第4章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论

1、第第4章章 地球椭球及其数学投影地球椭球及其数学投影变换的基本理论变换的基本理论大大 地地 测测 量量 学学 基基 础础环境科学与工程学院环境科学与工程学院 张张 序序4 .1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球的基本几何参数及其相互关系4.1.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球地球椭球是选择的旋转椭球, ,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数五个基本几何参数( (或称元素或称元素):): 长半轴长半轴 短半轴短半轴 椭圆的扁率椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率

2、椭圆的第二偏心率 aba abae22bbae22n为简化书写，还常引入以下符号4.1.2地球椭球参数间的互相关系地球椭球参数间的互相关系2222, tan , cosactBeBbBeVBeW2222cos1sin1221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1、大地坐标系、大地坐标系 大地经度大地经度B 大地纬度大地纬度L 大地高

3、大地高H 2、空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原点坐标原点位于总地球椭球位于总地球椭球( (或参考椭球或参考椭球) )质心；质心；Z Z轴轴与与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X X轴轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点面与赤道面的交点G G；Y Y轴轴与此平面垂直，且指向东为正。与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。 3、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点

4、的大地经度为L，在过，在过P点的子午面上，以子午点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标平面直角坐标系。在该坐标系中，系中，P点的位置用点的位置用L, x, y表示。表示。 4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P点的大地经度点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中，在此子午面上以椭圆中心心O为原点建立为原点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系; 以椭球长半径以椭球长半径a为半径作为半径作辅助圆，延长辅助圆，延长与辅助圆相交与辅助圆相交点，则点，则OP与与x轴夹轴夹角称为角称为P点的点的归化纬度归

5、化纬度u。 5 5、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，是椭球面上一点，MN是过是过M的子午线，的子午线，S为连接为连接MP的大地线长，的大地线长，A为大地线在为大地线在M点的方位角。点的方位角。 以以M为极点；为极点； MN为极轴；为极轴； P点极坐标为（点极坐标为（S, A)4.2.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系1、子午平面坐标系同大地坐标系的关系22221(1)xy abyxabdxdy22222c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(0VBbBeWaBeBeaysinsin

6、)1 (sin1sin)1 (2222cosxNB 令令: pn=NWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos222、空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系c o s, s in, XxLYxLZy2coscoscossincossin(1) sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2nH03、空间直角坐标系同大地坐标系的关系在椭球面上的点：在椭球面上的点：不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLX

7、YL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标4、B、u、 之间的关系之间的关系 （1）B和u之间的关系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcoscosuexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB（2）U、之间的关系之间的关系（3）、之间的关系之间的关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之

8、间的差异很小，经大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当过计算，当B=45时时4.2.3 站心地平坐标系坐标系n大地站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为大地站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。其坐标关系式：依据的坐标系。其坐标关系式：222,tan,coscoscossincossinzyxSxyASzZZSzAZSyAZSxZ天顶S12P2y东x北P2A12Z124.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作线，包含这条法线的平面叫作 法

9、截面法截面，法截面与椭球，法截面与椭球面的交线面的交线叫叫法截线法截线。4.3.1 子午圈曲率半径dBdSMBdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx23(1)aeMW3VcM l子午圈曲率半径子午圈曲率半径4.3.2 卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈卯酉圈: :过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。的闭

10、合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理麦尼尔定理: : 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦平面夹角的余弦。WBarxcosWaN VcN BrBPONPncoscosBNrcosl卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈曲率半径的特点: : 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球

11、面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。中心位在椭球的旋转轴上。 4.3.3 4.3.3 主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以上讨论的以上讨论的子午圈曲率半径子午圈曲率半径M M及及卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径N N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统微分几何中统称为主曲率半径。称为主曲率半径。按牛顿二项式定律展开级数按牛顿二项式定律展开级数 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN88

12、6644220sinsinsinsin6284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan式中：式中：2322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos如果将：如果将：按牛顿二项式定律展开级数按牛顿二项式定律展开级数1011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmemmemeacm109) (876543211/821

13、062842622402220nennennennenneneacn式中：式中：4.3.4 4.3.4 任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 按尤拉公式，由曲面上任意一点主曲率按尤拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率的法截弧的曲率半径的公式为：半径的公式为： NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA任意法截弧的曲率半径的变化规律: 不仅与点的纬度不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截有关，而且还与过该点的法截弧的方位角

