高考数学一轮复习(文)人教通用版7.3一元二次不等式及其解法名师精编学案

1、名校名师推荐§7.3一元二次不等式及其解法取新专纲考情考向分析1 .会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2 .通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3 .会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一兀二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较局.基础知识自主学习回扣基础知识训练草础题目知识梳理1.一元二次不等式的解集判别式A=b2-4ac

2、A>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象LbIM方程ax2+bx+c=0(a>0)的根后两相异实根xi,X2(xi<x2)有两相等实根bxi=x2=-2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集xx<xi或x*xx工七:x|xCRax2+bx+c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?i名校名师推荐2.常用结论(x-a)(xb)>0或(xa)(x-b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba=ba>b(xa)(xb)>0x|x<a或x>bx|xwax|x&l

3、t;b或x>a(xa)(xb)<0x|a<x<b?x|b<x<a口诀：大于取两边，小于取中间.【概念方法微思考】1. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系？提示ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么？>0a<0提示显然aw0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是a'ax2+bx+c<0恒成立

4、的条件是'攵0；/0.-/-基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或"X”)(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(xi,x2),则必有a>0.(V)(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(一8,x1)U(x2,十°°),则方程ax2+bx+c=0的两个根是xi和x2.(V)(3)若方程ax2+bx+c=0(aw0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(x)(4)不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立的条件是a<0且A=b2-4ac<0.(x)(5)若二次函数y=ax

5、2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(V)题组二教材改编2,已知集合A=x|x2x6>0,贝U?rA等于()A. x|-2<x<3B. x|-2<x<3C. x|x<-2Ux|x>3D. x|x<-2Ux|x>3答案B解析x2x6>0,(x+2)(x3)>0,x>3或x<2,即A=x|x>3或x<2.在数轴上表示出集合A,如图所示.-2由图可得?rA=x|-2<x<3.故选B.3.y=log2(3x22x2)的定义域是答案所以当a>1时，解为

6、_<x<1 ；当a=1时，解集为?;1当0<a<1时，解为1<x<一ac8，三近P专Z+8)解析由题意，得3x2-2x-2>0,令3x2-2x-2=0,得x=1,x2=1+旷,333x2-2x-2>0的解集为题组三易错自纠4 .不等式一x23x+4>0的解集为（用区间表示）答案（4,1）解析由一x23x+4>0可知，（x+4）（x1）<0,得一4<x<1.5 .若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是一；g则a+b=答案-14解析Xi=*2=是方程ax2+bx+2=0的两个根，23+ + b- 2 b- 3

7、 - 十 a-4 a-9a=-12,a+ b= - 14.解得b=-2,6.不等式(a2)x+2(a2)x4<0,对一切xCR恒成立，则实数a的取值范围是()A.(-oo,2B.(-2,2C.(-2,2)D.(一巴2)答案Ba2<0,解析i-2<a<2,LA<0,另a=2时，原式化为4<0,不等式恒成立,2<aW2.故选B.题型分类深度剖析真题典题深度剖析重点难点多维探究题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1 (2019呼和浩特模拟)已知集合 A=x|x2-x-2<0 , B = y|y= 2X,则APB等于()A. (-1, 2)

8、B. (-2, 1)C. (0, 1)D. (0, 2)答案 D解析 由题意得 A=x|x2-x-2<0 =x|-1<x<2 , B=y|y= 2 = ¥|¥>0,AA B = x|0<x<2 = (0, 2).故选 D.命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2 (a+ 1)x+ 1<0(a>0).解 原不等式变为(ax1)(x1)0,因为 a>0,所以!x-g )x- 1)<0.1综上，当0<a<1时，不等式的解集为11<x<；5当a=1时，不等式的解集为?；r11当a>1时，不

9、等式的解集为<x<1£思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.跟踪训练1解不等式12x?ax>a2(aCR).解原不等式可化为12)-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得xi=怖，x2=号4o当a>0时，不等式的解集为j3，+°°)当a=0时，不等式的解集为(一8,0)U(0,+oo);当a<0时，不等式的解集为J巴(-A,+oo)题型二元二次不等式恒

