第8章 异方差性

1、第八章 异方差性本章放松CLM的第五个假设：同方差性，考虑二种处理方法：异方差稳健的OLS估计和加权最小二乘法。8.1 异方差对OLS的影响8.2 OLS估计后异方差稳健推断8.3 对异方差性的检验8.4 加权最小二乘估计8.1 异方差对OLS的影响l 在MLR.1-MLR.2假定下，OLS估计是无偏的，一致的估计量，因此对误差项方差的假定不会导致OLS估计产生偏差或不一致性。l 违反同方差性假定：会影响估计量方差的计算，即在异方差下，OLS估计量的方差公式不成立：这使OLS估计量不再是线性无偏估计量中方差最小的，即有效性不满足。212v a r,kuxxx2v a r,1, 2 ,jjjkS

2、 S T8.1 异方差对OLS的影响l由于OLS估计量的标准误直接以方差的公式为基础，在异方差下用于统计推断的t统计量、F统计量和LM统计量不再具有以前那样的分布，这给统计推断带来了困难。8.2 OLS估计后异方差稳健推断l对异方差问题，有两种方法，一是传统的方法，首先检验是否存在异方差，再侦测异方差的具体形式，以此形式构造比OLS更有效的估计方法：广义最小二乘法(GLS）。另一是现代的方法，由White（1980）提出，仍采用OLS估计，但试图给出估计量的方差的一个好的一般估计，无论异方差是否产生以及形式如何，此方法称异方差稳健的OLS估计。此工作建立在大样本理论基础上。8.2 OLS估计后

3、异方差稳健推断l 本节讨论现代方法：对OLS估计量的方差给出对异方差形式稳健的估计量。以简单线性回归模型为例： 假定前四个假定成立，误差项具有异方差： OLS估计量的形式为01iiiyxu2v a riiiux11121niiiniixxuxx8.2 OLS估计后异方差稳健推断在异方差下OLS估计量的方差为：由于即使在异方差下，OLS估计量仍是无偏的和一致的，OLS估计的残差的平方 可作为的估计，由此估计量方差的一个估计量为： White(1980）证明大样本的角度此为一个好的估计方法。22112v a rniiixxxS S T2iu2i2212niiixxxuSST8.2 OLS估计后异方

4、差稳健推断l 对一般多元回归模型：在MLR.1-MLR.2下，OLS估计量的方差的估计为 是 对其他自变量回归所得的第i个残差，而 是此回归的残差平方和。上式的平方根被称为异方差稳健标准误。利用此标准误可构造异方差稳健的t统计量、F统计量和LM统计量。011kkyxxu2212v a rni jiijjruS S R2ijrjxjSSR8.2 OLS估计后异方差稳健推断l如果异方差稳健标准误比通常的标准误适用的情况更多，那为什么还非要使用通常的标准误不可呢？因为稳健的标准误和稳健的统计量只有在样本容量很大的时候才能使用，在小样本下，如果同方差假定成立且服从正态分布，通常的统计量仍是非常有用。而

5、稳健的统计量在小样本下的性质难以确定。例8.1 8.2 8.38.3 对异方差的检验l 处理异方差的传统方法是广义最小二乘法（GLS），其思路为：检验是否存在异方差，侦测并估计异方差的形式，采用GLS方法估计。历史上人们已经提出了许多检验异方差的方法，本节讨论较现代的几个检验。l 异方差的Breuch-Pagan检验：对多元线性回归模型，检验的原假设为：2201212:var,kkHu x xxE u x xx8.3 对异方差的检验要对此假设进行检验，需检验u2是否与一个或多个解释变量相关，一个简单的方法设定一个线性函数：同方差性的原假设意味着：因为误差项是未知的，在异方差下OLS仍为无偏和一

6、致的保证了OLS估计的残差项可近似代表误差项，可以估计以上方程：估计后利用F统计量或LM统计量可进行检验。此检验称为Breuch-Pagan检验。例8.42011kkuxxv012:0kH2011kkuxx8.3 对异方差的检验l 异方差的White检验：残差项的平方与解释变量的关系可能不仅与一次项有关，而且与二次项和交叉项有关，White的检验增加了自变量的平方和交叉项。在只含有三个自变量的模型下，检验基于： 回归元过多是纯粹形式的White检验的一个缺陷，有可能采用一个比其更容易而且自由度更节省的检验：22220112233415263712813923 uxxxxxxx xx xx xu

7、22012uyyv8.3 对异方差的检验l 在对异方差进行检验时，维持MLR.1-MLR.4成立下，检验结果的解释是合理的。但如果违背MLR.3假设，即使是同方差的误差项，异方差检验也可能拒绝同方差的原假设，这是因为如果在模型中遗漏掉一个或多个二次项，或者在应该使用对数模型却使用水平模型，对异方差检验均可能是显著的。这使某些经济学家将异方差检验看成是一般的模型误设检验。第九章会讨论函数形式误设的检验，所以最好是先对函数形式进行明确的检验，然后再检验异方差性。8.4 加权最小二乘法如果以上检验方法发现存在异方差，则可以建立模型并估计其具体形式，得到一个比OLS更有效的估计量。l 异方差形式已知：

8、l 假设已知的异方差形式为函数h(.)是已知的，则我们可以将原含有异方差误差项的方程转换成一个具有同方差误差的方程。用OLS估计以上方程，获得的估计量称为广义的最小二乘估计量（GLS），在异方差下，它们是最优线性无偏估计量，比OLS估计量更有效。这种纠正异方差性的GLS估计量又称为加权最小二乘估计量（WLS），即对误差方差越大的观测值赋予越小的权数。 2varu xhx011/iiiiikikiiyhhxhxhuh8.4 加权最小二乘法l 可行的GLS：在大多数情况下，异方差的形式并不明确，需要利用数据来估计函数h(.)z中的参数，从而得到每个hi的估计值，在GLS变换中使用hi的估计值所得到的估计量，称为可行的GLS(FGLS）估计量。为了保持方差的非负性，采用一种特殊且灵活的模型化异方差的方法：具体方法为见书P257.l 理论上看，OLS和WLS估计量均是无偏的，因此其具体的估计值应该相差不大，但在实际应用中， OLS和WLS估计量可能相差较大，问题是它们的差异是否