大学物理 习题课

1、1一、一、主主要概念要概念小结小结 （运动）守恒量（运动）守恒量功功 动能动能势能势能baabrdFA221mEk 0pprdFE保讨论下面几种情况下力的功讨论下面几种情况下力的功a. .摩擦力摩擦力：设设 之间没有滑动，之间没有滑动，Mm,问摩擦力问摩擦力 对对 作功吗？作功吗？fmAmfFBMf光滑光滑( (参考系不同，答案不同参考系不同，答案不同.).)2ORb. .成对成对静静摩擦力：摩擦力：设设 之间没有滑动，之间没有滑动，Mm, 问问成对摩擦力成对摩擦力 对对 组成的系统作功吗？组成的系统作功吗？fMm、AmfFBMf光滑光滑（提示：成对力的功仅由相对位移决定（提示：成对力的功仅由

2、相对位移决定. .）( (滑动摩擦力作负功滑动摩擦力作负功.).)AmfFBMf光滑光滑c. .成对成对滑动滑动摩擦力：摩擦力：d. .支持力支持力 : :NgmNf( (不作功不作功.).)3动量动量冲量冲量力力冲量矩冲量矩 动量矩动量矩（角动量）（角动量）21ttIFdtFrMmP 21ttdtMmrLF力矩力矩 二、重要规律二、重要规律1.1.动量定理动量定理: :动量守恒定律动量守恒定律: : ( (语言叙述、数学关系、适用条件语言叙述、数学关系、适用条件) ) 0iF条件条件合合外外力为零力为零Cniiimm1常矢量常矢量常用常用动量分量守恒动量分量守恒 12PPI42.2.( (质

3、点，系统质点，系统) )动能定理动能定理: : ( (系统系统) )功能原理功能原理: :机械能守恒定律机械能守恒定律: :3.3.( (质点质点) )角动量定理角动量定理: :角动量守恒定律角动量守恒定律: :)(PKideEEAAkidiceEAAA条件条件0ideAAMdtLd冲量矩冲量矩LLL dtMtt1221 CLM，0 若若 则则可以可以有外力有外力，但力矩为零，但力矩为零. . 可以可以有外力有外力，可以，可以有非保守内力有非保守内力，但功为零，但功为零. .( (力矩和角动量都对同一轴取力矩和角动量都对同一轴取.) .) 53.3.根据所求量，进行分析根据所求量，进行分析(

4、(关键找守恒量关键找守恒量) )： 例如求速度例如求速度，则分析是否动量守恒，或机械能守恒，则分析是否动量守恒，或机械能守恒. .三、方法三、方法1.1.分析力分析力 ( (关键关键): ): 力力 保守力保守力非保守力非保守力内力内力外力外力2.2.确定惯性参考系确定惯性参考系 例如求某力的功，例如求某力的功，可想到的是：动能定理，功能原可想到的是：动能定理，功能原 理，机械能守恒理，机械能守恒. . )(EAAidekidiceEAAA0)(PKEECniiimm1常矢量常矢量0)(PKEE例如求力的冲量，例如求力的冲量，则分析是否动量守恒则分析是否动量守恒. .012PPI若是转动问题，

5、则分析是否角动量守恒若是转动问题，则分析是否角动量守恒mrL6四、例题四、例题ABm=2 kgvB=6 ms-1OR=4 mv不动不动1.1.物体质量物体质量 , ,沿固定的四沿固定的四分之一圆弧由分之一圆弧由A静止滑下到达静止滑下到达B, ,速率速率 , ,求摩擦力的功求摩擦力的功1sm6Bvkg2mfNP=mg分析力分析力解法解法1 1 应用动能定理求应用动能定理求0212vmAAANfPJ44212mgRmAfv0NPAmgRA；选地面为参考系选地面为参考系求功，考虑动能定理，功能原理求功，考虑动能定理，功能原理答：答：摩擦力的功为摩擦力的功为44J44J，负号表示摩擦力对物体作负功，负

