讲最优控制极小值离散系统

1、l最优前次课程回顾极小值l 连的极小值原理 引例 连续定常系统极小值原理 极小值原理与变分法求最优的比较 极小值原理求解最优的步骤 连续时变系统的极小值原理2能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 离散系统的极小值原理 离散系统基本概念 离散极小值原理 离散极小值原理与连续极小值原理的比较3能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 研究离散系统最优的方法主要有两类： 离散变分法和离散极小值原理 动态4能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 离散时间系统有两类： 系统的输出只在一定的离散瞬间可以获得或测量到，

2、如数字滤波器。 这类系统本身就是离散时间系统，可以用标量或向量差分方程来描述系统。5能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理对象是连续的，但系统中的器是数字计算机或其他数字设备，是离散的，从而连被离散化了。 如伺服电机的角速度等物理量是连续变化的，但是用计算机或其他数字设备来时，连续变化的物理量成为时间上的离散物理变量。 这种系统有时也称为混合式离散统。系6能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 在计算机中所出现的信号不仅在时间上是离散的，而且在信号的幅值大小上也进行了分层（这就是数字信号量），7能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3

3、.3 离散系统极小值原理l 设计的离散系统，如果是混合式离散系统，其设计方法可分为两种： 按连来处理，求得规律后再将其离散化，用来实现。装置或计算机 把连续的被控对象离散化，变成离散化模型，之后再来求规律。8能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理9能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理10能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理11能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理12能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理近似差分13能源与动力学院系统与研究室最优极小值

4、原理3.3 离散系统极小值原理14能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 离散系统用变分法求极值15能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理16能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理17能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理（a）连性能（b）离散系统性能18能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理19能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理20能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理21能源与动力学院系统与

5、研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理22能源与动力学院系统与研究室l离散系统极小值原理最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理23能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 离散系统极小值原理与连原理对比极小值 求连最优就是求最优作用的变化规律（连续变化），在该作用下使系统从初始状态转移到要求的状态， 而求解离散最优性能指标为最小作用（也称为控制序列）是一个多步决策过程24能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理25能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 离散最优系统的转移轨迹是在离散时刻取值，和连续最

6、优轨迹不相同系统的转移l 连续最优l 离散最优26能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理27能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 应用离散极小值原理和连续极小值原理求解同一个最优问题，可以得到非常类似甚至相同的结果。ìmint) dtòJ =fï0ï x& =f ( x, u, t )íï x= x (0)ïît028能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 对于这个问题的求解有两种方法。 直接用连续极小值原理，求得连续

7、的正则方程，然后将正则方程离散化，求解离散的两点边值问题。 将连理求解最优离散化，用离散极小值原序列。l 如果采样周期选取得合适，则两种方法求解结果应该是很相近的。29能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 应用连续极小值原理，正则方程为f ( x, u, t )ì x& =ï¶Hé¶L¶f ù¶x úûïl& = -+ l T= -ï¶íï x (0) = x0ïïlt= 0&#

8、238;f30能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 用计算机求解这一非线性微分方程组，取一阶差分，令T为采样周期，得ìxk ïíl- lï &l=k +1Tkïît =kT31能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理¶H= 0¶uk32能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 如果用离散极大值原理求解，则先对状态方程和性能做一阶差分近似= xk + Tf ( xk , uk , k )ìï xk +1&

9、#237; x (0) = xïî0N -1J = T å L ( xk , uk , k )k =033能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 离散的哈密顿函数为xk , uk , lk+1, kHk= H= TL ( x, u , k ) + lé x + Tf ( x, u , k )ùTëûk +1kkkkk34能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理35能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 连续极小值原理求解¶L (

10、xk , uk , k ) + l¶f ( xk , uk , k ) = 0Tk¶u¶ukkl 离散极小值原理求解¶L ( xk , uk , k ) + l¶f ( xk , uk , k ) = 0Tk +1¶u¶ukk36能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 连续极小值原理求解- T ¶L ( xk , uk , k ) - T l¶f ( xk , uk , k )l= lTTTk +1k¶xk¶xkkl 离散极小值原理求解= T ¶

11、L ( xk , uk , k(é¶ùfx , u , kl+ lI + TkkTêúk +1k¶x¶xëûkk- T ¶L ( xk , uk , k ) - T l¶f ( xk , uk , k )Þ l= lTTk +1k +1k¶x¶xkk37能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 当采样周期足够小时，基于连续极小值原理求解的结果和连续极小值原理求解的结果很接近38能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 例求下述离散系统的极值9min J = 1 åu2 (k )2k =0x k +1= x+ aukkx (0) = 1,x (10) = 039能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 最优1u* (k ) = -10al 最优轨迹kx (k ) = 1-1040能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理l 例41能源与动力学院系统与研究室最优极小值原理3.3 离散系统极小值原理u* (0)