第一次课 质点的运动 1#

1、1第一章第一章 质点的运动质点的运动21-1 质点和参考系质点和参考系1-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1-3 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系1-4 牛顿运动定律牛顿运动定律1-5 力学中常见的力力学中常见的力1-6 伽利略相对性原理伽利略相对性原理 第一章第一章 质点的运动质点的运动3第一章第一章 质点的运动质点的运动 力学力学(mechanics) 主要研究并阐述主要研究并阐述物体机械运动物体机械运动的规律及其应用，是学习和研究研究物理学其他部的规律及其应用，是学习和研究研究物理学其他部分的基础。分的基础。 汽车行驶，宇宙天体运动，弹簧形变，流体流汽车行驶，宇宙天体

2、运动，弹簧形变，流体流动等都属于机械运动的范围。动等都属于机械运动的范围。 机械运动机械运动(mechanical motion)指物体位置随时间指物体位置随时间改变，或一个物体内部某一部分相对其他部分位置改变，或一个物体内部某一部分相对其他部分位置随时间的变化过程，是最简单又最基本的运动。随时间的变化过程，是最简单又最基本的运动。 讨论如何描述物体的运动，研究运动发生和变讨论如何描述物体的运动，研究运动发生和变化的原因，总结物体之间的相互作用规律。化的原因，总结物体之间的相互作用规律。4 力学按力学按研究方法研究方法可分为可分为运动学运动学(kinematics)、动力学、动力学(dynam

3、ics)和静力学和静力学(statics)三个部分。三个部分。按按研究对象研究对象分分经典力学经典力学、相对论力学相对论力学和和量子力学量子力学三部分三部分。 运动学研究物体位置变化与时间的关系，但是不考虑引起运动学研究物体位置变化与时间的关系，但是不考虑引起变化的原因，动力学研究产生各种机械运动的原因，而静力变化的原因，动力学研究产生各种机械运动的原因，而静力学则研究物体在力或力矩作用下平衡的条件。学则研究物体在力或力矩作用下平衡的条件。 经典力学又称古典力学或牛顿力学：只适用于物体作经典力学又称古典力学或牛顿力学：只适用于物体作低速低速运动运动(与光速相比与光速相比)的情形，当物体速度接近

4、光速时，经典力学的情形，当物体速度接近光速时，经典力学失效失效, ,需要相对论力学来研究，经典力学只是相对论力学在低需要相对论力学来研究，经典力学只是相对论力学在低速时的近似；经典力学的研究对象是由大量原子、分子组成速时的近似；经典力学的研究对象是由大量原子、分子组成的的宏观客体宏观客体，无法适用于微观粒子的运动研究，这时要用到，无法适用于微观粒子的运动研究，这时要用到量子力学。量子力学。 5经典力学经典力学宏观、低速宏观、低速相对论力学相对论力学天文学专有名词天文学专有名词 宏观、高速、高精度处理宏观、高速、高精度处理量子力学量子力学微观粒子微观粒子 这三个分类范畴并不是绝对的，互相之间这三

5、个分类范畴并不是绝对的，互相之间有相互交叉重叠的区域。比如在量子力学中，有相互交叉重叠的区域。比如在量子力学中，在许多场合下需要考虑粒子的高速运动所带来在许多场合下需要考虑粒子的高速运动所带来的相对论相应，而经典力学可以看做相对论力的相对论相应，而经典力学可以看做相对论力学在宏观低速下的一个相当好的近似。学在宏观低速下的一个相当好的近似。6 1-1 质点和参考系质点和参考系 一、质点一、质点(mass point) 对于同一物体，由于研究问题的不同，有时可对于同一物体，由于研究问题的不同，有时可以看作质点，有时则不能。以看作质点，有时则不能。 如果不能看作一个质点，可把物体看作由多个质如果不能