6、号表示摩擦力对物体作负功. .7解法解法2 2 应用功能原理求应用功能原理求12EEAANfmgRE 01ABm=2 kgv=6 ms-1OR=4 mv不动不动势能零点势能零点0pE02122vmE0NAJ44212mgRmAfv（结果同上）（结果同上）82. 质量为质量为m 的物体从质量为的物体从质量为M的的 1/4 圆弧顶端圆弧顶端由由静止下滑静止下滑。槽半径。槽半径R，所有摩擦忽略，所有摩擦忽略。求：。求： a. m刚离开槽时，刚离开槽时，m、M 的速度；的速度； b. m下滑过程中对下滑过程中对M做的功；做的功； c. M移动的距离移动的距离.解：解：ABOmM光滑光滑光滑光滑 及地球

7、为系统，及地球为系统，Mm、ABOMN0NgMNmgm受力分析受力分析内力：内力：重力重力( (保守力保守力) )9 之间之间, , 和和 是否作功？是否作功？Mm、NN内力：内力： 和和外力：水平方向不受外力外力：水平方向不受外力 （动量动量分量守恒分量守恒）；）； 支持力支持力 （功为零）（功为零）. .0NNNABOMN0NgMNmgm选地面为参考系选地面为参考系 （注：成对力的功与参考系的选择无关）（注：成对力的功与参考系的选择无关）以以 为参考系，为参考系， M 和和 不作功不作功. . NN所以，以地面为参考系，所以，以地面为参考系， 和和 不作功不作功. . NN 机械能守恒机械

8、能守恒和和水平方向动量守恒水平方向动量守恒 由以上分析知：系统由以上分析知：系统为什么？为什么？注意，据题意：注意，据题意：mMudtR10 x2211(1)22mMmgRmM0(2)mMmM22,mMMgRgRimiMmMMm 列方程列方程由机械能守恒由机械能守恒 此时水平方向动量守恒可表示为此时水平方向动量守恒可表示为Mm刚离槽时设刚离槽时设 和和 对地对地速度大小为速度大小为 和和 ，mMABOmM光滑光滑光滑光滑坐标如图坐标如图解得：解得： a. m刚离开槽时，刚离开槽时，m、M 的速度的速度:问：若问：若 m在槽中任意位置时，方程在槽中任意位置时，方程（2）是否有错？0pE( (注：

9、注： 应该投影应该投影.) .) m11212MAM b. m下滑过程中对下滑过程中对M做的功做的功xABOmM光滑光滑光滑光滑 M由静止，到获得速度由静止，到获得速度 ，外力对外力对M 作功，由动能定理得：作功，由动能定理得：M2mAgRMm得：得：22mMMgRiMmgRmiMMm 12由由(4),(5)式得 ,即：据题意：据题意：0(5)mxMmM()0 xMmuMm(3)MSdt c. M移动的距离移动的距离:xABOmM光滑光滑光滑光滑(7)xu dtR由水平方向动量守恒由水平方向动量守恒(4)mxxMu则有则有(6)MxmuMmxmmSu dtRMmMm将将(6),(7)式代入式代

10、入(3)式得式得涉及到的速度关系涉及到的速度关系=mmMMu地地 设设 表示表示 在在 x 方向分量方向分量. xu mMu133. 用一弹簧将质量分别为用一弹簧将质量分别为m1和m2 的两木板连接的两木板连接如图所示如图所示. 下板放在地面上下板放在地面上. （1） 如以上板在弹簧上的平衡位置为重力势如以上板在弹簧上的平衡位置为重力势能和弹性势能零点，试写出上板、弹簧以及地球能和弹性势能零点，试写出上板、弹簧以及地球系统的总势能系统的总势能； （2） 对上板加多大的向下的力对上板加多大的向下的力F，才能因突然撤去它，使上板向上才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？跳而把下板拉起来？m

11、1m2 弹簧原长位置，弹簧原长位置， 受压后的平衡位置，上板跳起受压后的平衡位置，上板跳起后的位置，画示意图后的位置，画示意图!（书（书88页，例页，例2-16）14xkxkx0221据题意：以O处为弹性势能和重力势能零点.（1）系统的总势能gxmEp12设系统处在图1所示位置ox0m2m1平衡位置原长位置m1图1x202021)(211kxxxkEp系统的弹性势能系统的重力势能0pE系统的总势能gxmxkxkxEEEppp1022121212pEkx结论15gxmxkxkxEEEppp1022121注意到，受力平衡时gmkx10221kxEp(2)F=？才能因突然撤去它而使下板被拉起来.m1