10、成立问题13m的取值范围.求实数m的取值范围.命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f(x)=mx?mx1.若对于xR,f(x)<0恒成立，求实数解当m=0时，f(x)=-1<0恒成立.m<0,当mw。时，则i2即一4<m<0.(A=m+4m<0,综上，一4<m<0,故m的取值范围是(一4,0.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)=mx?mx1.若对于xC1,3,f(x)<5m恒成立,解要使f(x)<m+5在x1,3上恒成立，即mj6<0在xC1,3上恒成立.有以下两种方法:人,、12.3一万法一令g(x)=mx

11、2j+4m6,xC1,3.当m>0时，g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,所以m<6,所以0<m<7；当m=0时，一6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)max=g(1),即m-6<0,所以m<6,所以m<0.综上所述，m的取值范围是imm<7>方法二因为x2x+1=jx-2j2+4>0,又因为m(x2x+1)6<0,所以m<-27.x-x+1因为函数y=2/6。在1,3上的最小值为6,所以只需m<6即可.Jxx+112,377b2产

12、4所以m的取值范围是；mm<6tI7,引申探究1.若将“f(x)<5m恒成立"改为"f(x)<5m无解"，如何求m的取值范围？解若f(x)<5m无解，即f(x)>5-m恒成立，一6,一，、一即mRx2_x+1恒成立,又xC1,3,得m>6,即m的取值范围为6,十).2.若将“f(x)<5m恒成立"改为“存在x,使f(x)<5m成立"，如何求m的取值范围?解由题意知f(x)<5m有解，即m<k6T7有解，则 x x+ 1'又xC1,3,得m<6,即m的取值范围为(8,6).

13、命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2mx1<0对于mC1,2恒成立，求实数x的取值范围.解设g(m)=mx2mx1=(x2x)m1,其图象是直线，当mC1,2时，图象为一条线段,gf1<0,x2-x-1<0,则IJ即2g(2<0,|2x-2x-1<0,解得丁3<x<匕尸，故x的取值范围为y2谁就是思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围,主元，求谁的范围，谁就是参数.跟踪训练2函数f(x)=x2+ax+3.(1)当xCR时，f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当xC2,2时，f(x)>a恒成

14、立，求实数a的取值范围；当aC4,6时，f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围.解(1).当xeR时，x2+ax+3a>0恒成立，需a=a2-4(3-a)<0,即a2+4a-12<0,实数a的取值范围是6,2.(2)当xC-2,2时，设g(x)=x2+ax+3-a>0,分如下三种情况讨论(如图所示):如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有A=a2-4(3-a)<0,即一6WaW2.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当xC2,+8)时，g(x)>0,rA>0,aa2_4p-a>0,aa即<x=2<2,即2<2

15、,、g(-2卢0,、4一2a+3-a>0,a>2或a<6,可得a>4，解得aC?.a<7,a3如图，g(x)的图象与x轴有2个交点,但当xC(8,2时，g(x)>0.20,aa4(3a>0,即Jx=_2>2,即«-a>2,lg(2广0,17+an0,匕>2或2<6,可得a<-4,一7Wa<-6,、a>一7.综上，实数a的取值范围是7,2.(3)令h(a)=xa+x2+3.当aC4,6时,h(a)氏0恒成立.h(4户0,X2+4x+3>0,只需，厂即彳2|h(6卢0,b+6x+3>0,解得x

16、W3-46或x>3+46.实数x的取值范围是(一00,一3一*V6U-3+6,+00).课时作业一、选择题1.已知集合A=xx>0,B=x|(x+1)(x-5)<0,则APB等于(A.-1,4)B.0,5)C.1,4D.-4,1)U4,5)答案B解析由题意得B=x|-1<x<5,故AnB=x|x>0nx|1<x<5=0,5).故选B.2. (2018沈阳二十中联考)若不等式ax2+bx+2>0的解集为x|1<x<2,则不等式2x2+bx+a>0的解集为()A.lxx<1或x>2:B.lx-1<x<2

