小波的例子与小波卷积构造定理

1、第2章 小波变换及其应用 2.4 小波与小波卷积构造定理小波与小波卷积构造定理1. 允许小波定义允许小波定义( )( )i tRt edt 由连续小波变换需要可逆性，可知 2( )1 cd 这里0(0)( )( )0i tRRt edtt dt由此可推知这一结论指出， (t) 的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。 122( ) tL RLR满足上述两条的 称为允许小波，有时也称母小波( ) t第2章 小波变换及其应用 2. 基本小波定义基本小波定义 01(0)( )( )0i tRRt edtt dt 122( ) tL RLR( ) t若 满足则称 为基本小波，有时也称为母小波( ) t允

2、许小波一定是基本小波，基本小波未必就是允许小波第2章 小波变换及其应用 (1) Haar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 0)()(dxnxt1, 2,n 这是一种最简单的正交小波，即 3. 常用的基本小波常用的基本小波第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (2) Daubechies（dbN）小波系）小波系 D4尺度函数与小波尺度函数与小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波尺度函数与小波 第2章 小波变换及其应用 常用的基

3、本小波常用的基本小波 (3) 双正交小波双正交小波（biorNr.Nd）小波系）小波系 双正交双正交B样条小波样条小波bior2.2, bior4.4（7-5）小波滤波器）小波滤波器: 11 1 3 1 1,8 2 4 2 82h2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281 212qpqqqpqqpqqqpqqqq 13355533,164 16 2 164 162h常用于图形学中。其中尺度函数是一常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次个三次B样条。样条。第2章 小波变换及其应用 Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，

4、它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式： Nr=1 Nd=1，3，5 Nr=2 Nd=2，4，6，8 Nr=3 Nd=1，3，5，7，9 Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8 其中，r表示重构，d表示分解。第2章 小波变换及其应用 (4)Coiflet（coifN）小波系 coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coif

5、N具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。第2章 小波变换及其应用 (5)SymletsA（symN）小波系 Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN（N=2，3，8）的形式。第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (6). Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morl

6、et小波1,5第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (7) 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (8). Marr小波小波( ) 22/22( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫墨西哥草帽小波） t第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (9). Meyer小波小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 1

7、21222 33242cos1 223340 3v t( ) 这里第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (10). Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/2tttt 1, 20, 其它 t第2章 小波变换及其应用 常用的基本小波常用的基本小波 (11). Battle-Lemarie样条小波样条小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形线性样条小波及其频域函数的图形 t第2章 小波变换及其应用 4. 不是小波的例第2章 小波变换及其应用 5. 小波卷积构造定理 （1） 利用卷积运算，可以提高小波函数的光滑性，我们自然希望这个经“磨光”后的函数仍是小波函数，下面的定理肯定了这一点。定理：设 是一个小波母函数（允许小 波），是 有