计算方法第一讲

1、Mail:iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni, 3 ,2第一章 引论 1.3 计算方法中应注意的几个问题 1.1 计算方法的研究对象与特点 1.2 误差及相关概念本章要点:绝对误差(限)和相对误差(限)有效数字位数及其与误差的关系数值计算中应该注意的问题 1.1 计算方法的研究对象与特点以计算机为工具, 解决各种实际问题,都要经历五个阶段:实际问题计算方法的研究对象是研究建立解决各种数学问题的数值计算算法的方法和理论。数学模型计算方法程序设计上机试验数学建模离散化数值化一、背景：研究数值方法的必要性例：求一元二次方程 01044

2、10992xx求根公式为 在字长为8位的计算机上计算，得到的结果为 0,10291xx正确结果应为4,10291xx第一章 引论1.计算方法的研究对象与特点2.误差及有关概念3.注意问题第三章 解线性方程组的解法1. Gauss消去法2.Gauss列主元消去法3. 矩阵分解法4.向量和矩阵范数5.迭代法第二章 方程求根1.二分法2.迭代法3.收敛速度及加速收敛5. 牛顿法6.割线法二、内容：第五章 数值积分和数值微分1.Newton-Cotes公式2.复合求积法3.Romberg积分法4.Gauss求积公式5.数值微分第六章 常微分方程的数值解法1.引言3.Runge-Kutta法2.Eule

3、r方法5.常微分方程组和高阶微分方程简介第四章 插值法和最小二乘法1.插值法2.插值多项式中的误差3.分段插值法4.Newton插值5.Hermite插值6.三次样条插值7.数据拟合的最小二乘法4.Adams方法数值算法数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数值算法有四个特点:1.目的明确算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程三、研究方法：1.构造数值算法：例1. 给出等差数列1,2,3,10000的求和算法解:0, 0. 1SN取SNSNN,1.

4、2，否则转若2,10000. 3NSN,. 4 输出2.算法的性能分析：收敛性稳定性空间复杂度时间复杂度3.误差估计：四、建议：弄清方法，重在原理计算复杂度实际可行性 1.2 误差及相关概念一、误差的种类及来源模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.! 3!

5、 2132xxxex! 7! 5! 3sin753xxxxx! 4! 3! 2)1ln(432xxxxx如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开截断误差舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差14159265. 3414213562. 12 166666666. 061! 311415927. 34142136. 12 16666667. 0! 31过失误差由于模型错误或方法错误引起的误差.这类误差一般可以避免数值计算中除了过失

6、误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是计算方法的研究对象.二、误差和误差限定义1. 称的一个近似值为为准确值设,*xxxxxxE*)(.,*Ex可简记为简称误差的绝对误差为近似值能够求出?知道的往往是未知甚至是无法因为准确值 x往往也无法求出因此xxxE*)(即绝对值的某个上界而只能知道,)(*xxxE)(|)(|*xxxxE的称为数值*)(xx绝对误差限或误差限,简记为显然*xxx的范围准确值 x或*xx0且工程常用表示方法给个范围215 x若对于5

7、1000 y15*x1000*y2)(*x5)(*y哪个更精确呢?吗？15*x定义2. 称的一个近似值为为准确值设,*xxxxxxxxExEr*)()(.,*rEx可简记为的相对误差为近似值rrrxxxxxE)()(*的相对误差限为近似值*xrelativeerror两种误差限关系?| xr绝对误差限相对误差限*)()(xxxxxExEr|*xr代替相对误差代替相对误差限15*x1000*y2)(*x5)(*y因此%33.13152)(*xr%5 . 010005)(*yr精确值往往未知例1.,28718. 2,82281718. 2*reee和相对误差限的绝对误差限求其近似值为已知解:eeE

8、*绝对误差82001000. 082001000. 0|E002000. 061026102|*er28718. 2102628718. 2102661071. 0是唯一的并不和*r是否唯一?例2.,7 ,5 ,3求绝对误差限位数的近似值经四舍五入取小数点后若解:65592141. 359141. 3*142. 3*7592141. 3*|*407000. 065002000. 004000000. 03105 . 05105 . 07105 . 0可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位有4位有效数字有6位有效数字三、有效数字定义3. .,*位有效数字有简称有效数字