12、m2Fx1x2o图2x0平衡位置原长位置) 1 (1kxF 对对m1进行分析进行分析对对m2进行分析进行分析)(02xxkgm2N)2()(202gmxxk下板被拉起时下板被拉起时0N011kxkxFgm注：方程（注：方程（1 1）16)2()(202gmxxk撤力到跳起撤力到跳起)3(21212221kxkxm1m2Fx1x2o图2x0平衡位置原长位置再利用受力平衡时)4(10gmkx022kxgmkxgmm)(21gmmkx)(211式(4)代入式(2)式(3)代入上式得与式(1)对比得gmmF)(210E) 1 (1kxF 174. 两弹簧两弹簧A、B的劲度系数分别为的劲度系数分别为kA

13、和和kB，其质量，其质量均忽略不计，今将两弹簧连接并竖直悬挂，如图均忽略不计，今将两弹簧连接并竖直悬挂，如图所示求当系统静止时，两弹簧的弹性势能之比所示求当系统静止时，两弹簧的弹性势能之比 .ABAkBkm由于忽略弹簧质量，则有由于忽略弹簧质量，则有kxxkxkBBAABAkkk111ABBBAAppkkxkxkEEBA221221弹并弹并BAkkK):(BAppEE解：设平衡时，两弹簧分别伸长解：设平衡时，两弹簧分别伸长BAxx 、总伸长为总伸长为 xBAxxx设等效弹簧劲度系数为设等效弹簧劲度系数为k所求所求弹串弹串185. 质量为质量为m的两小球，系在的两小球，系在轻轻弹簧的两端，并置于

14、弹簧的两端，并置于光滑光滑水平水平桌面桌面上。弹簧弹性系数为上。弹簧弹性系数为k，当处于当处于自然状态时自然状态时长长为为a。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度。若在以后运动过程中弹簧的最大长度为反向的初速度。若在以后运动过程中弹簧的最大长度为b =2a，求两球的初速度大小，求两球的初速度大小v0。a.a.质点、弹簧、地球质点、弹簧、地球 系统机械能守恒系统机械能守恒. .00分析：质点受弹性力、重力、支持力作用分析：质点受弹性力、重力、支持力作用没做功没做功b.b. 对垂直于水平面过质心的轴角动量守恒对垂直于水平面过质心的轴

15、角动量守恒. .t两小球的质心不动，两小球的质心不动，弹性力、重力、支持力对过弹性力、重力、支持力对过质心的轴没有力矩质心的轴没有力矩. .19解：解：由机械能守恒：由机械能守恒：) 1 (a)-k(b212212212220mm00t由角动量守恒：由角动量守恒：对质心轴的角动量（方向竖直向上）：对质心轴的角动量（方向竖直向上）：o 220000amamamL 22bmbmbmL 初态：初态：2时：时：末态：末态：mkaabmabkbab32)(2)( 20 由方程（由方程（1 1）（）（2 2）得所求：）得所求：考虑考虑弹簧弹簧最大长度最大长度时图中时图中? 2设弹簧设弹簧最大长度最大长度时

16、质点速度为时质点速度为 ，206. 6. 设两个粒子间的相互作用力是设两个粒子间的相互作用力是排斥力排斥力，力的大小，力的大小与它们之间距离的关系为与它们之间距离的关系为 ( k为正常数为正常数). .设设相互作用相互作用力为零力为零处的处的势能为零势能为零，试求这两个粒子，试求这两个粒子相相距距 a 时的势能。时的势能。21Fkr势能零点aarFEdaprFaEd)(0,Fr解：解：按势能定义按势能定义据题意据题意所以，两粒子相距所以，两粒子相距a a时的势能为时的势能为arFdakaEP)(arrkd2ark213060FroxyFrM)(232360sinmNkkrF7. 如图质点如图质