6、看作一个质点，可把物体看作由多个质点组成，每个质点都运用质点运动的结论，叠加起点组成，每个质点都运用质点运动的结论，叠加起来得到该物体的运动情况。来得到该物体的运动情况。 质点质点：没有体积和形状，只具有一定质量的理想：没有体积和形状，只具有一定质量的理想物体，一种理想力学模型，一种物理上的抽象。物体，一种理想力学模型，一种物理上的抽象。质点力学是整个力学的基础。质点力学是整个力学的基础。71 1、物体的大小和形状对研究的问题无关紧要时，可、物体的大小和形状对研究的问题无关紧要时，可以把物体看做一个质点，是问题简化！以把物体看做一个质点，是问题简化！2 2、如果研究对象整体不能简化为一个质点，

7、可以把、如果研究对象整体不能简化为一个质点，可以把该物体分割为许多体元（面元），每个分割体足够该物体分割为许多体元（面元），每个分割体足够小以致于在所研究的问题中可以看成一个质点，然小以致于在所研究的问题中可以看成一个质点，然后利用牛顿力学得到每一个分割体的运动规律，所后利用牛顿力学得到每一个分割体的运动规律，所有体元的运动规律叠加得到整个研究对象的运动规有体元的运动规律叠加得到整个研究对象的运动规律。质点组力学和刚体力学！律。质点组力学和刚体力学！3 3、质点不能等同于微观粒子。、质点不能等同于微观粒子。 在经典力学的问题在经典力学的问题中，质点遵循的是牛顿运动定律。而微观粒子的运中，质点遵

8、循的是牛顿运动定律。而微观粒子的运动往往需要量子力学进行解决。动往往需要量子力学进行解决。8二、参考系二、参考系(reference system) 1. 运动绝对性：运动绝对性：物体都在运动，没有绝对静止的。物体都在运动，没有绝对静止的。 3. 为了描述物体机械运动，必须选择另一个物体为了描述物体机械运动，必须选择另一个物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体系称为系称为参考系参考系。只有选择了参考系，才能明确地表。只有选择了参考系，才能明确地表示被研究物体的运动情形。示被研究物体的运动情形。 4. 参考系原则上可任意选择。选择使问题的处理

9、参考系原则上可任意选择。选择使问题的处理尽量简化的参考系。尽量简化的参考系。同一运动，选择不同参考系，同一运动，选择不同参考系， 对运动描述不同对运动描述不同。 2. 一个物体的位置及其变更，总是相对于其他物一个物体的位置及其变更，总是相对于其他物 体而言的，否则没有意义，即体而言的，否则没有意义，即机械运动的相对性机械运动的相对性。9 为把运动物体在每一时刻相对于参考系的位置定为把运动物体在每一时刻相对于参考系的位置定量地表示出来，在参考系上建立适当的量地表示出来，在参考系上建立适当的坐标系坐标系(coordinate system)，坐标系的原点可取在参考系，坐标系的原点可取在参考系的一个

10、固定点上。的一个固定点上。 常用的坐标系是常用的坐标系是直角坐标系直角坐标系 ，它由三条标有刻度并相互垂直相它由三条标有刻度并相互垂直相交于坐标原点的坐标轴所构成。交于坐标原点的坐标轴所构成。xyzOP还有平面极坐标系、还有平面极坐标系、自然坐标系自然坐标系等等。 101-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 一、时间和时刻 (time and moment)二、位置矢量，简称位矢 position vector三、位移矢量，简称位移 displacement vector四、速度矢量 velocity vector五、加速度矢量 acceleration vector 111-2 描

11、述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 一、时间和时刻一、时间和时刻(time and moment) 在坐标系中考察质点运动时在坐标系中考察质点运动时, 质点位置与时刻相质点位置与时刻相对应，质点运动所经过的路程与时间相对应。对应，质点运动所经过的路程与时间相对应。 时间表示一个过程对应的时间间隔，是重要物理时间表示一个过程对应的时间间隔，是重要物理量，国际单位制（量，国际单位制（SI）七个基本物理量之一。时间）七个基本物理量之一。时间具有单方向性，标量，单位是具有单方向性，标量，单位是s (秒秒)。 某一瞬时称为时刻某一瞬时称为时刻。质点相对参考系运动，与质质点相对参考系运动，与质点某一位

