两圆的公切线()

1、(3)1.通过解题实践进一步加深对两圆内外公切线性质的认识。通过解题实践进一步加深对两圆内外公切线性质的认识。2.掌握两圆公切线在几何证题中的运用，学会在证题中适时掌握两圆公切线在几何证题中的运用，学会在证题中适时地添加两圆的内地添加两圆的内(或外或外)公切线。公切线。1复习与回顾：复习与回顾： 通过前面两讲的学习，我们不但了解了两圆公切线的概念，通过前面两讲的学习，我们不但了解了两圆公切线的概念，而且还掌握了它们的性质、画法以及切线长的计算方法。而且还掌握了它们的性质、画法以及切线长的计算方法。 (1)公切线的概念：公切线的概念：外公切线定义：外公切线定义：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切

2、两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线线叫做外公切线内公切线的定义内公切线的定义：两个圆在公切线两旁时，这样的公切两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做两圆的内公切线线叫做两圆的内公切线.和两圆都相切的直线，叫做两圆的和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切公切线线O1CO2ABDO1O2ABDC2.两圆的位置与公切线条数的关系两圆的位置与公切线条数的关系 位置位置图形图形内公切线数内公切线数外公切线数外公切线数相离相离外切外切相交相交内切内切内含内含2100022210当两圆外切时，外公切线长当两圆外切时，外公切线长 。则两圆外离时：外公切线长则两圆外离时：外公切线长 内、外公切线长的计

3、算，都是利用直线和圆相切的性质，内、外公切线长的计算，都是利用直线和圆相切的性质，通过作出过切点的半径，再连结两圆的圆心通过作出过切点的半径，再连结两圆的圆心,把问题转化为把问题转化为解一个直角三角形来解决。解一个直角三角形来解决。(2)公切线长的概念：公切线长的概念：(3)公切线的性质：公切线的性质：两圆的两条外公切线长相等，两圆的两条内公切线长相等。两圆的两条外公切线长相等，两圆的两条内公切线长相等。如果两圆有两条公切线，并且相交，那么交点一定在两圆如果两圆有两条公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心的连心 线上，连心线平分两条公切线的夹角。线上，连心线平分两条公切线的夹角。(4)公切

4、线长的计算：公切线长的计算：22)(rRd22)(rRdRr2设大圆半径为设大圆半径为R、小圆半径为小圆半径为r，连心线长为连心线长为d，内公切线长内公切线长公切线上两个切点的距离叫公切线的长。公切线上两个切点的距离叫公切线的长。3公切线的运用：公切线的运用： 两圆公切线不但在生产上有其具体应用，在几何证两圆公切线不但在生产上有其具体应用，在几何证题中的应用更是屡见不鲜的。题中的应用更是屡见不鲜的。O1O2CAB例例1 如图，如图， O1和和 O2外切于点外切于点A，BC是是 O1和和 O2的的公切线，公切线，B、C为切点为切点 .求证：求证： AB AC .分析分析O例例2 如图，如图， O

5、1与与 O2外切于外切于A，BC切切 O1于于B，切切 O2于于C，O1O2的延长线交的延长线交BC的延长线于的延长线于P。求证：求证：(1)PA2PCPB(2)若若 O1与与 O2的半径分别是方程的半径分别是方程x24x30的两根，的两根，求求ABC的周长。的周长。 O1O2CPDABM M分析分析分析：分析：O1O2CPDAB(1)要证要证PA2PCPB，PAPBPAPC只要证只要证 ，为此只须证为此只须证PACPAB即可即可因为因为P公用，公用，所以只须证得所以只须证得PBAPAC即可即可.若连结若连结O1B、O2C，由此只要证由此只要证PO1BPO2C，由于由于O1BO2C 故这是显然

6、的。故这是显然的。则则PBA PO1B，12PAC PO2C，12(2) O1与与 O2的半径分别是方程的半径分别是方程x24x30的两根，的两根，由此可求得由此可求得O1B3，O2C1，作作O2EO1B在在RtO1EO2中，易得中，易得O1O2E30，故可推知故可推知O160可求得可求得AB3，然后在然后在RtBAC中，中，利用利用AB3，ABC30，即可求出即可求出AC、BC，从而可求得从而可求得ABC的周长。的周长。 O1O2CPDABEM M解解: :又又PBA PO1B，12PAC PO2C，12O1BBC，O2CBC，O1BO2CPO1BPO2CPBAPAC又又PPAPBCPAPA

