等腰三角形2新北师大

1、学习目标学习目标等边三角形的定义等边三角形的定义等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法v等边三角形的定义等边三角形的定义 等边三角形是特殊的等腰三等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫角形，也叫正三角形正三角形。 等腰三角形包括等边三角形，等腰三角形包括等边三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切等边三角形具有等腰三角形的一切性质。性质。 三条边都相等的三角形叫做三条边都相等的三角形叫做等边三等边三角形。角形。复习回顾等边三角形的性质等边三角形的性质v1 1. .等边三角形的三个内角都等边三角形的三个内角都相等相等, ,且等于且等于60 60 v2 2. .等边三角

2、形是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴有三条对称轴. .v3.3.等边三角形各边上中线等边三角形各边上中线, ,高和所对角的平分线都三线高和所对角的平分线都三线合一合一. .等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法:v1.三边相等的三角形是等边三三边相等的三角形是等边三角形角形.v2.2.三个内角都等于三个内角都等于60 60 的三角的三角形是等边三角形形是等边三角形.v3.有两个内角等于有两个内角等于60 60 的三角的三角形是等边三角形形是等边三角形.v4.4.有一个内角等于有一个内角等于60 60 的等腰的等腰三角形是等边三角形三角形是等边三角形. .例例1 1. .如图，

3、线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线形，并且使另一个顶点在直线a a上，上，这样的等腰三角形能画多少个这样的等腰三角形能画多少个? ?150a例例2 2. .如图在等边如图在等边ABCABC中中，AF=BD=CEAF=BD=CE，请说明请说明DEFDEF也是等边三角形的理也是等边三角形的理由由. .ABCDEF解析解析：证明等边三角形有三种：证明等边三角形有三种思路：思路：证明三边相等证明三边相等证明三角证明三角相等相等证明三角形是有一证明三角形是有一个角为个角为6060的等腰三角形。的

4、等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式具体问题中可利用不同的方式进行求解。进行求解。v解：ABC是等边三角形vAC=BC，A=CvCE=BDvBCBD=ACCEvCD=AEv在AEF和CDE中vAEFCDE（SAS）vEF=DEv同理可证EF=DFvEF=DE=DFvDEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF例例3 3. . 如图如图2-8-62-8-6，在，在ABCABC中，中，AB=AC=CBAB=AC=CB，AE=CDAE=CD，ADAD、BEBE相交于相交于P P，BQADBQAD于于Q.Q. 请说明请说明BP=2PQBP=2PQ的理由的理由. .证明证明 AB=CAAB=CA

5、，BAE=ACD=60BAE=ACD=60，AE=CDAE=CD，BAEBAEACDACDABE=CADABE=CADBPQ=ABE+BAPBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60=CAD+BAP=60又又BQADBQADPBQ=30PBQ=30BP=2PQBP=2PQ例例4 4、如图，在、如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB=90=900 0， CABCAB的平分线的平分线ADAD交交BCBC于于D D，ABAB边上的高线边上的高线CECE交交ABAB于于E E，交，交ADAD于于F F，求证：，求证：CD=CFCD=CFBACED123F分析分析：CD=CF1=21=B+B

6、AD2=3+DAC3=B1=90CAD=90BADACB ACB =90=90，CECE是是ACAC边上高边上高例例5：已知已知ABC为等边三角形，点为等边三角形，点M是射线是射线BC上任意一上任意一点，点点，点N是射线是射线CA上任意一点，且上任意一点，且BM=CN，直线，直线BN与与AM相交于相交于Q点。就下面给出的三种情况（如图中的点。就下面给出的三种情况（如图中的），先用量角器分别测量），先用量角器分别测量BQM的大小，将结的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测果填写在下面对应的横线上，然后猜测BQM在点在点M、N的变化中的取值情况，并利用图证明你的结论。的变化中的取值情况，并

7、利用图证明你的结论。测量结果：图中测量结果：图中BQM=_；图中；图中BQM=_；图中；图中BQM=_。*在一次数学活动中，老师让同学们进行如下操作：在一次数学活动中，老师让同学们进行如下操作： 第一步：对折矩形纸片第一步：对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折重合，得到折痕痕EF，把纸片展开（如左图）；，把纸片展开（如左图）；第二步：再一次折叠纸片，使点第二步：再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经上，并使折痕经过点过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段，同时得到线段BN（如右图）（如右图）.请解答以下问题：（1）如右图，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形

8、？请证明你的结论（1）BMP是等边三角形. 2分证明：连结ANEF垂直平分AB AN = BN由折叠知 AB = BN AN = AB = BN ABN为等边三角形 ABN =60 PBN =30 3分又ABM =NBM =30，BNM =A =90 BPN =60MBP =MBN +PBN =60BMP =60MBP =BMP =BPM =60BMP为等边三角形 5分p如图，如图，C C为线段为线段AEAE上一动点（不与点上一动点（不与点A A，E E重合），重合），在在AEAE同侧分别作正三角形同侧分别作正三角形ABCABC和正三角形和正三角形CDECDE、ADAD与与BEBE交于点交于点

9、O O，ADAD与与BCBC交于点交于点P P，BEBE与与CDCD交于交于点点Q Q，连结，连结PQ.PQ.以下五个结论：以下五个结论： AD=BEAD=BE；PQAEPQAE；AP=BQAP=BQ； DE=DPDE=DP；AOB=60AOB=60. .v恒成立的结论有恒成立的结论有_（把你认为（把你认为正确的序号都填上）。正确的序号都填上）。?Q?P?O?B?E?D?C?A 等边三角形的应用例例. . 已知在四边形已知在四边形ABCDABCD中，中，ABDABDADBADB1515，CBDCBD4545，CDBCDB3030。求。求证证ABCABC是等边三是等边三角形。角形。在正方形在正方