静电场中的导体和电介质

1、第 9 章 电稳感应和电磁场 习题及答案1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化：(t 26t5)10 3 Wb 。求 t2s时，回路中感应电动势的大小和方向。解：d(2t 6)10 3当 t 2s 时，dt0.01V由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向2.长度为 l 的金属杆 ab 以速率在导电轨道 abcd 上平行移动。已知导轨处于均匀磁场B 中，B 的方向与回路的法线成 60°角，如图所示， B 的大小为 B = kt ( k 为正常数 ) 。设 t0 时杆位于 cd处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向。解：任意时刻通过通过回路面

2、积的磁通量为mBdS Bl t cos60 01kl t 22导线回路中感应电动势为dmdt方向沿 abcda 方向。kl t3. 如图所示，一边长为 a ，总电阻为 R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且B k(1x) ， k0 。求：（ 1）穿过正方形线框的磁通量；（ 2）当 k 随时间 t 按 k(t )k0 t ( k0 为正值常量 )变化时，线框中感生电流的大小和方向。解：（ 1）通过正方形线框的磁通量为BdSaax)dxa 2 k(11 a)Badxak (1S002（2）当 k k0 t 时，通过正方形线框的磁通量为a 2 k

3、0 t (11 a)2正方形线框中感应电动势的大小为da2 k0 (11 a)dt2正方形线框线框中电流大小为Ia 2 k0(11a) ，方向：顺时针方向RR24. 如图所示，一矩形线圈与载有电流II 0 cost 长直导线共面。设线圈的长为b ，宽为 a ；t 0 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度垂直离开导线。求任一时刻线圈中的感应电动势的大小。解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度a大小为B0 IABIb2 xtt 时刻通过线圈平面的磁通量为0 I0 Ibt aB dSt alntbdxS2 x2tDCOx10 I 0b cost lnta2t任一时刻线圈中的感应

4、电动势为id0 I 0b a cos tsin t ln t a dt2(t a)tt5. 如图所示， 在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈。两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以dI 的变化率增大，求：dt(1)(2) 线圈中的感应电动势。解： (1)任一时刻通过线圈平面的磁通量为ba0 Ildrd a0I ldrmb2rd2r0 Il（ ln baln da ）2bd(2) 线圈中的感应电动势为d0 ld aba dIdt（ lndln）2bdt6. 如图所示， 长直导线 AB 中的电流 I 沿导线向上， 并以 dI2A s 1的变化率均匀增长。导dt线附近放一个与之共面的直

5、角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。解：建立图示的坐标系，在直角三角形线框上x 处取平行于 y 轴的宽度为 dx 、高度为 y 的窄条。由几何关系得到y2x0.2 (SI)通过此窄条的磁通量为dB dS0 I0.05）ydx0 I（2x0.2)2 （ x2 （ x0.05） dxy通过直角三角形线框的磁通量为d0 Ib2x0.2()dx20x0.050 Ib0.150 Ib 0.058I(SI)ln2.59 100.05Ox三角形线框中产生的感应电动势为d2.5910 8 dI5.1810 8Vdtdt感应电动势大小为 5.1810

6、8V，方向为逆时针方向。7. 如图所示，长直导线通以电流I ，在其右方放一长方形线圈，两者共面线圈长b ，宽 a ，线圈以速率垂直于直线平移远离。求：线圈离长直导线距离为d 时，线圈中感应电动势的大小和方向。解： AB 、 CD 运动速度方向与磁力线平行， 不产生感应电动势。DA 产生动生电动势为0 IA(B) dlBbb1D2 dBC 产生电动势为2Cb0 I2( B) dl2(a d )B回路中总感应电动势为0 Ib1112()2dd a方向沿顺时针。8. 如图所示，载有电流 I 的长直导线附近， 放一导体半圆环 MeN 与长直导线共面， 且端点 MN的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b

7、 ，环心 O 与导线相距 a 。设半圆环以速率平行导线平移。求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 U MU N 。解：作辅助线MN ，则在 MeNM 回路中，沿方向运动时 dm0MeNM0即MeNMN又a b0 Ib0MNB cos dlln aa b2abMeN 沿 NeM 方向，大小为所以0 Ia bln2 a bM 点电势高于 N 点电势，即UM UN0 Iablnab29. 如图所示，一长直导线中通有电流I ，有一垂直于导线、长度为l 的金属棒 AB 在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成角的方向移动。开始时，棒的A 端到导线的距离为a ，求任意时刻金属棒中的动生电动势

