x)>logag(x) 0<f(x)<g(x).3.三角不等式形如:sinxa,sinxb及asinxb的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0x2)及y2=a(或b)(0x2)图，得出满足x0,2的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.形如:cosxa,cosxb及acosxb的不等式，除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求

4、解程序如下：在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b), 的图像，先得出满足条件x 的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.形如:tanxa,tanxb及atanxb的不等式,有直接的结论可用:tanxa的解集是: .tanxb的解集是:.atanxb的解集是:k+arctana,k+arctanb,kZ.题型示例 点津归纳【例1】 解下列对数、指数不等式:(1)9x-3x-2<0;(2)(log23x)2+(log23x)-20;(3)2x·log2x+2x-log2x-1<0.【解前点津】 (1)视3x为新变量，可因式分解,(2)视

5、log23x为新变量对象，同样可因式分解，(3)分组分解因式，讨论求解.【规范解答】 (1)化原不等式为:(3x+1)·(3x-2)<0,3x+1>0恒成立,故原不等式可化为:3x-2<0即3x<2x<log32;(2)化原不等式为:(log23x-1)·(log23x+2)0log23x1或log23x-2log23xlog22或log23xlog23x2或0<3x.故原不等式的解集为:.(3)分组得:(2x·log2x+2x)-(log2x+1)<0(2x-1)·(log2x+1)<0故原不等式解集为.

6、【解后归纳】视3x及log23x为新变量，是整体代换的换元思想，通过“换元”，将超越不等式转化为一元二次不等式，通过因式分解，化简了超越不等式，回归到指数不等式，对数不等式的“原始模型”，最后得出原不等式的解.【例2】 解下列三角不等式(1)sin2x> (2)cosx-;(3)tan2004x-1; (4)- sin(3x-).【解前点津】 利用基本函数y=sint.y=cosx的图像求解.【规范解答】 (1)令2x=t,则sint>,在同一坐标系中作函数y1=sint(0t2)及y2=(0t2)的图像,容易算出两函数图像交点的横坐标分别是.故当t0,2时,有:.从而当tR时有2

7、k+,即:2k+,解之:k+ ,kZ.(2)在同一坐标系中作函数y1=cosx在的图像,及函数y2=-的图像.当cosx=-时,x=.故当-x时,cosx-的解为: x原不等式的解为2k+x2k+,kZ.(3)当tan2004x=-1且-<2004x<时,2004x=-.故由k-2004x<k+得原不等式解为: ,kZ. (4)令t=3x-,在同一坐标系中,作如下三个函数的图像:y1=sint,y2=-,y3=,当t0,2时,可算出交点A、B、C、D的横坐标依次为: , ,.因夹在两平行直线间的曲线有如下几段:故由0t得在R上x满足:2k3x-2k+,或2k+3x-2k+,或

8、2k+3x-2k+2.故原不等式解集为:(kZ).【解后归纳】 利用图像法解三角不等式，关键是利用了函数的周期性，先在一个周期内确定不等式的解,然后得出原不等式的整个解集，这叫做“化难为易”.【例3】 求下列函数的定义域:(1)y=; (2)y=.【解前点津】 先列出不等式，再化简不等式，最后求解不等式.【规范解答】 (1)由1-sin2x-cos2x0得sin2x+cos2x1sin(2x+),令t=2x+,得sint.当t0,2时,由sint=得,t=及.故当t0,2时,由sint得:0t或t22k2x+2k+或:2k+2x+2k+2，解之:k-xk或k+xk+(kZ).(2)由k-<

9、;x-kk-<xk+,kZ.【解后归纳】 对结构稍复杂一点的三角不等式，常利用有关公式先进行化简，使之与三角不等式的基本模型对号，最后利用图像法解三角不等式.对那些更复杂，甚至不能转化为基本不等式者，读者不必去深究!【例4】 解关于x的不等式:log2(4-ax)-log4(ax-1)1 (a>0,a1).【解前点津】 令t=ax,先转化为关于t的不等式，再将底数化为相同，从而去掉对数符号.【规范解答】 令t=ax,则t>0,原不等式为:log2(4-t)-log4(t-1)1,由对数性质得4-t>0且t-1>0从而:1<t<4.又由log4(4-x)

10、2-log4(t-1)1得:log4(t-4)2log44(t-1) t2-12t+2002t10,故2,10(1,4)=2,4即2t<42ax<4,故当a>1时,原不等式解集为:loga2,2loga2);当0<a<1时,原不等式解集为:(2loga2,loga2).【解后归纳】 本题综合使用了换元法，同底法，其目的，就是将原不等式转化为指数不等式(或对数不等式)的基本模型，然后求解.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.不等式的解集是 ( )A.(,1)(1,10) B.(,1)(2,10) C.(, 10) D.(1,+)2.已知不等式对一切实数x都成立，则实数