14、弧的方位角A有关。有关。 当当时，变为计算子午圈曲率半径的，即时，变为计算子午圈曲率半径的，即； 当当90时，为卯酉圈曲率半径，即时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径主曲率半径M及及N分别是分别是的极小值和极大值的极小值和极大值。 当当A由由090时，时，之值由之值由，当，当A由由90180时，时，值由值由N，可见，可见值的变化是以值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。4.4.5 4.4.5 平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R R 等于该点子午等于该点子午圈曲率半径圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径

15、和卯酉圈曲率半径N N的的几何平均值几何平均值。 MNR 22221eWaVNVcWbRM，N，R的关系 MRNcMRN9090904.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin子午线曲率半径：子午线曲率半径：BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2

16、cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin286420子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式12816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma如果以如果以B B9090代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为约为10 002 137m10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 40 008 549.995m008 549.995m。即一象限子午线弧长约为。即一象限子午线弧长约为10

17、000km10 000km，地球，地球周长约为周长约为40 000km40 000km。为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按上式及间的弧长，只需按上式 分别算出相应的分别算出相应的X及及X，而后取差：，而后取差：，该该即为所求的弧长。即为所求的弧长。当弧长甚短当弧长甚短( (例如例如X40kmX40km，计算精度到，计算精度到0.001m)0.001m)，可视子，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径的曲率半径M M 4.4.2 4.4.2 由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度 迭代解法迭

18、代解法: : 4.4.3 4.4.3 平行圈弧长公式平行圈弧长公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS01/ aXBfifififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNSifififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较4.5 大地线大地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在两点

19、间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢一条线呢? ? 它应是它应是大地线大地线。4.5.1 4.5.1 相对法截线相对法截线 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba经证明：两点间就有两条法截线存在经证明：两点间就有两条法截线存在相对法截线相对法截线 相对法截线的特点相对法截线的特点: :当当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。截线则合二为一。在通常情况下，正反法截

20、线是不重合的。因此在椭球面上在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。构成的单一的三角形。 4.5.2 大地线的定义和性质大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线大地线。 大地线的性质大地线的性质: :n大地线是两点间惟一最短线，而且位于

21、相对法截线之大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角 n在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。相应大地线的方向、距离。n长度差异可忽略长度差异可忽略, ,方向差异需改化。方向差异需改化。 314.5.3 4.5.3 大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 所谓大地线微分方程，即所谓大地线微分方程，即表达表达的关系式与dSdA

22、,dB,dLAdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)sinsin(90(90)dAdLBdB以上三个关系式称为大地线微分方程以上三个关系式称为大地线微分方程。CAr sin 克莱劳定理表明：克莱劳定理表明： 在旋转椭球面上，大地线各点在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数。也叫大地线常数。 dSMAdBcosBNBdB

23、MAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnBdSNAdAtansin大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程n当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时n当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时n由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。各点的垂线，各点的垂线与

24、法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求：归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。4.6.1将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差三差改正改正。1.1.垂线偏差改正垂线偏差改正u u 以测站以测站A为中心为中心作出单位半径的作出单位半径的辅助球辅助球, ,u是垂线是垂线偏差，它

25、在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上的圈和卯酉圈上的分量分别以分量分别以,表示，表示，M是地面观测目标是地面观测目标m在球在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)，这个量就是垂，这个量就是垂线偏差线偏差u u 。11tan)cossin(cot)cossin(mmmmuAAZAA2.标高差改正h h 222212cossin22heHBAMaHH常23.3.截面差改正截面差改正g g 2222111() cossin 212geSBAN 4.6.2 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 1.1.基线尺量距的归算基线尺量距的归算

26、 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以为它是基线平均高程面上的长度，以0 0表示，现要把它表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度归算至参考椭球面上的大地线长度S。 1) 1) 垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响 )(22122121HHuuhuuSu2) 高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 RHRHRSSmm10101RHSSm2201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm2.2.电磁波测距的归算电磁波测距的归算 12212coscos1AB

27、eNRA)( 2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21coscos2)(4)(2sin1221222HRHRHHDRSAAA)1)(1()(1arcsin221212AAAARHRHDHHRDRS232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS232242AAmRDRHDDhDS2322241AAmRDRHhDS)1)(1 ()(121212AARHRHDHHDd弧长计算公式弧长计算公式两点间的弦长两点间的弦长4.7 大地测量主题解算概算大地测量主题解算概算4.7.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 主题解算分为主题解算分

