2019-2020年高中数学4.1函数与方程名师考点精讲北师大版必修1

1、2019-2020 年高中数学 4.1 函数与方程名师考点精讲北师大版必修 1读教材填要点1 利用函数性质判定方程解的存在(1) 函数零点：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x) = 0的解.(2) 函数零点的判定定理：若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相 _ 反，即f(a) f(b)v0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x) = 0 在区间(a,b)内至少有一个实数解.2利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间a,b上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a) f(

2、b)v0,通过其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号：“N自悟瞬成初步认知抓牢基础蛊猖良好开局不断地把方程的解所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解像这将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法. (2)用二分法求方程近似解的过程的含义：方程解满足要求的精确度1 函数的零点是一个点吗?提示：不是，是一个使f(x) = 0 的x的取值.2函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？ 提示：等价关系，函数有

3、几个零点？相应方程有几个根？相应函数的图像与x轴有几个交占八、3.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)v0, 那么在(a, b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a, b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b) 0，在区间(a,b)上就没有零点吗？提示：若函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a) f(b)v0 时在(a,b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a,b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a) f(b) 0 时也不一定没有零点.HtNCSOll K.ETANC TIDlANTOK考点一确定函数的零

4、点或其个数及所在区间研一题例 1 (1)函数f(x) = 4x- 16 的零点为 _ .4函数f(x) =x-的零点的个数是()xA.0B.1C.2D.3函数f(x) = ex+x 2 的零点所在的一个区间是()A.( 2, 1)B.( 1 , 0)C.(0, 1)D. (1 ,2)已知函数f(x) = 2x 3x2问方程f(x) = 0 在区间1,0内有没有实数解？为什么?自主解答(1)令4 16= 0,则 4x= 42，解得x= 2，所以函数的零点为x= 2.4(2) 令f(x) = 0,而x -= 0,.x= 2,故有两个.(3) 由f(0) = 1v0,f(1) = e 1 0,知函数

5、f(x)的零点在区间(0 , 1)内.小问题大思维1f(1)=23v0,f(0)=10,又函数f(x) = 2x 3x2的图像是连续曲线，f(x)在区间1, 0内有零点，即f(x) = 0 在区间1, 0内有实数解.答案(1)2(2)C(3)C悟一法(1) 求函数f(x)的零点的方法：令f(x) = 0，解方程f(x) = 0 即可.(2) 判断函数零点的个数：常用的方法有1解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.2用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性.3利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y=f(x) ,y=g(x)的图像，其交点的横坐标是函数y=f(x) g(x)

6、的零点.(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x) = 0 无法解出时，常用函数零点的判定定理：函数图像的连续性；区间端点函数值的符号相反.通一类1.函数f(x) =nx+ log2x的零点所在区间为()11 1A 0,8B- 8，4111C 4,2D纭,111n1n1解析：f(4)f(2=(N + log24)(+ ig 引nn=(72)( 71)V0.答案：C2.试判断方程x3= 2x在区间1 , 2内是否有实数解. 解：设函数f(x) =x3 2x,则f(1)=12=1V0,f(2) = 8 4= 4 0, f(1)f (2)V0.又函数f(x) =x3 2x的图

7、像是连续曲线，函数f(x) =x3 2x在区间1 , 2内至少有一个零点，即方程x3= 2x在区间1 , 2内至少有一个实数解.由函数零点(或方程解的存在情况求参 ” _ 数的取值范围研一题2例 2当a取何值时，方程ax 2x+ 1 = 0 的一个根在(0 , 1)上，另一个根在(1 , 2) 上？自主解答(1)当a= 0 时，方程即为2x+ 1 = 0，只有一根，不符合题意.2当a0 时，设f(x) =ax 2x+ 1,因为方程的根分别在区间(0, 1) , (1 , 2)上，f(0) 0,1 0,所以f(1 ) 0,4a 4+ 10,当av0 时，设方程的两根为X1,X2,1则X1X2=v

8、0,aX1,X2一正一负，不符合题意.综上，当 4vav1 时，方程ax2 2X+ 1 = 0 的一个根在(0 , 1)上，另一个根在(1 , 2)上.解：设f(x) =ax2 2x+ 1,a0,av0,i或0.解得：0vav1.悟一法解决该类问题，有两种常用途径：(1) 利用零点的判定定理构建不等式求解.(2) 画出符合题意的草图，转化为函数问题数形结合构建关于参数的方程或不等式, 从而求解.通一类3.已知函数f(x) =x2xm在区间(一 1, 1)上有零点，求实数m的取值范围.解：法一：当函数f(x) =x2xm121=(x 2) m- 4,1其对称轴x=g( 1, 1),rfa0,a或

