第10章静电场中的介质电容器

1、z谁?z什么会变化？z如何描述？z为什么会变化？开始学习之前的问题什么可以充当水容器？什么可以充当水容器？任何固态物体都可以作为储存水的容器，即使是任何固态物体都可以作为储存水的容器，即使是一片树叶，一块海绵一片树叶，一块海绵什么可以充当什么可以充当电容器电容器？任何的状态物体都可以作为储存电的容器，任何的状态物体都可以作为储存电的容器，即使是一片云，一棵树，或者是一片金属片即使是一片云，一棵树，或者是一片金属片+ + + + + + + + +- - - - - - - - -引入引入：UQC 用两个邻近导体制成电容器，利用电池或者电路中的电势差用两个邻近导体制成电容器，利用电池或者电路中的

2、电势差 U给两个导体加上电压，从而让电容器两个电极分别带电给两个导体加上电压，从而让电容器两个电极分别带电+Q和和-Q 电容：储存电荷的能力。这个能力与存储了多少电荷没有关电容：储存电荷的能力。这个能力与存储了多少电荷没有关系，只决定于两导体的大小、形状、相对位置等因素。系，只决定于两导体的大小、形状、相对位置等因素。 为了方便地存储电荷为了方便地存储电荷 和和 利用电荷利用电荷+Q-QU以以Q作为电容器带电量作为电容器带电量RUQC04RQrdrQUR02044孤立导体可作为电容器，例如一个金属球，孤立导体可作为电容器，例如一个金属球，如果如果带电荷带电荷 Q ，这代表金属球储存电荷的能力这

3、代表金属球储存电荷的能力 可见可见 球的半径越大，储存电荷能力越大。球的半径越大，储存电荷能力越大。电势为（电势为（U U = 0）孤立导体球的电容孤立导体球的电容u 平行板电容器平行板电容器典型电容器典型电容器u 球形电容器球形电容器r1R电容器的应用：电容器的应用：滤波、震荡、储能等等滤波、震荡、储能等等收音机调台的旋钮就是在调节一收音机调台的旋钮就是在调节一个电容的大小，以实现电路和不个电容的大小，以实现电路和不同的频率的电磁波共振同的频率的电磁波共振电路中常见的电容电路中常见的电容u以圆柱形电容器为例，以圆柱形电容器为例，长度长度L L，内径，内径R R1 1，外径，外径R R2 2，

4、电介质（电介质（r r），），说明如何确定电容器电容说明如何确定电容器电容 假设电容器带电假设电容器带电Q,Q, 通过高斯定理求得电场通过高斯定理求得电场 电场积分求得电势差电场积分求得电势差U U应用定义，消去而且应用定义，消去而且必须消去必须消去Q Q，求得，求得：UQC Lr假设电容器带电假设电容器带电Q Q，轴向单位长度带电量称为电荷线密度轴向单位长度带电量称为电荷线密度LQ电容器有绝缘的电介质存在，电容器有绝缘的电介质存在，空间电场由自由电荷空间电场由自由电荷Q Q和极和极化电荷共同激发化电荷共同激发 UED1R2RhrL有介质有介质时的时的高斯高斯定理定理iiQSD0dQQ做半径做

5、半径r r（R R1 1rrR R2 2) )，高度为，高度为h h，圆柱形高斯面圆柱形高斯面，根据电，根据电位移的高斯定理位移的高斯定理根据根据旋转对称性旋转对称性，忽略边缘效应，电位移，忽略边缘效应，电位移线是垂直轴向向外辐射状线是垂直轴向向外辐射状D电位移线电位移线（绿色）（绿色）hr侧面底面SdDSdDSdDSD侧面底面090cosdSDcosdSD电位移通量电位移通量闭合曲面以向外为正方向闭合曲面以向外为正方向侧面dSD0底面没有电位移线出入，贡献是底面没有电位移线出入，贡献是0侧面侧面侧面DSdSDdSDSdDSrhDSdDSD2hQSdDiiS0电位移通量只与闭合曲面内自由电荷相

