1.2定积分的应用(1)ppt课件

1、回忆回忆 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab xyo)(xfy 0)(),( xfxfy设设 badxxfA)( 则面积则面积解法解法 插入分点插入分点iiixfA )( iix iinixfA )(1 iinixfA )(lim10 badxxf)(ab xyo)(xfy iiixfA )( xdxx dxxfAi)( dxxfdA)( nidAA10lim badxxf)( )()( )( )图图中中小小长长条条面面积积为为面面积积元元素素 ， 将将从从到到的的无无限限 累累加加 便便得得baf x dxdAf x dxabAf x dx 直观理解：直观理解：实实际际问问题题中中

2、的的微微元元法法x . 1 设定变量设定变量)( ,. 2xf确确定定函函数数根根据据实实际际问问题题, . 3bax的的变变化化范范围围确确定定4. , , xa bdx 任任取取赋赋予予增增量量ab xyo)(xfy xdxx 5. ( )写写出出问问题题中中的的元元素素 dAf x dx badAA . 6 得问题的结果得问题的结果应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；侧面积；平面曲平面图形的面积；体积；侧面积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等线的弧长；功；水压力；引力和平均值等 将将y y作为自变量给出面积公式作为自变量给出面积公式 ddycxx=(y)Ay()()dcd

3、Ay dyAy dy 定积分的应用定积分的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积,d)(dxxfS 面积微元面积微元:(1) 由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线直线 x=a, x=b (ab)及及x轴轴所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积)(xfy byoxaxxxd baxxfSd)(面积面积若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d| )(| baxxfS)(xfy | )(|xfy xyoab，若若)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfSd)()(xxxd ,d)()(dxxgxfS 面积

4、元素面积元素: (2) 由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成的所围成的平面图形的面积平面图形的面积:cxyoab)(xfy )(xgy baxxgxfSd| )()(|一般地，一般地， dcyySd| )(| ( (3 3) ) 由由曲曲线线0)( yx 、直直线线)(,dcdycy dcxyo)(yx 及及y y轴围成的平面图形的面积为轴围成的平面图形的面积为 .d)( dcyyS )(yx xyodc一般地，一般地，yyyd dcyyySd| )()(| ( (4 4) ) 由由曲曲线线)(yx 、)(yx 直直线线)(,dcdy

5、cy 及及y y轴围成的平面图形的面积为：轴围成的平面图形的面积为： ,)()(yy 若若.d)()( dcyyyS dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 一般地，一般地，例例 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 120()Ayydy 例例 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积

6、积. 解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y242ydSydy4218.SdS xy22 4 x

7、y 20d)2(2xxxS 82d)4(2xxx如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程参数方程22在在第第一一象象限限：byaxa 220044解解1 1：aabAydxaxd xa 244baaba 解解2: 椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos例例 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积. ayd

8、xA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设设由由曲曲线线)( r及及射射线线 、 围围成成一一曲曲边边扇扇形形，求求其其面面积积这这里里，)( 在在, 上上连连续续，且且0)( xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 极坐标系情形)( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232

9、a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 xoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积例例 一一平平面面经经过过半

10、半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积. RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积一一般

11、般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为2 ( )baVf xdx )(xfy 由图形 aABb 绕 x轴旋转一周baxdxxfV)(2ABaby)()(22xfyxA其平行截面

12、面积,)(dxxAdV y例例 连连接接坐坐标标原原点点O及及点点),(rhP的的直直线线、直直线线hx 及及x轴轴围围成成一一个个直直角角三三角角形形 将将它它绕绕x轴轴旋旋转转构构成成一一个个底底半半径径为为r、高高为为h的的圆圆锥锥体体，计计算算圆圆锥锥体体的的体体积积 r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr

13、 yrhPxo 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cd2 ( )ydy dcV ox yab)(xfy 套筒法套筒法: :由由平平面面图图形形)(0,0 xfybxa 绕绕y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为 bayxxxfVd)(2 体积微元体积微元:yVdx 2 )(xfxd求圆求圆)0( )(222 ababyx绕绕x轴旋转轴旋转而成的旋转体体积而成的旋转体体积. 例例 解解 aaxxabV

14、d)(222 axxab022d8 .222ba aaxxabd)(222 xy利用圆面积利用圆面积xyoa22xaby 22xaby a 2418ab 22221例例 求求椭椭圆圆分分别别绕绕 轴轴及及 轴轴形形成成的的旋旋转转体体体体积积。xyxyba axdxyV022解：20222234)(2baxdxaaba202byVx dybabdyybba02222)(2ba234022ayVxydx22022abxax dxa22222220022()aabbax dxax d axaa 243a bxoy1D2解解过过点点)0 , 1(P作作抛抛物物线线2 xy的的切切线线，该该切切线线与

15、与上上述述抛抛物物线线及及x轴轴围围成成一一平平面面图图形形，求求此此平平面面图图形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周所所成成旋旋转转体体的的体体积积。 设设切切点点为为)2,(00 xx， 切切线线斜斜率率为为 2210 x ,10200 xx,3 0 x 322d)2()13(131 xxVx .6232 3)1, 3(例例圆锥体积圆锥体积解解 (1)(1) 241d4axxV axxxV022d22 , )32(545a .4a 例例y2xa1D2Do22xy 例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.

16、解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.平面曲线弧

17、长的概念 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 取积分变量为取积分变量为x，在，在,ba上任取小区间上任取小区间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 直角坐标情形解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxn

18、xn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 参数方程情形解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设椭圆的周长为设