9、*f(1)v0f由已知得:二 0,(1)0,若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于 1，则a的取值如何?故函数在区间(一 1, 1)上只有 1 个零点时， 0,十 0, = 0 或或f(1)f(1)v0f(1)=0.即 1 + 4m= 0 或4m0，或+4m0,m (m- 2) v0m= 0.1解得叱4 或 ov *2或叱 o. o,当函数f(x) =X2xm在区间(一 1, 1)上有 2 个零点时，丿f(- 1) 0,即f (1)0,-1 + 4m 0,彳 2m 0,、一m 0.1解得-mv0.41综上所述，实数m的取值范围为4, 2).法二：函数f(x) =X2xm在区间(一 1

10、, 1)上有零点?方程xx rn= 0 在区间(一 1, 1)上有解?方程xx=m在区间(一 1, 1)上有解?函数y=xx与函数y=m在区间(一 1, 1)上有交点，21函数y=xx在区间(一 1, 1)上的值域为4, 2),14WmV2,一 1实数m的取值范围为4, 2).考点三利用二分法求方程的近似解研一题例 3求方程 lgx= 3x的近似解(精确到 0.1).自主解答令f(x) = lgx+x 3,在同一坐标系中，作出y= lgx和y= 3 x的图像如图所示，观察图像可以发现lgx= 3 x有唯一解X。，x 2 , 3，且f(2)V0,f(3) 0,利用二分法可列下表:计算次数左端点右

11、端点12322.5332.52.7542.52.62552.562 52.625由于区间(2.562 5, 2.625)内的所有值若精确到0.1 都为 2.6，所以原方程的近似零点为 2.6.悟一法求方程近似解的步骤：构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n,n+ 1),n Z；利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M写出方程的近似解.通一类4.求函数f(x) =x3+ 2x2 3x 6 的一个正数零点(精确到 0.1).解：由于f(1) = 60,可取区间1 , 2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11221.5231.51

12、.7541.6251.7551.687 51.7561.718 751.7571.718 751.734 375由上表可知，区间1.718 75 , 1.734 375中的每一个数精确到0.1 都等于 1.7，所以1.7 就是函数的一个误差不超过 0.1 的正数零点.解题高手|多解題不一样的孤程.不一样的凤最.换个思推开扭魂野！求函数f(x) = 2x+ lg(x+ 1) 2 的零点个数.解法一：Tf(0) = 1 + 0 2= 1V0,f(2) = 4 + lg 3 2 = 2 + lg 3 0, f(x)在(0 , 2)上必定存在零点.又显然f(x) = 2x+ lg(x+ 1) 2 在(

13、一 1 ,+)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点.法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x) = 2 2x和g(x) = lg(x+ 1)的图像.由图像，知y= lg(x+ 1)和y= 2 2x有且只有一个交点.72函数y=x+ 2x 3 的零点和顶点的坐标为答案：D解析：当且仅当函数f(x)在区间a，b上连续且f(a) f(b) 0,a* 1)有两个零点，则实数a的取值范围是解析：函数f(x) = logaxx+a(a0,a* 1)有两个零点，就是函数y= logax(a0,a* 1)的图像和y=xa的图像有两个交点.画出两个函数图像的草图如图所示.由图像可知：当 0vav1 时，两函数图

14、像只有一个交点，不符合题意；当 函数图像一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a 1.答案：(1 ,+)6判断下列函数在给定的区间内是否存在零点.2(1)f(x) =x 8x+ 16,x 1 , 8;(2)f(x) = log2(x+ 2) x,x 1 , 3;2(3)f(x)=xr,x2,4.解：(1)f(1) = 9,f(8) = 16,f(1) f(8) 0，但是f(4) = 0 且 4 1 , 8，所以函数 在区间1 ,8内存在零点 4;35(2)由于f(1) = log2(1 + 2) 1 = log 0,f(3) = log2(3 + 2) 3 = logv0 ,因此28f(1)f

15、(3)v0,又函数f(x)在区间1 , 3上的图像是连续曲线，所以函数在区间1 , 3内存在零点;(3)因为函数的定义域为(一a,3)U(3 ,),所以函数y=f(x)的图像在区间2 , 4上不是一条连续曲线， 故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点.函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间2 , 4内不存在零占八、a 1 时，两(1) (2)一、选择题1 .下列函数有两个零点的是()A.y=x+ 1B.y=x2+ 2x+ 3活页作业知能同步测揑!x 2 012 ,x 0D. y =3x,x0解析：易知 A 只有一个零点；对于 B,方程x2+ 2x+ 3= 0 无解；对于 C,令 2l

16、og2x= 0,也无解；对于 D,y= 0 有两解x= 2 012 和x= 0.答案：DC. 0 , 1_33解析：由于f( 2) = ( 2) + 5= 3,f(1) = 1 + 5= 6,f( 2) f(1) = 18 0,则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1 , 2).答案：B4.若方程|ax| =x+a(a 0)有两个解，则a的取值范围是A. (1 ,+)B. (0, 1)C. (0，+m)D.解析：分三种情况,y= |ax|和y=x+a的图像如图:结合图像可知方程|ax| =x+a有两个解时，有5.用二分法求方程3x 2x 5 = 0 在区间2 ,3内的实根，取区间中点为xo=

