第3讲 偏导数

1、西南财经大学天府学院偏偏 导导 数数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数西南财经大学天府学院定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域的某一邻域内有定义，当内有定义，当y固定在固定在0y而而 x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称此存在，则称此极限为函数极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 x的偏的偏导数，记为导数，记为 一、偏导数的定义及其计算法西南财经大学天府学院同理可定义同理可定义函数函数),(y

2、xfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.西南财经大学天府学院同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.西南财经大学天府学院偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim

3、),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 西南财经大学天府学院例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 西南财经大学天府学院例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立西

4、南财经大学天府学院例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 西南财经大学天府学院 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在西南财经大学天府学院例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 p

5、VRT 西南财经大学天府学院偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 yyfyy0|0|lim)0 , 0(00 西南财经大学天府学院.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0 , 0(),(时时当当 yx22222)(2)(

6、),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx 西南财经大学天府学院,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy西南财经大学

7、天府学院、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，西南财经大学天府学院4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图西南财经大学天府学院 偏导数偏导数),(0

8、0yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率.几何意义几何意义: :西南财经大学天府学院 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率.几何意义几何意义: :西南财经大学天府学院),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为二阶纯偏导二阶纯偏导二阶混合偏导二阶混合偏导定义：二

9、阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .二、高阶偏导数西南财经大学天府学院例例 6 设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx西南财经大学天府学院原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例

10、中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：西南财经大学天府学院例例 7 7 设设byeuaxcos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数. 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 西南财经大学天府学院问题：问题： 混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？).0 , 0(),0 , 0(),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223yxxyffyxfyxyxyxyxyxf的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数求求设设 例例 8

11、8解解,)0 , 0(),(时时当当 yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(232224222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy 西南财经大学天府学院,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0. 1 )

12、.0 , 0()0 , 0(yxxyff 显然显然西南财经大学天府学院定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等例例 9 9 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解解),ln(21ln2222yxyx 西南财经大学天府学院,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2

13、)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 证毕证毕西南财经大学天府学院偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算偏导数的计算高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结偏导数的几何意义偏导数的几何意义(二元函数二元函数)西南财经大学天府学院四、作业西南财经大学天府学院若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(00

14、0yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题西南财经大学天府学院思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,西南财经大学天府学院一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _

15、 _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题西南财经大学天府学院 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,

16、在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .西南财经大学天府学院六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .西南财经大学天府学院一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12