12、置对应的某一时刻，在时间坐标上是一个点某一位置对应的某一时刻，在时间坐标上是一个点。点。12 二、位置矢量二、位置矢量 (position vector) 位矢包含两方面信息：质点位矢包含两方面信息：质点P相相对参考系固定点对参考系固定点O的方位；质点的方位；质点P相对参考系固定点相对参考系固定点O的距离大小。的距离大小。OP 用黑体字母或带箭头的字母代用黑体字母或带箭头的字母代表矢量。表矢量。r 质点质点P在任意时刻的位置在任意时刻的位置, 可用从原点可用从原点O到点到点P所所引的有向线段引的有向线段OP 来表示，用矢量来表示，用矢量 来代表，这个来代表，这个矢量矢量 就称为质点就称为质点P

13、的位置矢量的位置矢量, 简称简称位矢位矢。rr13 质点在运动质点在运动, 位置在变化位置在变化, 位置矢量必定随时间位置矢量必定随时间在改变。在改变。 位置矢量是时间的函数。位置矢量是时间的函数。)(trrkzj yi xr在直角坐标系中在直角坐标系中 上上式称为质点运动的式称为质点运动的轨道参量方程轨道参量方程，即质点的运动学方，即质点的运动学方程，它给出了质点运动的轨迹程，它给出了质点运动的轨迹, , 也给出了质点在任意时刻也给出了质点在任意时刻所处的位置。所处的位置。位矢表示质点位置，在经典力学中，一个质位矢表示质点位置，在经典力学中，一个质点在一个时刻只能存在于一个位置，所以位置与时

14、间量一点在一个时刻只能存在于一个位置，所以位置与时间量一一对应的瞬时量。一对应的瞬时量。14三、位移三、位移(displacement)和路程和路程(distance, path ) 位移：质点在一段时间内位置的改变位移：质点在一段时间内位置的改变 。LOBABrArrsABrrr 质点从点质点从点A到点到点B所完成的位移所完成的位移 等于点等于点B的位置的位置矢量与点矢量与点A的位置矢量的位置矢量 之差。之差。 位移位移是矢量，既表示质点位是矢量，既表示质点位置变更的大小置变更的大小(点点A与点与点B之间的之间的距离距离)，又表示这种变更的方向，又表示这种变更的方向(点点B相对于点相对于点A

15、 的方位的方位)。 15 路程路程 s是一定时间内物体所经过路线的总长度。是一定时间内物体所经过路线的总长度。 t 时间内经过的路程是曲线时间内经过的路程是曲线AB的长度，是标量。的长度，是标量。 质点的质点的位移和路程位移和路程不同。位移运算遵从矢量运算不同。位移运算遵从矢量运算的法则和平行四边形定则。的法则和平行四边形定则。 一般位移矢量的模一般位移矢量的模不等于路程不等于路程 ，只有在质点作，只有在质点作单方向直线运动时，它们才相等。单方向直线运动时，它们才相等。 stt00limlimr位移和路程单位相同，在国际单位制中为位移和路程单位相同，在国际单位制中为m (米米)。16四、速度四

16、、速度(velocity)和速率和速率(speed) 1. 平均速度与平均速率平均速度与平均速率: 大致描述运动质点在某段大致描述运动质点在某段时间内平均快慢情况。时间内平均快慢情况。 质点的平均速度质点的平均速度 rvt 平均速度是矢量，大小决定于位移的模与时间平均速度是矢量，大小决定于位移的模与时间间隔间隔的比值；方向与位移矢量方向相同。的比值；方向与位移矢量方向相同。 平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取时间间隔时间间隔的大小。当使用平均速度来表征质点运动的大小。当使用平均速度来表征质点运动时，总要指明相应的时间间隔。时，总要指明相应的时间

17、间隔。17 平均速率平均速率是标量是标量, ,等于单位时间内所通过的路程。等于单位时间内所通过的路程。 vst平均速率平均速率平均速率和平均速度的区别：平均速率和平均速度的区别：（1）标量与矢量；（）标量与矢量；（2）数值上不一定相等，曲线）数值上不一定相等，曲线运动时运动时 sr。沿闭合曲线运行一周，则质点的沿闭合曲线运行一周，则质点的平均速度等于零，而相应的平均速率却不等于零。平均速度等于零，而相应的平均速率却不等于零。 平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关系相似。系相似。182. 瞬时速度和瞬时速率瞬时速度和瞬时速率 时间间隔越短，运动的变化就

