连续型随机变量及其分布

1、2.1 随机变量及其分布 二、离散型随机变量的概率分布 四、随机变量的分布函数 三、连续型随机变量的概率密度 一、随机变量的概念 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个或若干个有限或无限区间一个或若干个有限或无限区间, 对这种对这种类型的随机变量类型的随机变量, 不能像离散型随机变量不能像离散型随机变量那样那样, 以指定它取每个值概率的方式以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.三

2、、连续型随机变量的概率密度 ()( )baP aXbf x dx,使得对任意使得对任意 , 有有ba ),( 对于随机变量对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x) , x 则称则称 X为连续型为连续型随机变量随机变量,称称 f(x)为为 X 的概率密的概率密度函数，简称为概率密度或密度，简记为：度函数，简称为概率密度或密度，简记为：1. 连续型随机变量及其密度函数的定连续型随机变量及其密度函数的定义义 X f(x)2. 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某X

3、的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.练习 P78 153 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的的概率等于零概率等于零.即即0.P Xa证明证明. 0 由此可得由此可得+0lim( )daxaxf xx 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关P aXbP aXbP aXb.P aXb+0()lim()xPXaP aXax由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX称称A为为几乎不

4、可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B= 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限,反映了概率在点反映了概率在点x处分布的密集处分布的密集程度程度. x ,x xx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：0()limxP xXxxx x)(lim0 xxxxdttf=f(x)4. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：( )P xXxxf xx 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 . ,x xx xxf)(xxf)(在连续型在连续型变量变量理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型在离散型变量变量理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.()( )DRDP XDf x dx其中 为实数集 的任一子区间。 5. 用概率密度求概率用概率密度求概率则例