理论力学a课件第1章动量定理

1、概述-动力学普遍定理对质点动力学问题：可建立运动微分方程求解。对质点系动力学问题： 可逐个质点建立运动微分方程，联立求解，但求解过程很复杂。实际问题是： 1、联立求解微分方程非常。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要研究质点系整体的运动情况。动量定理、动量矩定理、动能定理统称动力学普遍定理，它们从不同的侧面揭示了质点和质点系 总体的运动变化与其受力之间的关系，可以求解质 点系动力学问题。它们以简明的数学形式， 表明两种量 ：一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能 等)；另一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定

2、条件下，上述特征量用这些定 理来解答动力学问题非常方便简捷 。第十一章动量定理111112113动量与冲量动量定理质心运动定理11-11、质点的动量定义：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是表征质点机械运动强度的一种度量。动量是瞬时矢量，方向与 v 相同。动量与冲量是 kgm/s，以符号 p 表示动量p= mv2、质点系的动量定义：质点系内各质点的动量矢量和 称为质点系的动量。 是表征质点系机械运动强度的一种度量。以符号 p 表示dri= d (m rv )pv =m vv= miiiiidtdt令v iim rrv=定义：质点系的质量中心C的矢径Cmm = mi为质点系各质点质

3、量之和= d ( m rv )dripv =m vv = miiiiidtdtm = mip = d ( m rv ) = d (mrv ) = mviiCCdtdt上式表明：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。对于质量分布均匀的物体（均质物体），质心 就是几何形心，也是重心。rv= mi rvi质量中心CCm3、刚体的动量刚体的动量等于刚体质心速度与刚体质量的乘积。pv = mvC例题11-1求下列质量均为m的均质物体的动量。wwOwvCCCevvCLvCCp = mvCp = mep = 0Ap = 1 mwL2例题11-2求如下各物体质量均为m的均质物体系统的总动量。各接触处均无

4、相对滑动。vv解：p = mv + 2mvC= mv + 2m v2= 2mv向右vCv例题11-3曲柄连杆机构的曲柄OA以匀w 转动，设OA=AB=L ，曲柄OA及连杆AB都是杆，质量各为m ，滑块B的质量也为m。求当j = 45时系统的总动量。AwBjOwAB解：yp = mvvE+ mv+ mvv AC1C 2B= wLvC12AvC1wC2E为AB杆的速度瞬心C1vBC 2jOwAB= vAAE =xvB2wL=vB = BE wAB5wL= C2 E wAB=2vC 2p = mvvwAB+ mvC 22+ mvByC1E= wLvC1vC 2v A5 wL2wL=2AqvwC1v=

5、BC2CvB1C 2j计算动量在坐标轴上投影OxvB= - mwL cos 450- 5mwL cosqp2mwL2mwL = -2-x22mwL sin 4502+ 5mwL sinq= 2 mwLp=y22tanq = 13p = mvvwAB+ mvC 22+ mvByC1E= wLvC1vC 2v A5 wL2wL=2AqvwC1vB =C2CvB1C 2j计算动量在坐标轴上投影OxvBp = mvv+ mv+ mvC1C 2B2 mwL vj+= -22mwL i24、冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，表示力 在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作

6、用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总 效应。=如力F是常矢量： IFt力 F 的冲量的方向与力的方向相同，是 Ns，与动量的相同。如力F 是变矢量（包括大小和方向的变化）：则在微小时间间隔内，力F的冲量称为元冲量。=dIF dt元冲量而力 F 在时间 t 内的冲量为矢量：t=IFd t011-21、质点的动量定理第二定律动量定理vFd(mv v ) =td t质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。对上式，得质I 点动量定vm理形式t21t- v m =2Fdt=1d (mv v ) =Fd2、质点系的动量定理设质点系有n个质点，其中第 i 个质

7、点的质量为(e )(i )FFm ，速度为v ，所受外力为，所受内力为iiii于是，根据质点动量定理，有d (m i vvi ) =(e )(i )F id t + F id td (m i vvi) = (e )F id t +-质点系的动量定理的微分形式d ( m i vvi ) = F id t(e ) F id t = 0(i )质点系的动量定理的微分形式也可写成或即质点系的动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。或质点系的动量对时间的一阶 导数等于作用于质点系的外力的矢量和。得：p形式即质点系的动量的改变量等于作用于质点系的外力冲量的矢量和。v -vp=(eI)21ipd v

8、 = F(e )d tid pv= Fv (e )d ti由质点系动量定理可见，质点系的内力不能改变质点系的总动量，但可以改变各质点的动量。动量定理在直角坐标系的投影式分别为：dpx(e)=Fx(e)Idtdpyp2=-(e)Ipp(e)=Fy2 y1yydt-(e)Ippdp 2 z1zz( e )=zdtFz3、质点系动量守恒定律pv(e )F i= 常矢量0若则(e )ixp x= 常量F0若则dpx= F (e)dtxd p = Fv (e )d ti例题11-4图示单摆，OA=L，小球A重P，给小球一初始速度或初始位移，它就在经过O点的铅垂面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。O

9、jAO解：在某时刻，小球的受力及速度方向如图。jFT根据质点的动量定理vAAPv d (v )=m vFd td(mv) = - P sinj有Ad t+ g sinLj&j= L j&0故v因AOgj&sin j+=0Ljj jsin摆锤微小摆动时FTg jj&+=0vALAPA sin (w 0 t + j 0)j=w 0j 0A=gL其中称为固有频率或圆频率为初始相位为振幅例题11-5质量为m1的平台AB，放于水平面上，平台与水平面间的滑动摩擦系数为f。质量为m2的小车D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 S = 1 bt 22，其中b为已知常数。不计绞车的质量，求平台的加速度。wSD