6、关电位移通量只与闭合曲面内自由电荷相关hrhD2rD2得到电位移得到电位移方向沿半径向外方向沿半径向外EDr0电位移矢量电位移矢量电场矢量电场矢量 2r0r0rerDE均匀各向同性的电介质均匀各向同性的电介质 表示电介质表示电介质产生极化电荷能力产生极化电荷能力的一个参数，参数越的一个参数，参数越大，对自由电荷的电场削弱越厉害大，对自由电荷的电场削弱越厉害r1200ln222121RRdrrrdEUrRRrRR电极之间电势差电极之间电势差120ln2RRL/QUr120ln2RRLUQCr圆柱型电容器电容圆柱型电容器电容*若金属电极之间是真空若金属电极之间是真空1r 表示真空表示真空没有产生极

7、化电荷能力没有产生极化电荷能力，空间电场由自由，空间电场由自由电荷贡献电荷贡献真空电容真空电容1200ln2RRLC*有介质存在的时候有介质存在的时候00rCCC 储存电荷能力增大储存电荷能力增大u 平行板电容器平行板电容器rrDE00DABQ Q dsr dEl dEUBA dSdSUQCrr00sdQdrr 00 SSDSdDSDS课后作业：证明球形电容器电容课后作业：证明球形电容器电容122104RRRRCru 球形电容器球形电容器00rCCC1rdSC00同样有同样有Lr1R例题：一圆柱型电容器，电极之间原为真空，用电动势为U的电源充电后，断开电源。在电极之间充入电介质（r r），电容

8、器两极间电压变为多少？），电容器两极间电压变为多少？0rCC0CQ不变不变UCUCCQUr10电压减小了电压减小了电场被削弱电场被削弱发动机是飞机发动机是飞机的核心，是一的核心，是一个极其精巧、个极其精巧、复杂的系统复杂的系统发动机是如何开始工作的？发动机是如何开始工作的？点火系统点火系统功用：产生电花，点燃燃气混合气。功用：产生电花，点燃燃气混合气。u点火系统是短时间工作的，后续喷入的燃油点火系统是短时间工作的，后续喷入的燃油可由燃烧室的热量点燃。可由燃烧室的热量点燃。连续点火连续点火- -当外界条件可能导致燃烧室熄火时，当外界条件可能导致燃烧室熄火时，发动机也需要点火系统工作。发动机也需要

9、点火系统工作。飞机发动机飞机发动机点火系统点火系统 圆柱型电容器圆柱型电容器产生强电场，将空产生强电场，将空气分子击破，使其气分子击破，使其电离，电场推动离电离，电场推动离子和电子运动、碰子和电子运动、碰撞，发热发光，产撞，发热发光，产生一个高温生一个高温“闪闪电电”，燃油和空气，燃油和空气的混合气体被点燃的混合气体被点燃空气间隙式点火器的原理示意图空气间隙式点火器的原理示意图空气空气绝缘陶瓷绝缘陶瓷62r11r大部分电荷储存在下部大部分电荷储存在下部U U0011CCCr00r226CCC126QQ 空气部分用来产生火花空气部分用来产生火花陶瓷部分避免产生火花，用来储存电荷陶瓷部分避免产生火

10、花，用来储存电荷上部上部下部下部U U相同相同CUQ 另外一种另外一种分路表面放分路表面放电电式火花塞，式火花塞，本质上也是本质上也是一个一个圆柱形电容器，圆柱形电容器，可产可产生数厘米的火花深入发动生数厘米的火花深入发动机燃烧室机燃烧室 与空气间隙式火花塞相比，与空气间隙式火花塞相比，结构类似，但它结构类似，但它不是以强电场不是以强电场直接击破空气分子直接击破空气分子产生火花，产生火花，半导体表面放电，打破空气分半导体表面放电，打破空气分子而产生火花，所需放电电压子而产生火花，所需放电电压约为空气间隙式的五分之一约为空气间隙式的五分之一汽车的点火器汽车的点火器-圆柱形电容器圆柱形电容器电容器