8、，并指出棒哪端的电势高。解：建立图示坐标系，电流 I 在其右边产生的磁感应强度大小为B0 I方向：垂直纸面向里2x在棒上取 dl ， dl 段上的动生电动势为vd(B) dlB cos()dlI A0 I2Bdxsinal2 xAB 上的感应电动势为OB0Ia l t cosdxABd2sina t cosxA0 Ia lt cossin lnat cos2电动势的方向从B指向 A，A 端电势高。x10. 导线 ab 长为 l ，绕过 O 点的垂直轴以匀角速转动， aO = l ，磁感应强度B 平行于转轴，3如图所示。试求：（ 1） ab 两端的电势差；（ 2） a, b 两端哪一点电势高 ?

9、解： (1) 在 Ob 上取 rrdr 一小段3则同理故2l2B2Ob3rB dr09ll1 Bl 2Oa3rB dr018abaOOb(12 )B l 21 B l 21896(2) ab0 即 U a U b 0，故 b 点电势高。11.在两根平行放置相距为2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈， 线圈边长分别为 l 和 2b ，且 l 边与长直导线平行，两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I ，线圈以恒定速度垂直直导线向右运动，如图所示。求：线圈运动到两导线的中心位置（即线圈的中心线与两根导线距离均为 a ）时，线圈中的感应电动势。解：x 2b0I (11)ldrB dSx2r2a

10、r0Il(ln( x 2b)ln xln(x2b2a)ln( x 2a)2dd dx0 Ilv (11x11 )dtdx dt2x2bx2b 2a x2ax a b20 Ilvba2b212. 如图所示，金属杆 AOC 以恒定速度 在均匀磁场 B 中垂直于磁场方向向上运动，已知AOOCL ，求杆中的动生电动势。解： AO 段上产生的动生电动势为OB)dlLAO(B cosdlB LA0OC 段上产生的动生电动势为CB)dlL)dlAO(B cos(O0BL cos杆中的动生电动势为AOOCBL(1 cos)方向由 C 到 A， A点电势高。13. 磁感应强度为 B 的均匀磁场充满一半径为 R

11、的圆柱形空间，一金属杆放在如图所示位置，杆长为 2R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外。当dB 0 时，求：杆两端的感应电动势的大dt小和方向。解：ABACCBd1d32B)3R dBACdt(4R4 dtdtd 2dR 2R 2dBCBdt(12B)dtdt12故AB(2 2) dB3RR412dtdB0dt4故AB0（即从 AB ）14一同轴电缆由两个同轴圆筒构成，内筒半径为1.00mm ，外筒半径为7.00mm，求每米该同轴电缆的自感系数（两筒的厚度可忽略）。解：设电流 I 由内筒流出、外筒流回，由安培环路定理B dlB 2r0I 得i内、外筒之间，I iIB0 I2r内、外筒之间每

12、米长度所通过的磁通量：B dS770 Idr0 Iln 7Bdr1 2S1r2每米同轴电缆的自感系数：LI0ln 7215.一无限长的直导线和一正方形的线圈如图所示放置( 导线与线圈接触处绝缘) 。求：线圈与导线间的互感系数。解：设长直电流为I ，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为2 a0 Ia1230 Iadra22 ln 23rM120 a ln 2I2I 。16.一无限长圆柱形直导线，其截面上电流均匀分布，总电流为求：导线内部单位长度上所储存的磁能。解：在 rR 时B0 Ir2R 2B 20 I 2 r 2wm24208R取 dV 2rdr ( 导线长 l 1)23dr0 I2RR0 Ir

13、则Wwm 2 rdr04R416017什么叫位移电流？它与传导电流有何区别？答：通过电场中某一截面的电通量对时间的变化率称为通过该截面的位移电流。位移电流和传导电流是两个不同的物理概念，它们的区别表现在两个方面：(1) 传导电流是由运动电荷产生，而位移电流是由变化的电场所引起。通常情况下，导体中主要是传导电流，位移电流可以忽略。而在电介质中的电流主要是位移电流，传导电流忽略不计。(2) 传导电流在导体中传播时会产生焦耳热，位移电流可以脱离导体传播且不产生焦耳热。18证明充电时平行板中的位移电流I dC dU ， C 为平行板电容器的电容，U 为两极dt板的电势差。证明：设平行板电容器极板面积为S ，极板间距为 d ，则DDSDSESU SSd而电容： Cd所以， DCUdDC dU则 I ddtdt519.给电容为 C 的平行板电容器充电，传导