18、越不明显，平时间间隔越短，运动的变化就越不明显，平均速度就越接近于真实速度。均速度就越接近于真实速度。 如果如果 t0，平均速度的极限就表示质点某一，平均速度的极限就表示质点某一时刻真实速度，此极限即质点运动的时刻真实速度，此极限即质点运动的瞬时速度。瞬时速度。 瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。所说的物体运动速度所说的物体运动速度, , 通常指它的瞬时速度。通常指它的瞬时速度。 0dlimdtrrtt rrv19LOBA1rv 速度的方向是当速度的方向是当 t t趋于零时趋于零时, , 平均速度或位移平均速度或位移的极限方向。的极限方向。 如图如

19、图当当 t 趋于零时趋于零时, 点点B趋于点趋于点A, 位移的方向趋位移的方向趋于曲线在点于曲线在点A的切线方向。的切线方向。CD2r3r 当质点沿任意曲线运当质点沿任意曲线运动时，质点在曲线某点动时，质点在曲线某点的速度方向的速度方向, 就是曲线在就是曲线在该点的切线方向。该点的切线方向。20瞬时速率瞬时速率为为 t t0时平均速率的极限，简称速率。时平均速率的极限，简称速率。tstsvtddlim0 t t0时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。速率等于速度的模速率等于速度的模,等于速度的大小，总是正值。等于速度的大小，总是正值。 vtrtsvdd

20、ddtrt|lim0 速度和速率单位为速度和速率单位为m s 1 (米米/秒秒)。21ttttvrrrr000d)(drr 上式称为上式称为位移公式位移公式。如果已知质点运动速度与时。如果已知质点运动速度与时间的函数关系，代入上式积分可算得位移。间的函数关系，代入上式积分可算得位移。 质点从质点从t0到到t 时间内完成的位移，可对上式在此时间内完成的位移，可对上式在此时间内积分，即时间内积分，即ttvrd )(d可得位移的微分形式可得位移的微分形式 根据速度的定义式根据速度的定义式trtrvtddlim022五、五、加速度加速度(acceleration)加速度是描述速度变化快慢的物理量。加速

21、度是描述速度变化快慢的物理量。OLBABrArAvBvAvBvv 在在 t 时间内，速度的增量为时间内，速度的增量为 ，可用平行四边形法则或三角形法则求得。可用平行四边形法则或三角形法则求得。ABvvvv 是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。23加速度定义为加速度定义为 220ddlimddtvvrarttt 加速度等于速度对时间的微商加速度等于速度对时间的微商, , 或等于位置或等于位置矢量对时间的二阶微商。矢量对时间的二阶微商。加速度的方向与加速度的方向与 t 趋于零时趋于零时 的极限方向一致。的极限方向一致。 vvAvAvvvvBvBvBvBv

22、24加速度的单位是加速度的单位是m s-2 (米米/秒秒2)。 加速度大小加速度大小tvtvaadddd直角坐标系中，加速度的分量表示式直角坐标系中，加速度的分量表示式zyxzyxaaaktvjtvitvadddddd 直线运动时，直线运动时， 的极限方向一定沿着该直线。曲的极限方向一定沿着该直线。曲线运动时线运动时, 的极限方向决定于作加速运动还是作的极限方向决定于作加速运动还是作减速运动减速运动, 而且还与曲线的弯曲形状有关。而且还与曲线的弯曲形状有关。 vv25根据加速度的定义式可得根据加速度的定义式可得ttavd)(d若求在若求在t0到到t 时间内速度的变化时间内速度的变化, 可对上式