9、位时具有近似则称用位一位非零数字共有的第而该位数字到单位超过某一位数字的半个其绝对误差的绝对值不的近似值作为若nxnxxnxxx65592141. 359141. 3*142. 3*7592141. 3*有8位有效数字1415. 3*绝对误差-0.00009265只有4位有效数字注注:四舍五入得到的近似数由最后一位四舍五入得到的近似数由最后一位数起到第一位非零数皆为有效数字数起到第一位非零数皆为有效数字.例2.写出下列各数具有五位有效数字的近似数：187.932 5 0.037 855 51 8.000 033 2.718 281 8187.93 0.037 856 8.000 0 2.718

10、 3例3.求下列四舍五入近似值的有效数字个数.218.0*1x18002.0*2x180.2*3x0.218*4x2*51018.2x6*51000218.0 x3个3个4个4个3个5个形式：的下列形式称为规格化的近似值*xxmnxxxx10. 021*则四舍五入得到的近似值位数的第是对如果,110. 021*nxxxxxmn位有效数字具有nxxxxmn10. 021*且|*xxEnm1021因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果:01x定理1. |*xxEnm1021的近似值满足作为若xxxxxmn10. 021*.*位有效数字具有则nx例4.个近似值有设395. 3x0 . 4*1x9

11、. 3*2x4*3x|*1xx |95. 30 . 4|05. 021105 . 0|*2xx |95. 39 . 3|05. 021105 . 0|*3xx |95. 34| 05. 021105 . 01根据定理都具有两个有效数字即*2*1,xx?*3字吗也至少具有两个有效数x实际上只有1个1*110*40. 0 x1*210*39. 0 x1*310*4 . 0 x定理2 的近似值的表达式为作为若xx*mnxxxx10. 021*满足则其相对误差位有效数字有若*,)1(rEnx位有效数字至少有则nx*nrxE11*1021|满足的相对误差若反之*,)2(rExnrxE11*10) 1(2

12、1|证明：位有效数字有nx*|*xxEnm1021mnxxxx10. 021*12110.mnxxx11*1110110mmxxxxxxEr*11101021mnmxnx111021所以，结论（1）得证。nrxE11*10) 1(21|若11*101mxx又|*xxExxxx*nm1021所以，至少有n位有效数字。例7.少取几位有效数字？，应至的相对误差不超过要使%1 . 020解:. 4201a的首位数是.*20位有效数字有的近似值设nx则有定理3,相对误差满足%1 . 0即应取3位有效数字,近似值的误差不超过0.1%.nrxE11*10) 1(21|097. 3n3例8.101dxexeI

13、xnn计算定积分7 , 2 , 1 , 0n解:nI101xndexe101xnexe101dxexenxn11nnI,0I如果先计算721,III然后再计算 1.3 数值计算中应注意的几个问题*1*1nnnII近似计算公式,*00II 的近似值为假设计算出)(*0IE误差为)(*1*11IEII的误差为的近似值则2)(*2*22IEII的误差为的近似值! 3)(*3*33IEII的误差为的近似值! 7)(*7*77IEII的误差为的近似值5040误差放大 5千倍!nIInn11但如果利用递推公式,7I先计算!570千分之一误差的的误差只有II因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1.

14、 四则运算中的稳定性问题(1) 防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算11nnnII公式nIInn11公式误差会放大误差不会放大4012. 04697. 04896. 04987. 01234. 01041234. 01044697. 0 ,4896. 0 ,4987. 01234. 0104吃了将小数大数而如果将小数放在前面计算1234. 0104012. 04697. 04896. 04987. 041236. 0104在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.(2) 作减法时应避免相近数相减

15、两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失01. 0cos1510999958. 4xcos12sin22x201. 0sin22510999958333. 4由于在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等例9.解方程010)110(992xx解:由中学知识可知,方程的精确解为9110 x12xaacbsqrtbx2)4(22,1而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式1109b10101 . 010100100000000. 0机器吃了因此在计算机上10101 . 0b101000000000. 010101 . 0910aacbsqrtbx2)4(21)4(2acbsqrt92101014)101 . 0(910 aacbsqrtbx2)4(229991021