11、的串并联电容器的串并联nCCCC111121 串联串联QQQQ21 UU2121111CCQUQUQUCABQQQ21nCCCC 21 并联并联212121CCUQUQUQQCABUUU2121 CCAB1C2CAB1Q2QudqdqdAdWee)( VCQdqCqudqdAWQQe20021UQCUCQWe21212122dq 考察电容的充电过程：考察电容的充电过程： 充电过程的实质，是把正电荷从电势低的负极板移到电势高充电过程的实质，是把正电荷从电势低的负极板移到电势高的正极板，静电场力做负功。因此外力必须克服静电场力对电荷的正极板，静电场力做负功。因此外力必须克服静电场力对电荷做功，使电

12、容器获得能量并储存在电容器中。做功，使电容器获得能量并储存在电容器中。 是指：电容器上电荷建立的是指：电容器上电荷建立的过程中外力克服静电场力对电荷所做的功。过程中外力克服静电场力对电荷所做的功。 例例 一平空气行板电容器，电容为一平空气行板电容器，电容为 C0 ，接入充电电路充电至电压为，接入充电电路充电至电压为 U ，此后（此后（1 1）保持电路接通；（）保持电路接通；（2 2）断开电路。今在极板间插入一块相对介电常数）断开电路。今在极板间插入一块相对介电常数为为 r 的均匀各向同性介质，使介质充满极板间隙。求此过程中外力所做的功。的均匀各向同性介质，使介质充满极板间隙。求此过程中外力所做

13、的功。 解：无介质时电容器的储能解：无介质时电容器的储能 W0 为为0CCr20020212UCCQW插入介质后电容器的电容板为插入介质后电容器的电容板为02022121WUCCUWrr V （1 1）电路接通，电路接通，U 不变不变，插入介质后电容器的能量为，插入介质后电容器的能量为 （2 2）电路断开，电路断开，Q 不变不变，插入介质后电容器的能量为，插入介质后电容器的能量为rrWCQCQW0022222000) 1(21) 1(UCWWWArr200012111UCWWWArrr 实际上，静电场和产生它的电荷是不可分割的，可以认为在实际上，静电场和产生它的电荷是不可分割的，可以认为在电容

14、器的能量就是电场所具有的。这是电容器的能量就是电场所具有的。这是电场物质性的客观要求电场物质性的客观要求。energy density of electric field引入引入：SdESdQCQWe200222121212021EVWwee 考虑无介质的平行板电容器，它的能量可以用场强表示：考虑无介质的平行板电容器，它的能量可以用场强表示：dSC0ESQSQE00 可以证明，上式对任意电场（包括非静电场）都成立，是可以证明，上式对任意电场（包括非静电场）都成立，是电场能量密度的电场能量密度的普遍普遍表达式。表达式。 注：在忽略边缘效应的情况下，场强被局限在两平行极板之注：在忽略边缘效应的情况

15、下，场强被局限在两平行极板之间，且电场是均匀的，间，且电场是均匀的， 。SdWwee5-5 电场的能量故有故有SdECQWre2022121DEESdWwree212120 如果考虑充有均匀各向同性电介质的平行板电容器，它的能如果考虑充有均匀各向同性电介质的平行板电容器，它的能量可以用场强表示：量可以用场强表示：介质的总能量密度的普遍表达式：介质的总能量密度的普遍表达式：EDwe21对任意电场和任对任意电场和任意介质普遍成立意介质普遍成立EPEEPEEDwe2121)(2121200有介质时总电有介质时总电场的能量密度场的能量密度介质中束缚电荷介质中束缚电荷的静电能密度的静电能密度EEE0 例例 求半径为求半径为 R ，带电量为，带电量为 Q 的导体球所产生电场的能量。的导体球所产生电场的能量。 解：导体外电场强度