17、点M=2kg ，r=3m，v=4m/s，F=2N，求对求对o点的力矩和角动量（有关矢量方向见图示）点的力矩和角动量（有关矢量方向见图示）.mrL解：解：150sinrm k)/(12214232smkgkk22 8. 8. 轻绳一端系着质量轻绳一端系着质量为为m的质点，另一端穿的质点，另一端穿过过光滑光滑水平水平桌面桌面上的小上的小孔孔O用力拉着，质点原用力拉着，质点原来来以等以等速率速率 作半径为作半径为r 的圆周运动，问当拉的圆周运动，问当拉动绳子向正下方移动到动绳子向正下方移动到半径为半径为r/ /2 2时，质点的时，质点的角速度角速度 多大？多大？mrr/2FvO水平面内质点受有心力作

18、用，水平面内质点受有心力作用，对垂直于桌面过对垂直于桌面过0 0的轴，质的轴，质点角动量守恒，点角动量守恒，解：初态解：初态质点角动量大小质点角动量大小020mrL rmrmr2r4末态末态质点角动量大小质点角动量大小42rmL 239. 一链条总长为一链条总长为l，质量为质量为m。放在桌面上并使其下垂长度。放在桌面上并使其下垂长度为为a，设链条与桌面的，设链条与桌面的滑动滑动摩擦系数为摩擦系数为 ，令链条，令链条从静止从静止开始运动，开始运动，则则:（1）到链条离开桌面的过程中，）到链条离开桌面的过程中，摩擦力摩擦力对对链条做了多少链条做了多少功功？（？（2）链条链条离开离开桌面时桌面时的的

19、速率速率是多少？是多少？xl-x xO解：解：(1)(1)建坐标系如图，链条全长处为原点建坐标系如图，链条全长处为原点. .gxllmgmf)( 桌l 因摩擦力仅在桌面上，则链因摩擦力仅在桌面上，则链条滑下条滑下x x时，摩擦力表示为：时，摩擦力表示为： a 初态初态 摩擦力的功：摩擦力的功： rdfAf la24 rdfAf2)(2allmg ladxxllmg)( laxl-x xOla 初态初态 (2)(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：2202212121mmmAAAfP PA代表重力的功代表重力的功pPEAlalmg2)(22222)()(alallg 得链条速率：得链条速

20、率：0pE2510. 水平光滑铁轨上有一小车水平光滑铁轨上有一小车,长度为长度为l，质量为质量为M,质量为质量为m的人从车的一端走到另一端，若人和小车原来都不动的人从车的一端走到另一端，若人和小车原来都不动,问问人和小车相对地面各移动多少距离？人和小车相对地面各移动多少距离？Xx0车地人地VMmvtdtl0人车v车地人车人地Vvv已知lMmMm?0dtxt人地v?0tdtX车地v动量守恒求相对运动mMMlxmMmlX答2611. 一力f 作用在质量m=3kg的质点上，质点沿X方向运动，运动方程为求：该力最初4秒内所作的功；t=1s时的功率。2383ttdtdxvtdtda68v)86(3tma

21、fdtttdx)383(240240)(J240)383)(86(3dttttdxfAW48)383)(86(312ttttfPv解：解：由运动方程由运动方程)SI(4332tttx分析：一维，功和功率表示为分析：一维，功和功率表示为dxfAfv fP代入功和功率表示式，得：代入功和功率表示式，得：2712. 12. 光滑光滑平面上有一运动物体平面上有一运动物体A，A的正前方有一个连有的正前方有一个连有弹簧和挡板的静止物体弹簧和挡板的静止物体B，弹簧和挡板的质量均不计，弹簧和挡板的质量均不计，A和和B质量相同为质量相同为m。A与挡板碰撞使弹簧压缩，最后停止与挡板碰撞使弹簧压缩，最后停止运动运动. .在此过程中，弹簧压缩量最大时满足的条件是？在此过程中，弹簧压缩量最大时满足的条件是？AkV0B解解: :系统机械能守恒，系统机械能守恒，水平方向动量守恒水平方向动量守恒. .设任意时刻，弹簧压缩量为设任意时刻，弹簧压缩量为x，则有，则有) 1 (2121212222BBAAmmkx0Am21)2(BBAAmm0Am 由式由式(1)