17、2.5，那为2 , 2.5).可知，f(2)、f(3)分别等于一 1、16,又因为f(2.5) = 45 0,显然下一个有根的区间8解析：当x1时，y= 3x 2，令y= 0，得x= logs2 1 时，y= x 2,令y=0，得x= 2 不合题意， 综上，零点是 log32.答案：log32& 已知y=x(x 1) (x+ 1)的图像如图所示， 今考虑f(x) =x(x 1) (x+ 1) + 0.01 , 则方程式f(x) = 01有三个实根；2当xv1 时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；3当一 1vxv0 时，恰有一实根；4当 0vxv1 时，恰有一实根；5当x 1 时，恰

18、有一实根.正确的有_ .解析：函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当xv1 时，苇方程f(x) = 0 恰有一实根；当一 1vxv0 时，方程f(x) = 0 没有实根；当 0vxv1 时，恰有两个实根；当x 1 时，没有实根.答案：三、解答题9判断方程x3x 1= 0 在区间1 , 1.5内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精 确到 0.1).解：设函数f(x) =x3x 1,因为f(1) = 1v0,f(1.5) = 0.875 0，且函数f(x) =x3x 1 的图像是连续的曲线，所以方程x3x 1=0 在区间1 , 1.5内有实数解.取区间(1 , 1.5)的中点X1= 1.25

19、，用计算器可算得f(1.25)v0,因为f(1.25) f(1.5)v0,所以Xo (1.25 , 1.5).再取(1.25 , 1.5)的中点X2= 1.375，用计算器可算得答案：2 , 2.5)6.方程 2 宀+x2= 3 的实数解的个数为解析：分别作出函数f(x) = 3-x2与函数g(x) = 2-x的图像，如图所示 f(0) = 3, g(0) = 1,从图像上可以看出它们有 2个交占八答案：2/U)=3-7.已知函数f(x) =cx 1.则函数y=f(x) 2 的零点是 0,因为f(1.25) f(1.375)V0, 所以xo (1.25 , 1.375).同理，可得xo (1.

20、31 2 5 , 1.375),Xo (1.312 5 , 1.343 75).由于区间(1.312 5 , 1.343 75)内的所有数精确到 0.1 都是 1.3，所以 1.3 是方程x3x1 = 0 在区间1 , 1.5内的一个近似解.10.已知二次函数f(X)满足f(X+ 1) f(x) = 2x，且f(0) = 1.(1)求f(x)的解析式;若函数h(x) =f(x) ax,x 2 , 3时有唯一零点，且不是重根，求实数范围;当x 1, 1时，不等式f(x) 2x+m恒成立，求实数m的取值范围.2解：(1)设f(x) =ax+bx+c, (a 0)由f(0) = 1，得c= 1,2故

21、f(x) =ax+bx+1.因为f(x+ 1) f(x) = 2x,即 2ax+a+b= 2x,a= 1,b= 1.所以f(x) =x2x+1;h(x) =f(x) ax=x2 (a+ 1)x+1,则h(2) = 3 2a,h(3) = 7 3a.h(2) 0,h(3)2x+m,即x2 3x+ 1 n0 在区间1, 1上恒成立.3设g(x) =x2 3x+ 1 m其图像的对称轴为直线x= 2 所以g(x)在区间1, 1上是a的取值所以2a=2,所以a+b= 0.所以h(x) =3上有唯一零点，且不是重根，只需h(2)h(3)J，或即!32a 0,或=7 3a 0,37解得a0,即m 1 0,解

22、得m- 1. 即m的取值范围为(a, 1).2019-2020 年高中数学 4.1 圆的方程 1 教案 新人教 A 版必修 2教学目标：1认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法2掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径3能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程教学重点：圆的标准方程及其运用 教学难点：圆的标准方程的推导和运用教学过程：1 问题情境(1) 情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示 出该圆弧所在圆的方程呢？(2) 问题：在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示

23、方程的等式？回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出 来？2圆的标准方程(1) 一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即(1)；反过来，若点的坐标是方程(1)的解，则，即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上； 方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；(2) 当圆心在原点时，圆的方程则为；特别地， 圆心在原点且半径为1的圆通常称为单位圆； 其方程为. 3.例题讲解例 1分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径:(1) ； (2)；(4)；.教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径.例 2 .根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程.(1) 圆心为，半径长为.(2) 圆心是，且经过原点.(3) 已知两点，以线段为直径.(4) 圆心在上且过两点.(5) 以点为圆心，并且和轴相切的.(6) 圆心在直线上，且与直线切于点.圆心在直线上，且与两坐标轴都相切.略解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)