28、为: : 短距离短距离(400km)(400km) 中距离中距离(1000km)(1000km) 长距离长距离(1000km(1000km以上以上) ) 111 21 2222 1(,) ,(,) ,P B L S A P B L A12正 算 : 已 知 求11221 21 22 1(,),(,),P B L P B L S A A12反 算 : 已 知 ， 求1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础（直接在地球椭球面上进行积分运算）（直接在地球椭球面上进行积分运算）主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，主要特点：解算精度与距离有关，距离越

29、长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离因此只适用于较短的距离 微分方程为基础微分方程为基础212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd SMALLd SNBBAAA d SNc o ss i nc o st a ns i nd BAd SMd LAd SNBd ABAd SN2.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面 向球面的过渡；向球面的过渡；2)2)在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；3)3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从按球

30、面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。圆球向椭球的过渡。 典型解法：典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应距离解算，也适用于长距离解算。可适应20 20 000km000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。远程导弹发射等都具有重要意义。4.7.2 勒让德级数式勒让德级数式 为了计算为了计算 的级数展开式，关键问题是推的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。求各阶导数

31、。22332111112323nnnd BSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 22332111112323nnnd LSdLd LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()! 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A,2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 一阶导数：一阶导数：3coscossinsecsincostansintansindBAVAdSMcdLAVBBdSNBcdABVABAdS

32、Nc 二阶导数：二阶导数：242222234 190()()(cossin)()d BdB dBdB dAVtAA dSB dS dSA dS dSc 三阶导数三阶导数22222()()secsincos(4 192)d LdL dBdL dAVtBAA dSB dS dSA dS dSc 2222221 24 194()()sin cos ()()d AdA dBdA dAVAAt dSB dS dSA dS dSc 352222 22222331 39312 2d BVAAttAt5 t dSccos sin()cos() 32322d LVtBAA dScsec sin cos 3322

33、22233213d LVBAA+ ttA dScsecsincos()sin 1cosuSA 1sinvSA 勒让德级数是大地主题正算得一组基本勒让德级数是大地主题正算得一组基本公式，但它仅适用于边长短于公式，但它仅适用于边长短于30km的情况。的情况。 因此，对于边长长的话，级数收敛很慢，因此，对于边长长的话，级数收敛很慢，且计算复杂。且计算复杂。n4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式典型解法：典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 高斯平均引数正算公式推高斯平均引数正算公式推导的基本思想：导的基本思想： 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在 P P点展点展开改在大地线长度中

34、点开改在大地线长度中点M M展开，以展开，以使级数公式项数减少，收敛快，使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点精度高；其次，考虑到求定中点 M M 的复杂性，将的复杂性，将 M M 点用大地线两点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对端点平均纬度及平均方位角相对应的应的 m m 点来代替，并借助迭代计点来代替，并借助迭代计算算便可顺利地实现大地主题正解。便可顺利地实现大地主题正解。 21,22SSMP MP 223322311()()()(4200)22468MMdBSd B Sd B SBB dSdSdS223312311()()()(4201)22468MMMMdBSd

35、BSd BSBB dSdSdS (1)建立级数展开式建立级数展开式: 33213()()(4202)24MMdBd BBBBSS dSdSmMmMBB AA, 3321324MMdLd LLLLSSdSdS()() 332112324MMdAd AAAASSdSdS()() 2121121118022mmBBB AAA(),() 同理可得同理可得: MMmm BABA,(2)MmmMmMmmmdBfff BABBAAdSBA()(,)()()()() +22222288MmMmSd AAAdSSd A dS()() MMMmMmmMmdBf BAF BBB AAAdS()(,)(,) +Mmm

36、MmMmmmdBdBdBdSdSf BABBAAdSBA()()()(,)()()()() +22222288MmMmSd BBBdSSd B dS()() 32mmmmmmmmAVVdBAAdSMcNcos()coscos 323mmmmmmmVdBAdSctABBN()(cos)()cos (3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:32mmmmmmVdBAVdScAAAN()(cos)()sin 222222222388mMmmmmmmmmS VSd BBBtAtAdSN()(sincos) 22222221288MmmmmmmmSd ASAAAAt dSN()sin