10、ABvDr解：设AB的速度和度均向左，地面摩擦力向右，如图wSaABFS max小车D相对AB的速度向右，如图将质点系的动量定理在x方向投影，有d (m v) = F= f (m + m)g- m v2D1ABs max12dt由点的速度定理，可得vD = vDr - vABAvABBDvDrwSvaAB= S& = btvDrFS maxd (m v) =f (m + m)g- m vv= v- v2D1AB12DDrABdtd m v=- (m + m)vf (m + m )g2Dr12AB12dta= dvAB= m2b - f (m1 + m2 )gABdtm + m12AvABBD例

11、题11-6质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜面上另放一质量为m的角形柱体，求角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。解：选两物体组成的系统为研究对象。= 常量。( e) = 0pxFx设大三角块速度为 v角块相对大三角块速度为vvr= v e +角块的速v度 avr则-v ) +amx =v于是有M(0v-)+-v)=M(m(v 0rx Fpx = 常量。(e)= 0xM (-v) + m(vrx - v) = 0= M + mvrxvm= M + mSrxSmmm=(a - b)S =SM + mrxM + m例题11-7质量为 m 的滑块 A ，可以在水平光滑槽中运动，具有刚度系数

12、为 k 的弹簧一端与滑块相连，另一端固定。杆AB长度为L，质量忽略不计，A 端与滑块铰接，B端上装有质量为m1的小球，在铅垂 面内可绕A点转动。设在力偶M作用下转动角速度w为常数。求滑块A的运动微分方程。kAMBjyxA解：以弹簧自然长度位置为坐标原点，建立图示坐标系，则有xB = xA + L sin jkAxFkMBj将质点系的动量定理在x方向投影，有d (mv+ m v ) = -F= -kxA1BkAdtvB = x&A + Lj& cosj= x&A + Lw cosjvA = x&Ayd (mvxA+ m v ) = -kxA1BAdtkAxvA = x&AvB = x&A + L

13、w cosjFkMBjdmx&A + m1 (x&A+ Lw cosj )= -kxAdtm Lw 2kxA = 1sin wt+&x&Am + m1m + m111-31、质量中心质心运动定理v m rv iim rv=iir矢径 mcmi直角坐标投影x = mi xi= mi xi c mmiy = mi yi= mi yi c mmiz = mi zi= mi zi c mmi2、质心运动定理d ( m i vvi)=Fv(e )id t质点系质量与质心度乘积等于质点系外力矢量和，该规律称为质心运动定理。只有外力才能改变质点系质心的运动；内力不影响质心的运动，但可改变系统内各质点的运动。

14、d (mv C ) = Fv (e )或 m av= F (e )d tiCi3、质心运动守恒定律(e )F i0若则质心作匀速直线运动或保持静止。(e )ixF0若则质心的速度在x轴上的投影保持不变。m av=F (e )Ci例题11-8电的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1，转子质量为m2 ， 转子的轴通过定子的质心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度w 作匀速转动时，基础作用在电底座上的约束反力。解: 取整个电在任意时刻 t定子质心坐标 x1=y1=0；转子质心坐标 x2=e coswt，y2=e sinwt因此，电机的质心坐标为作为质点系研究，受力

15、如图ecoswx 1+=2mxtmm2x=21C+mmmm1212esin w=m2tmy 1m2yy=21C+mmmm1212= m2e sin wt= m2e coswtyxCm + mCm + m1212由质心运动定理，得电机质心C的运动微分方程为(m1(m1即+ m2 )&x&C+ m2 )&y&C= FNx= FNy - (m1 + m2 )gwcoswt = F- m e22Nx- (m + m )gw sin wt- m e= F22Ny12所以wcoswt= -m e2FNx2= (m + m)w sin wtg - m e2FNy122例题11-9浮动起重船，船的重量为P1=

16、200kN，起重杆的重量为P2=10kN， 长 l =8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止， 起重杆OA与铅直位置的夹角为a1=60， 水的阻力不计，求起重杆OA与铅直位置成角a2 =30时船的位移。解：以起重船，起重杆和重物组成质点系当不计水的阻力时 x( e) = 0F质心在水平方向运动守恒质心的位置坐标xC保持不变初始静止+m 2x2+m初始 x=1x3mx13C+mmm123 +m 2x2+末时 m=1x3mx13xC+mx Cmm123xC=m iDix0 = PiD xi = 0设船质心的位移Dx，则，杆的质心位移为= Dx + 1 l (sin

17、a- sin aDx)21122重物质心的位移Dx3 = Dx1 + l (sin a1 - sin a2 ) Pi D xi = P1 Dx1+ P Dx + 1 (sin a - sin a )l21212+ P3 Dx1 + l(sin a1 - sin a2 ) = 0 mi Dxi = 0P2 + 2P3l(sina -sinaDx= -)1122(P + P + P )12310 + 2 20= - 8(sin 60 - sin 30)2(200 +10 + 20)= -0.318 m计算结果为负值，表明船的位移水平向左。 Pi D xi = P1 Dx1+ P Dx + 1 (sin a - sin a )l21212+ P3 Dx1 + l(sin a1 - sin a2 ) = 0例题11-10质量为m的物体，可绕O轴在铅垂面内转动，如图，其质心C距转轴的距离OC。在OjCwa图示瞬时，角速度及角度为已知。求此时轴的约束力。FOy解：质心运动定理mv a = (e )FOxFCiOjv质心C 的t度及约束力如图naCCwa=LaLw=n C2aaC将质心运动定理投影与x、y轴，有vat=mamaOxF FOysiwncowsCCx-mgCy(a-(a-)=)=FjLjLj- L2mmcossinFOxj+-2Lm