23、积分。可对上式积分。ttttavv0)d(0ttttavv00)d(速度公式速度公式tttttttavrr0000d d)(位矢的一般表达式位矢的一般表达式26 位置矢量、位移、速度、加速度是从不同角度来描写质点运动的基本位置矢量、位移、速度、加速度是从不同角度来描写质点运动的基本物理量。物理量。 它们都显示了运动的特征：它们都显示了运动的特征：相对性相对性，对不同参考系有不同的描述；，对不同参考系有不同的描述；矢矢量性量性，注意矢量和标量的区别；，注意矢量和标量的区别；瞬时性瞬时性，注意瞬时量和过程量的区别。，注意瞬时量和过程量的区别。 位置矢量是瞬时量，在一般的物理论述中，速度和加速度一般

24、都是瞬位置矢量是瞬时量，在一般的物理论述中，速度和加速度一般都是瞬时量，而位移则是过程量。时量，而位移则是过程量。 沿速度方向的加速度叫切向加速度沿速度方向的加速度叫切向加速度 (tangential acceleration)，改，改变速度变速度量值；量值； 垂直速度方向的加速度叫法向加速度垂直速度方向的加速度叫法向加速度 (normal acceleration)，改，改变速度变速度方向。方向。 tana271-3 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系1 1、注意不要将坐标系和参考系混淆！注意不要将坐标系和参考系混淆！ 坐标系必须依附于参考系，不同的参考系可以坐标系必须依附于参考系，不

25、同的参考系可以有相同类型的坐标系，比如在惯性系和非惯性系中有相同类型的坐标系，比如在惯性系和非惯性系中都可以建立直角坐标系。都可以建立直角坐标系。2 2、大多数情况下物体运动方程的确立依赖于坐标、大多数情况下物体运动方程的确立依赖于坐标系。系。3 3、矢量方程转换为标量方程才能够进行求解，这、矢量方程转换为标量方程才能够进行求解，这也依赖于坐标系的确立。也依赖于坐标系的确立。281-3 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系一、直角坐标系一、直角坐标系 (rectangular coordinate)二、平面极坐标系二、平面极坐标系三、三、*自然坐标系自然坐标系291-3 描述质点运动的坐标

26、系描述质点运动的坐标系一、直角坐标系一、直角坐标系 (rectangular coordinate) 通常采用的直角坐标系通常采用的直角坐标系属属右旋系右旋系, 当右手四指由当右手四指由x轴轴方向转向方向转向y轴方向时轴方向时, 伸直的伸直的拇指则指向拇指则指向z轴的正方向。轴的正方向。 在参考系上取一固定点作为坐标原点在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点过点O画画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即即x轴、轴、y轴和轴和z轴轴, 就构成了就构成了直角坐标系直角坐标系 O-xyz。 yzxOP(x,y,z)r3031kzj yi xr位置矢量可表示为位置矢量

27、可表示为 可用方向余弦来表示位置矢量方向。可用方向余弦来表示位置矢量方向。cos,cos,cosxryrzrcoscoscos2221222zyxrr位矢大小位矢大小其中其中 、 和和 分别是分别是x、y 和和z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。kji32质点运动的轨道参量方程式质点运动的轨道参量方程式 写成分量形式写成分量形式)()()(tzztyytxxkjikjirvzyxvvvtztytxtddddddddvxtvytvtxydd,dd,ddzz222zyxvvvvv速度表达式速度表达式33 任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分

28、量有关，而与其他方向的分量无关置矢量的分量有关，而与其他方向的分量无关ktjtyitxktvjtvitvazyx222222ddddddddddddzk+aj+aiazyx加速度的表达式加速度的表达式222zyxaaaaa加速度大小加速度大小atxtavtytavttxxyydd,222222vddddddddddzzz34 质点的任意运动都可以看作是由在三个坐标轴质点的任意运动都可以看作是由在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成的。方向上各自独立进行的直线运动所合成的。 如果质点在某个方向如果质点在某个方向(如如x方向方向)上速度不随时间上速度不随时间变化变化, 即质点在该方向上的分

29、运动为匀速直线运动即质点在该方向上的分运动为匀速直线运动, 则在则在x方向上的位移可根据位移公式求得方向上的位移可根据位移公式求得 xxxvttx00() 质点的任意运动都可以分解为，在三个坐标轴质点的任意运动都可以分解为，在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动。方向上各自独立进行的直线运动。这是运动叠加原理在直角坐标系中的表现。这是运动叠加原理在直角坐标系中的表现。35 当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动是各个独立运动的合成结果，这称为运动叠加原理是各个独立运动的合成结果，这称为运动叠加原理(superposition principle)