7、PBPAPC 即即PA2PCPBBC为外公切线为外公切线(1)连结连结O1B、O2CO1O2CPDABM M(2)解方程解方程x24x30得得x13x21O1B3，O2C1BC为外公切线为外公切线O1BBC，O2CBC，过过O2作作O2EO1B于于E，则则EO2CB为矩形。为矩形。EO2C90，BEO2C1，O1EO1BBE312又又O1O2必过点必过点A，O1O2314O1O2CPDABEM M在在ABC中，中，从而从而O160BAC90O1E O1O212ACB O1O2C (18060)60 1212cosO1 ABO1B=O1A312ABC O130CB AB= 33232332AC

8、AB 333133ABC的周长的周长3 2 33333O1O2CPDABEM M12例例2 如图，两圆内切于点如图，两圆内切于点P，CD为小圆的直径，连结为小圆的直径，连结PC、PD并延长交大圆于并延长交大圆于E、F，大圆的弦切小圆于大圆的弦切小圆于D，交交EF 分析：分析：(1)要证要证AGGB，求证：求证：(1)AGGB；(2)ADDBCDFG 。PO1O2CEDABGFT只要证明只要证明EF是是 O2的直径，且的直径，且EFAB，故只需证明故只需证明EFCD即可，即可，若作出两圆公切线，这个问题即可逆刃而解。若作出两圆公切线，这个问题即可逆刃而解。(2)由相交弦定理有由相交弦定理有ADD

9、BPDDF 要证要证ADDBCDFG，只需证只需证CDFGPDDF即可。即可。 这样，问题便归结为证这样，问题便归结为证DGFPDC，这一点这一点是不难办到的。是不难办到的。AGGB(垂径定理垂径定理)证明证明:作两圆的公切线作两圆的公切线PT(1)PT切圆于切圆于PTPCPDC，TPEPFEPDEPFECDEF又又AB切切 O1于于DCDABADEFCD为为 O1的直径的直径CPD90故故EF为大圆的直径为大圆的直径EPF90PO1O2CEDABGFT(2)由由(1)知知ABEF，CPD90 FGCDDPFD FGDPFDCD又又ADDBDPFD(相交弦定理相交弦定理)ADDBCDFG CP

10、DFGD 又又CDEFCPDFFGDDPCPO1O2CEDABGFT 在解答有关两圆的公切线问题时，下面的基本知识和在解答有关两圆的公切线问题时，下面的基本知识和基本技能是日常用的：基本技能是日常用的：如果两圆有两条相交的外如果两圆有两条相交的外(内内)公切线，那么这两条外公切线，那么这两条外(内内)公切线的交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分两公切线的交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分两条外条外(内内)公切线的夹角。公切线的夹角。公切线的性质：公切线的性质： 由于两圆构成一个轴对称图形，所以两圆的公切线具由于两圆构成一个轴对称图形，所以两圆的公切线具有下列性质：有下列性质：如果两圆

11、有两条外如果两圆有两条外(或者内或者内)公切线时，那么这两条外公切线时，那么这两条外(内内)公切线的长相等；公切线的长相等； 解题时往往需要首先判断两圆的位置关系，其中公切解题时往往需要首先判断两圆的位置关系，其中公切线的条件是判断位置关系的重要依据之一。线的条件是判断位置关系的重要依据之一。两圆外离两圆外离 两圆有且只有四条公切线。两圆有且只有四条公切线。 两圆外切两圆外切 两圆有且只有三条公切线。两圆有且只有三条公切线。 两圆相交两圆相交 两圆有且只有两条公切线。两圆有且只有两条公切线。 两圆内切两圆内切 两圆有且只有一条公切线。两圆有且只有一条公切线。 在两圆相交或者相切时，有下列规律：

12、在两圆相交或者相切时，有下列规律：当两圆相切时，往往需要作出它们的公切线，找出相等的角。当两圆相切时，往往需要作出它们的公切线，找出相等的角。当两圆相交时，除考虑公切线外，还需要作出它们的公共弦，当两圆相交时，除考虑公切线外，还需要作出它们的公共弦，再利用公共弦的性质，找角和弦的关系解决问题。再利用公共弦的性质，找角和弦的关系解决问题。在求两圆的公切线时，需要平移公切线，构造以圆心距为斜在求两圆的公切线时，需要平移公切线，构造以圆心距为斜边，以公切线长以及两圆半径差边，以公切线长以及两圆半径差( (求外公切线长时求外公切线长时) )或者两圆半或者两圆半径和径和( (求内公切线长时求内公切线长时