11、a的取值范围是 ( )A.a> B.a< C.0<a< D. <a<13.不等式解集是 ( )A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)4.不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是 ( )A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)5.若(0,),则不等式:log(1-x)>2的解集是 ( )A.(-1,sin2) B.(cos2,) C.(-1,cos2) D.(cos2,1)6.设A=x|>lg(x-1),B=x|lg(x-1),则AB等于 ( )A. R B.(1,+) C.(1,

12、) D.(1, )7.不等式logx<1的解集为 ( )A.(0, ) B.(,+) C.( ,1) D.(0, )(1,+)8.不等式的解集为 ( )A.(3,+) B.(1,5) C.(1,4)(4,5) D.(3,4)(4,5)9.若不等式x2-logmx<0在(0, )范围内恒成立，则实数m的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、思维激活10.不等式>5x-3的解集是 .11.当0<a<1时,不等式:ax2+x-88>102lga的解集为 .12.不等式sinx-的解集为 .13.不等式tan(x-)的解集为 .三、能力提高14.解下列指数不等

13、式:(1) ;(2)|2x-3|+4x-3>0.15.解对数不等式:logx5-2logx>3.16.解关于x的不等式:17.解不等式:.第7课 简单的超越不等式习题解答1.A换元法,令y=lgx,先解出关于y的分式不等式.2. A由原不等式得:3x+a2>-(x2-2ax)恒成立,从而知关于x的不等式x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,由=(3-2a)2-4a2<0解得a>.3. B由8-x2>-2xx2-2x-8<0,即(x-4)·(x+2)<0故x(-2,4).4.C解不等式组0<x2+2x+2<10即得.5.

14、Dsin(0,1),0<1-x<sin2,1-sin2<x<1.6.D由5-2x0且x-1>0得1<x,设I=(1, ),A=,B=,AB=I.7.D由8. D.9. Af(x)=x2在(0,)内单调增，欲使x2<logmx,则0<m<1.g(x)=logmx在(0, )内单调减，<logm2-1,logm2-1,m,m,m<1.10.由原不等式解:(5x-10且5x-3<0)或(5x-30且5x-1>(5x-3)2) x0,1.11.102lga=a2,化原不等式为:x2+x-88<2,-10<x<

15、;9.12.由sinx=-及x0,2得:x=, .故由x0,2及sinx-得, x,从而知原不等式解集为2k+,2k+,kZ.13.由x-(-, )及tan(x-)=得:x-=,即x=.故原不等式的解集为k+,k+,kZ.14. (1)原不等式x2-5<3x-1-1<x<4,故原不等式解集为(-1,4).(2)化原不等式为: 0<x<log23或xlog23,故原不等式解集为(0,+).15.由换底公式，得: (1)当x>1时,log5x>0,可化为4logx+3log5x-1<0,解之:-1<log5x<<x<5,此时不

16、等式的解集为A=(1,+)(,)=(1, ).(2)当0<x<1时,log5x<0,可化为:4logx+3log5x-1>0,解之:log5x<-1或log5x>0<x<或x>,此时不等式的解集为B=(0, ).综上所述知原不等式的解集为AB=(0, )(1,).16.令t=ax,则化原不等式为:>t-1.其等价不等式为:或t<1,0<t<,即0<ax<.当a>1时,x<loga;当0<a<1时,x>loga.17.化原不等式为-cos(2x-),令t=2x-,解得:cost在同一坐标系中作下列三个函数的图像:y1=cost,y2=,y3=-,它们的交点A、B、C、D的横坐标依次是-,故由2k-t2k-或2k+t2k+或2k+t2k+2k-2x-2k-或2k+2x-2k+或2k+2x-2k+.原不等式的解集为:,kZ. 薇肃芇莆薇螂肀节薆袅芅膈薅羇肈蒇薄蚇芃莃蚃蝿肆艿蚂袁节膅蚁肄肄薃蚁螃袇葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇蚇螀羄蒆螆袂腿莂螆羄羂芈螅蚄膈芄螄袆羀薂螃罿芆蒈螂肁聿莄螁螁芄芀莈袃肇膆蒇羅芃蒅蒆蚅肅莁蒅螇芁莇蒄羀膄芃蒃肂羆薁蒃螂膂蒇蒂袄羅莃蒁羆膀艿薀蚆羃膅蕿螈腿蒄薈袀羁蒀薇肃芇莆薇螂肀节薆袅芅膈薅羇肈蒇薄蚇芃莃蚃蝿肆艿蚂