30、，或运动的独立性原理。，或运动的独立性原理。 根据类似的无数的客观事实，可得到一个结论：根据类似的无数的客观事实，可得到一个结论：一个运动可以看成是几个各自独立进行的运动叠一个运动可以看成是几个各自独立进行的运动叠加而成，这就是运动的叠加原理。加而成，这就是运动的叠加原理。质点的实际运动是各分运动的矢量合成。质点的实际运动是各分运动的矢量合成。 运动的叠加性也是运动的一个重要特性，抛体的运运动的叠加性也是运动的一个重要特性，抛体的运动正是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。动正是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。 36vvattxxx00()tavvxxx0vva txxx0 xxv t

31、a txx00212)(20202xxavvxxxxxvvtxx002 如果质点在某个方向如果质点在某个方向(如如x方向方向)上的加速度不随时上的加速度不随时间变化，该方向上分运动为间变化，该方向上分运动为匀变速直线运动匀变速直线运动。例如，。例如，在在x方向的速度变化可根据速度公式求得方向的速度变化可根据速度公式求得 37 课本例题：拉小船课本例题：拉小船.exe1 通过绞车把湖中小船拉通过绞车把湖中小船拉向岸边，如图。如果绞车以恒定的速率向岸边，如图。如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的求小船向岸边移动的速度和加

32、速度。速度和加速度。 解解 以绞车定滑轮处为坐标原点以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右轴水平向右, y轴竖直向下轴竖直向下, 如图所示。如图所示。xlhyOxxlhu38 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到岸任意时刻小船到岸边的距离边的距离x总满足总满足 x 2 = l 2 h 2 两边对时间两边对时间t 求导数求导数, 得得 22xxtlltdddd 是绞车拉动纤绳的速率，纤绳随时间在缩是绞车拉动纤绳的速率，纤绳随时间在缩短，故短，故 ; 是小船向岸边移动的速率。是小船向岸边移动的速率。ddltu ddlt 0ddxtvuxhxuxlv22 负号表示

33、小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向。轴反方向。 小船向岸边移小船向岸边移动的加速度为动的加速度为 axtvtu hx dddd2222339 例例2 抛体运动。假设物体以初速度抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平方向沿与水平方向成角成角 方向被抛出方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、射程、求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。飞行时间和物体所能到达的最大高度。0 抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向的匀速直线运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀变速直线运动相叠加。变速直线运动相叠加。0 xy0vO解解 首先必须首先必须建立坐标系建立坐标系, 取抛射

34、点为坐标原点取抛射点为坐标原点O, x 轴水平向右轴水平向右, y 轴竖直向上轴竖直向上, 如图。如图。叠加原理是求解复杂运动的有力工具。叠加原理是求解复杂运动的有力工具。 40 x1 = 0是抛射点的位置，是抛射点的位置，另一个是射程另一个是射程 avvxvtxx00000,cos,(cos).)sin(,sin,2210000gttvygtvvgayyyxgvx()(cos)tan000222抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y = 0，得，得 ()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin41物体的飞行时间物体的飞行时间Txvvg200002cossin当物体到达

35、最大高度时，必有当物体到达最大高度时，必有vy 0tvg100sin物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间最大高度最大高度Hvg02202sin 实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。都比上述值要小。 抛射角抛射角 0 = /4时，最大射程时，最大射程gvx20max42二、平面极坐标系二、平面极坐标系(planar polar coordinates) 取参考系上一固定点取参考系上一固定点O作极点作极点, ,过极点所作的过极点所作的一条固定射线一条固定射线OA称为称为极轴极轴。用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。用平面极坐标系处理

