高中数学第一章空间几何体探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积课件1

1、祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积 祖暅祖暅, ,字景烁，祖冲之之子，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于实践的基础上，于5 5世纪末提出世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”。“势势”即是高，即是高，“幂幂”即是面积。即是面积。祖暅原理 “幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异” 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平夹在两个平行平面之间的两个几何体，

2、被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅原理 祖暅原理的提出要比其他国家的祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到数学家早一千多年。在欧洲直到1717世世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。上述结论。祖冲之父子是祖冲之父子是我们中华民族的我们中华民族的骄傲和自豪骄傲和自豪祖暅原理 “幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异” 设有底面积都等于设有底面积都等于S S，高都等，高都等于于h h的任意

3、一个棱柱、一个圆柱和一的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一平个长方体，使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？面内。你能得到什么结论？由祖暅原理可得：V柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。例例: : 如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：“幂势既幂势既同，则积不容异同，则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几何。已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足体满足“幂势同幂势同”，求该不规则几何体的体积。，求该不规则几何体的体积。( (图中所给图中所给长度均为厘米长度均为厘米) ) 解：解：-82121-2-

4、23半个圆柱正方体VVV所以某不规则几何体的体积是以8-立方厘米 设有底面积都等于设有底面积都等于S S，高都等于，高都等于h h的两个的两个锥体（如图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的锥体（如图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？下底面在同一平面内。你能得到什么结论？等底面积等高的两等底面积等高的两个锥体的体积相等个锥体的体积相等如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？ 结论：对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。即shV31锥体例：三个直角三角形如图放置，它们围绕固例：三个直角三角形如图放置，它

5、们围绕固定直线旋转一周形成几何体，求出该几何体定直线旋转一周形成几何体，求出该几何体的体积（图中的长度单位是厘米）。的体积（图中的长度单位是厘米）。先研究半球的体积思考：如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢？结论结论 半径为半径为R R的球的球 的体积公式是的体积公式是334RV球例: 一个正四面体的所有棱长都是一个正四面体的所有棱长都是 厘米，四厘米，四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。个顶点都在同一球面上，求此球的体积。2课堂练习某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。( (图中所给数字单位为厘米图中所给数字单位为厘米) )338 16322314222V解：所以该几何体的体积是所以该几何体的体积是33816课堂小结总结一下你在本节课中获得的知识和学习心得祖暅原理柱、锥、球的体积公式布置作业布置作业例：三棱锥例：三棱锥P-ABCP-ABC三条侧棱两两互相垂直，且三条侧棱两两互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。求它外接球的体积。2 2、三棱锥、三棱锥P-ABCP-ABC中侧棱中侧棱PAPA长为长为3 3且垂直于底面且垂直于底面ABCABC，底面是边长为底面是边长为2 2的正三角形，求这个三棱锥外接球的正三