17、>C.x|2<x<1D,x|x<2或x>1答案A解析二.不等式ax2+bx+2>0的解集为x|1<x<2,.ax2+bx+2=0的两根为一1,2,且a<0,即1+2=b,(-1)X2=-,解得a=1,b=1,则所求不等式可化为2x2+x1>0,aa一一1,解得x<-1或x>2，故选A.3.若一元二次不等式2kx2+kx8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A.(3,0)B.-3,0C.-3,0)D.(-3,0答案Ak<0,解析由题意可得ak24x2kx(3、解得3<k<0.4,若存在实数xC

18、2,4,使x2-2x+5m<0成立，则m的取值范围为()A.(13,i)B.(5,+8)C.(4,i)D.(8,13)答案B解析m>x22x+5,设Kx)=x22x+5=(x-1)2+4,xC2,4,当x=2时f(x)min=5,?xC2,4使x22x+5m<0成立，即m>f(x)min,，m>5.故选B.5.若不等式x2-(a+1)x+aw0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A.-4,1B.-4,3C.1,3D.-1,3答案B解析原不等式为(x-a)(x-1)<0,当a<1时，不等式的解集为a,1,此时只要a>4即可，即一4Wa<

19、1;当a=1时，不等式的解为x=1,此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为1,a,此时只要aw3即可，即1<a<3,综上可得一4<a<3.6.若不等式x2+ax2>0在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A.235，+ OOC.(1,+8)解析由A= a2 + 8>0知方程恒有两个不等实根,又因为Xix2=2<0,所以方程必有一正根,一负根，对应二次函数图象的示意图如图.所以不等式在区间f(5)>0 ,解得 a>故选 A.51 , 5上有解的充要条件是答案A7.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整

20、数，则a的取值范围是(A.(-3,5)B.(-2,4)C.-1,3D.-2,4答案C解析因为关于x的不等式x2(a+1)x+a<0可化为(x1)(xa)<0,当a>1时，不等式的解集为x1<x<a,当a<1时，不等式的解集为xa<x<1,当a=1时，不等式的解集为？，要使得解集中至多包含1个整数，则a=1或1<aw3或1>a>1,所以实数a的取值范围是a-1,3,故选C.8. 设a<0,(4x2+a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立，则ba的最大值为(1A.21B.312 D.万答案C解析当a<b<0

21、时，？xC(a,b),2x+b<0,所以(4x2+a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立,可转化为？xC(a,b),a<-4x2,所以aw4a2,所以一；wa<0,所以0<ba<；;当a<0<b时，(4x2+a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立,当x=0时，(4x2+a)(2x+b)=ab<0,不符合题意；当a<0=b时，由题意知xC(a,0),(4x2+a)2x>0恒成立，所以4x2+a<0,所以一4<a<0,所以b-a<4.综上所述，ba的最大值为:4二、填空题9. (2018全国名校大联

22、考)不等式x22ax3a2<0(a>0)的解集为.答案x|-a<x<3a解析x2-2ax-3a2<0?(x-3a)(x+a)<0,a>0,a<3a,不等式的解集为x|a<x<3a.10. (2018烟台联考)不等式x>1的解集为.x答案(1,0)U(1,+8)解析当x>0时，原不等式等价于x2>1,解得x>1;当x<0时，原不等式等价于x2<1,解得1一一、.1<x<0.所以不等式x>1的解集为(1,0)U(1,+8).x11 .若关于x的不等式x2axa>0的解集为R,则实

23、数a的取值范围是.答案(4,0)解析因为x2axa>0的解集为R,所以A=(-a)2-4(-a)<0,解得一4<a<0,故实数a的取值范围是(一4,0).x12 .(2019上海长宁、嘉定区模拟)不等式-W0的解集为.答案(1,0x解析由W0得x(x+1)W0(xw1),x+1解得1<xW0.13 .若不等式x2+ax+4>0对一切xC(0,1恒成立，则a的取值范围为.答案5,+8)解析由题意，分离参数后得，a>-x+4；设f(x)=x+4；,xC(0,1,则只要a河f(x)max即可.由于函数f(x)在区间(0,1上单调递增，所以f(x)max=f(1)=5,故a>5.三、解答题14 .已知对于任意的xC(8,1)U(5,+8),都有x2-2(a-2)x+a>0,求实数a的取值范围.解设f(x)=x22(a-2)x+a,当a=4(a2)24a<0时，即1<a<4时，f(x)>0对xCR恒成立;当a=1时