37、cos() 222222223223333812mmMmm mmmmmmm22mmmmmmVVdBSSAA tAAS +dSNNV AAt +S +5 8N()coscos(sincos)sincos()次23322222332222313924243155mMmmmmmmm22mmmmmmVSd BAAtt +dSN At +tS + ()cossin()cos() 次22222212222221232243195mmmmmmmmmmm mVSBBBSAAtNN At()cossin()cos() 次可得高斯引数正算公式可得高斯引数正算公式：22222222124195mmmmmmmmmmS

38、LSBAAtNN Atsecsinsincos() 次22222242221279245225mmmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次 注意： 从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”。21211111()222mBBBBBBBB1212m AAA21212112,180BBB LLL AAA4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算

39、公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:222222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmm mSALSANBS tAN SAt2222222222222coscossin(232)243cos(14)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt 2sincos,cosmmmmmmNLBSANB SAV230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos 3222201210333192424mmmmmmmm mmNNBNBrB rt rtcoscoscos,(), 2222

40、222101230233233248mmmmmmmmmmmNNBNs stt stVcos,(),() 2432012103221132212412mmm mmmm mmttB tB t tB tcos,cos(),cos() （4-231）已知：求得：1474652.6470B 135 49 36.3300L 1244 12 13.6640A 44 797.2826S m248 04 09.6384B 236 14 45.0004L 2122430.550A 53122111,18022mmAAA AAAsintancosmmmSAASAsinsinmmSASA4.7.5 白塞尔大地主题解算

41、方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想: : 以辅助球面为基础以辅助球面为基础, ,将将椭球面三角形转换椭球面三角形转换为辅为辅助球面的相应三角形助球面的相应三角形, ,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系, ,将将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。 这种方法的这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素

42、之间的关系式球面上相应元素之间的关系式, ,同时也要解决在球面上进同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。行大地主题解算的方法。 12121212,BBAAL S 1.1.在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算球面上大地主题正算: : 已知已知 求解求解球面上大地主题反算球面上大地主题反算: : 已知已知 求解求解22 , 12 , 12 , 11 , 球面三角元素间的相互关系球面三角元素间的相互关系:12211121221212 a b c sinsinsincos( )sinsinsincos( )sincoscossinsincoscos( )sinco

43、ssincoscossinc 12122111221112211 d e f g os()cossinsincoscoscos( )coscoscoscossinsincos()coscossinsincoscoscos()cossincossin 2111 h i( )sinsincoscossincos( ) 1)球面上大地主题正解112, 2已 知 求,2111sinsincoscossin cos( ) i1111sinsintan( ) ( )coscossinsincos af112111cossintan( ) ( )coscos cossinsin hg2) 2) 球面上大地主

44、题反解方法球面上大地主题反解方法 1212, 已 知， 求,121212sin costan( ) ( )coscoscossincosu bduuuu211212sin costan( ) ( )cossinsincoscosp acq111212sincostan( )sinsincoscoscospq p2 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式n在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:AdBdSMAdLdSNBBdAAdSNcossincostansin dddddAdcossincostansin 423842394240d

45、BBdS dMddLAdS dNBddABA dS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1. 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度化纬度。 121212,Aa Aa2111111tan1tantan(1)tanueBuBu2222122tan1tantan(1)tanueBuBu,?S L 2

46、211dSNNucaNeedBABVVtansintantansintan 2222222222222111111eVeBWue VueueVcoscoscoscos 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABAdS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 2122211PPLLLeudcos 221dLeudcos 21222211ppdSaeuSaeuddcoscos 1dLudSudNB dBVcossincossin n以上为白塞尔微分方程以上为白塞尔微分方程. 3 、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分21221p

47、pSaeudcos 1019090uAcos()sin()sin 2221011uAcoscossin 21212220222201111ppppSaeAd =aeeAd(cossin)cossin 2201Sbkd(sin) kkkk246221 2246(1sin)1sinsinsin2816 24611222311248285153124616321632xxxxxxxxxsincossincoscossincoscoscoskeA2220cos n积分得到下式：积分得到下式：1111122222sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2SABCSABC11222222

48、SABCBCsin(cos)sin(cos) 2462464635146 42 5 61 583 21 0 2 431 2 85 1 6kkkAbkkBbkkCbk()()() n反算：反算：（4-268）n正算：正算：（4-269） 迭代法迭代法: 直接法:1122sin2(cos2)sin2(cos2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 001101522BCAcos ()sin () n适合于反算:n适合于正算: 迭代法: 直接法:1122sin 2(cos 2)sin 2(cos 2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 00110