36、圆周运动一类的平面运动。 质点处于点质点处于点P, 连线连线OP 称为称为点点P的的极径极径, 用用 表示；从表示；从OA到到OP转过的角转过的角 称为点称为点P的的极角极角。点点P位置可用位置可用( , )来表示来表示, 这两这两个量就称为点个量就称为点P的的极坐标极坐标。A ),(OP43P的位置矢量表示为的位置矢量表示为 )()()(tettrteetettvdddd)(dd)( 是极径方向的单位矢量，长度为是极径方向的单位矢量，长度为1，沿，沿 增大增大的方向。随着质点的运动的方向。随着质点的运动，点，点P 的极角在改变，的极角在改变， 方方向也相应改变，向也相应改变， 的方向是时间的

37、函数，写为的方向是时间的函数，写为 。 )(teee)(te式中式中 是单位矢量是单位矢量 的的方向随时间的变化率方向随时间的变化率。 tedde44LOBA 在在 时间内时间内, 质点沿任意平面曲线质点沿任意平面曲线L由点由点A到到达点达点B, 极角的增量为极角的增量为 。 t1)()(ttete)(te)(tte)(tt)(t 等腰三角形等腰三角形 O A B , 当当 t0时时, 底边趋于与腰底边趋于与腰垂直垂直, 的方向趋于极角增大的方向的方向趋于极角增大的方向, 引入该方向引入该方向的单位矢量的单位矢量 。 eeO A B )(tte)(tee45eeeeettttttddlimli

38、mdd00etetvdddd第一项是速度的径向分量第一项是速度的径向分量, , 称为称为径向速度径向速度； 第二项则是速度的横向分量第二项则是速度的横向分量, , 称为称为横向速度横向速度。 evevvvtvtdddd,vvvtt2222()()dddd速度大小速度大小46质点直线运动时，取该直线为极径，极角为常量质点直线运动时，取该直线为极径，极角为常量vtvdd,0vvt0 ,dd质点圆周运动时，极径是圆周的半径，为常量质点圆周运动时，极径是圆周的半径，为常量vddt圆周运动角速度圆周运动角速度vttstv dddddd横向速度是质点横向速度是质点沿圆周切向速度沿圆周切向速度47质点加速度

39、质点加速度tetetttteetevevttvadddddddddd(ddt dddd)(dddd2222O B A )(te)(ttee 等腰等腰 O A B ,当当 t0时时, 趋于与趋于与 垂直垂直, 即即指向指向 的方向的方向, 大小大小eee1eOLAB)(te)(tte式中式中 是单位矢量是单位矢量 随时间的变化率随时间的变化率。 tedde48于是有于是有ttetteteteddlimlimdd00etttettadddd2dd)dd(dd22222eeaaaetteddddettedddd将将和和代入代入tetetttteetadddddddddd(ddt dddd222249

40、分别称为分别称为径向加速度径向加速度和和横向加速度横向加速度。 质点圆周运动：极径质点圆周运动：极径 是圆周半径，为常量，是圆周半径，为常量，有有 attatttdddddddddd222222() , 质点直线运动：取该直线为极径，极角为常量，质点直线运动：取该直线为极径，极角为常量，有有atadd220,atat () ,dddd22250继续推算继续推算 前一项是圆周运动的前一项是圆周运动的向心加速度向心加速度, , 负号表示负号表示此加速度的方向，指向极点，即圆心；后一项此加速度的方向，指向极点，即圆心；后一项称为称为切向加速度切向加速度, , 沿圆周的切线方向。沿圆周的切线方向。 a

41、ttv ()()dddd2221atttvt dddddddd22()引入引入角加速度角加速度, 定义为定义为 22ddddttaa 2,51例例3 细棒以恒定角速度细棒以恒定角速度 绕其端点绕其端点O 旋转旋转, 棒上套棒上套一小球一小球, 小球以恒定速度小球以恒定速度u沿棒向外滑动。初始时沿棒向外滑动。初始时刻小球处于点刻小球处于点O, 求求t 时刻小球的速度和加速度。时刻小球的速度和加速度。 解解 取棒端点取棒端点O为极点为极点, 在细在细棒旋转的平面内建立极坐标棒旋转的平面内建立极坐标系系, 初始时刻棒位置为极轴。初始时刻棒位置为极轴。在此坐标系中在此坐标系中, 小球的位置可小球的位置可用极坐标用极坐标( , , )表示表示, utt,其中其