例习题使用中的几点反思

1、例习题使用中的几点反思高二数学备课组 王有利新课程改革强调“学生是学习的主人，是新课程的主动学习者、发展着”，关注引导学生主动参与学习，激发他们的积极性，显得尤为重要。新教材配置的例习题十分典型，在日复一日的例习题处理中，如何发挥例习题示范性及根源性，直接影响着学生的学习积极性，间接衬托出老师的教学水平和艺术，为广大教师提供了宽广的展示舞台。下面就我在数学新教材例习题教学过程中的一点儿体会与大家分享，不妥之处恳请斧正。（一） 引导学生对相似类型题目进行归纳 北师大版必修五及选修2-1中，直线部分和不等式部分都有关于恒成立问题。尤其是必修五第87页在A、B两组习题中同时出现，可见编者的用心良苦。

2、下面以一个题来说明此类问题的常见解法。题例：已知对任意实数x都成立，求自然数m的最大值。解法1：令本例转化为求f（x）的最小值f(x)=33由于 x+1+f（x）= 即mm的最大值为2解法2：x2+x+1>0恒成立原不等式等价于（3-m）x2+(2-m)x+2-m0恒成立m的最大值为2为此，引导学生对已本学期学过知识的恒成立问题进行归纳，以求掌握这类问题的常用解决方法。 （1）直线恒过定点 题例（1） 已知a+2b=1 求证：直线ax+3y+b=0必过定点 题例（2） 不论m为何值 求证：直线（m-1）x-y+2m+1=0恒过定点，并求出该定点 题例（3） 无论k为何值，p（-2，2）到

3、直线L: （2+k）x-（1+k）y-2（3+2k）=0的距离都不大于 。 诸如以上问题皆可归为代数式恒成立问题（上述问题的详细解答过程略去不写） （2）一元二次不等式及二次函数的恒成立问题（注意两个方面：（a）讨论二次项系数是否为0 （b）考虑判别式 题例（1） 不等式ax2+2ax-4<2x2+4x 对任意xR恒成立，求实数a的取值范围题例（2）y=x2+ax-a对任意xR都有yx恒成立，求实数a的取值范围上述题例（1）简析：不等式等价于（a-2）x2+（2a-4）x-4<0恒成立分类讨论a=2 或以下步骤省略上述题例（2）简析：原命题可转化为 x2+（a-1）x-a0恒成立

4、0 以下步骤省略（3）变换主元的思想有时例习题中含有两个变量，我们变换一下主未知量，另一个作参量，可以使题目出现“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果，这也是我们平时教学引导的薄弱。 题例（1）已知不等式mx2-2x-m+1<0对|m|2恒成立，求x的范围题例（2）已知不等式（lgx）2-（2+m）lgx+m-1>0对一切-1m1恒成立，求x的取值范围简析：题例（1）可换m为主元，于是本题转化为f（m）=（x2-1）m-2x+10对|m|2恒成立， （以下从略）题例（2）也可将主元x变换为m，设f(m)=(1-lgx)m+( lgx)2-2 lgx-1>0 则该不等式对一切

5、-1m1恒成立 只需 （以下从略）（二） 在活化例习题教学中挖掘潜能（1） 变式教材上的例习题都很典型，所以需要教师不断挖掘课本例习题的多种功能，深化例习题教学，培养高素质学生。如课本（北师大版选修2-1第96页A组习题第7题）F1 、F2是双曲线的焦点，p在双曲线上，F1 PF2=900，求三角形F1 PF2的面积上题可变式1：椭圆的焦点为F1 、F2，P为椭圆上一个动点，当F1 PF2=900时，点P的横坐标为 变式2：椭圆的焦点为F1 、F2，P为椭圆上一个动点，当F1 PF2为直角三角形时， （备注：本题显然还增加了分类讨论，从而将习题上升到一定高度）（2） 改造拓宽 对例题习题加以改

6、造及拓宽，不仅能打开学生的解题思路，培养学生数学思维能力，而且还能激发他们的学习兴趣，拓展他们的思维空间及习题的创造性。例如：（北师大版选修2-1第76页A组第5题）点M到F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，求点M满足的方程。教学时可以先引申1：平面上的动点P到A（0，-2）的距离比它到直线L：y=4的距离小2，则动点P的轨迹方程是 再引申2：点M到P（0，8）的距离比到它直线L：y=-7的距离大1，求M的轨迹方程然后拓展1：点M到F（1，0）的距离与它到直线L：x-9=0的距离之比为，则动点M的轨迹方程是 之后拓展2：点M到F（10，0）的距离与它到直线L：x-=0的距离之比为2，则动点M的轨迹方程是 学生经过上述问题思考、探讨，既巩固了抛物线又感触到了抛物线与椭圆、双曲线的内在联系，为拓展圆锥曲线的统一定义埋下了伏笔。教学中对例题