13、) )为直角边的直角三角形。然后再解此三为直角边的直角三角形。然后再解此三角形。角形。学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面 1、由圆的轴对称性，两圆外、由圆的轴对称性，两圆外(或内或内)公切线的交点公切线的交点(如果如果存在存在)在连心线上在连心线上 2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形思路主要是构造直角三角形 3、常用的辅助线：、常用的辅助线： （1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；）两圆在各种情况下常考虑添连心线；（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外）

14、两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线公切线4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结总结 总总 结结P138139 14 15 1半径分别为半径分别为R和和r(Rr)的两圆相外切，一条外公切线长的两圆相外切，一条外公切线长为为r，则两条外公切线的夹角为则两条外公切线的夹角为_。 2 O1与与 O2的半径分别为的半径分别为12cm和和20cm，O1O240cm，O1O2与一条内公切线相交于与一条内公切线相交于P，则则PO1:PO2等于等于_。 3已知已知 O1与与 O2的两条外公切线互相垂直，的两条外公切线互相垂直， O1

15、的直径的直径为为5cm， O2的直径为的直径为20cm，则两圆的一条外公切线长为则两圆的一条外公切线长为( )A5.5cmB7.5cmC6.5cmD12.5cm 4下列说法错误的是下列说法错误的是( )A相切两圆的连心线必过切点相切两圆的连心线必过切点 B若两圆没有公共点，则两圆相外离若两圆没有公共点，则两圆相外离 C相交两圆的连心线垂直平分公共弦相交两圆的连心线垂直平分公共弦 D外切两圆的内公切线平分外公切线外切两圆的内公切线平分外公切线 5两圆半径分别是两圆半径分别是12和和4，外公切线长是，外公切线长是15，则两圆位置关，则两圆位置关系是系是( )A相离相离B外切外切C相交相交D不能确定

16、不能确定6如果两圆共有四条公切线，那么这两圆的位置关系为：如果两圆共有四条公切线，那么这两圆的位置关系为： A外离外离B外切外切C相交相交D内切内切7已知两圆的半径分别为已知两圆的半径分别为4和和3，这两个圆的圆心距的长是，这两个圆的圆心距的长是方程方程x28x200的一个根，则这两个圆的公切线条数是。的一个根，则这两个圆的公切线条数是。 8如图如图(3)，ABC中，中，AB5，AC4，BC3， O1是是ABC的内切圆，的内切圆， O1与与 O2相外切，且与边相外切，且与边AB、AC相切，相切，则则 O2的半径长为：的半径长为：ACBO1O2(3) 9如图如图(4)， O1与与 O2外切于外切

17、于E点，点，AF是外公切线，直线是外公切线，直线AB、CD过点过点E，分别与分别与 O1、 O2交于点交于点A、C、B、D，若若AF2AE，3AE2CE，AE4，求求DE的长。的长。O1O2ABCDEF10如图，如图， O1和和 O2外切于外切于P，AB为两圆的公切线，切点为为两圆的公切线，切点为A、B，AB交直线交直线O1O2于于C，若若C30， O1的半径为的半径为2cm，求求 O2的半径及的半径及AB的长。的长。O1O2ABCP1两圆外离，圆心距为两圆外离，圆心距为5，大圆半径为，大圆半径为2.5，小圆半径为，小圆半径为1.5，则外公切线长为，内公切线长为。则外公切线长为，内公切线长为。

18、 2两圆半径分别为两圆半径分别为18cm和和8cm，它们的公切线长为，它们的公切线长为12cm，则两圆的位置则两圆的位置 关系是关系是 3两圆的半径分别为两圆的半径分别为5cm和和3cm，如果这两圆只有一条公切，如果这两圆只有一条公切线，则圆心距线，则圆心距 为为 4如图，如图， O1与与 O2外切，两圆外公切线外切，两圆外公切线MN与与AB的的延长线交于延长线交于P，已知，已知 劣弧的度数为劣弧的度数为120，求，求O2P:O1O2的值。的值。5如图，如图， O1与与 O2外切于点外切于点P，过，过 O1上一点上一点B作作 O1的切线，交的切线，交 O2于点于点C、D，直线，直线BP交交 O2于点于点A。 (1)求证：求证：CBPADP (2)求证：求证：AD2BCBDAB2 (3)设设 O1的半径为的半径为r， O2的半径为的半径为R，若，若BP2，AD4，求的值。，求的值。 6 O1与与 O2外切于外切于A点，过点，过 O2上一点