第十三章达朗贝尔原理

1、1 理论力学理论力学Northeastern UniversityPAG 2第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理动静法采用平衡方程的形式来求解动力学的问题。求解方法:求解依据:平衡理论 动力学问题用静力学方法求解。达朗贝尔原理:18世纪，为求解机器动力学问题而提出Northeastern UniversityPAG 34123惯性力 质点的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的轴承动约束力刚体惯性力系的简化第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理Northeastern UniversityPAG 4TFAna惯性力大小方向a与 方向相反FFaOATF13-113-1 惯性力

2、惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理一、惯性力一、惯性力amFamFFnTamFTTnFFma amFImaNortheastern UniversityPAG 5质点的达朗贝尔原理： 作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。13-113-1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理二、质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理amIFNFFam0amFFNamFI0INFFFFNFmNortheastern UniversityPAG 613-113-1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理例例13-1 圆锥摆绳长为圆锥摆绳长为l，与铅直线夹角

3、与铅直线夹角=60，质量为质量为m的小球的小球在水平面内作匀速圆周运在水平面内作匀速圆周运动，求动，求小球的速小球的速度，绳度，绳的张力。的张力。Northeastern UniversityPAG 7例例13-1 圆锥摆绳长为圆锥摆绳长为l，与铅直线夹角与铅直线夹角=60，质量为质量为m的小球的小球在水平面内作匀速圆周运在水平面内作匀速圆周运动，求动，求小球的速小球的速度，绳度，绳的张力。的张力。解解: : 以小球为研究对象，画受力图以小球为研究对象，画受力图gmF 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力nIF 取自然坐标系，列方程取自然坐标系，列方程bn13-113-1 惯性力惯性力质点的达

4、朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理, 0ibF, 0inF0cosmgF0sinnIFF;cosmgF mFlv2sinsin2lmvmaFnnInasin2lv2vanNortheastern UniversityPAG 8质点i 的惯性力由质点的达朗贝尔原理得质点系的达朗贝尔原理： 质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理iiIiamF 设质点系内任一质点i 的质量为 ，加速度 ，作用于此质点上的主动力为 ，约束力为imiaiFNiF), 2 , 1( 0niFFFIiNiiNortheastern Un

5、iversityPAG 9质点i 的惯性力由质点的达朗贝尔原理得空间任意力系的平衡条件： 力系的主矢和对任一点的主矩等于零。13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理iiIiamF 设质点系内任一质点i 的质量为 ,加速度 ,作用于此质点上的外力的合力为 ,内力的合力为imia)(eiF)(iiF), 2 , 1( 0)()(niFFFIiiiei0)()(IiiieiFFF0)()()()()(IiOiiOeiOFMFMFMNortheastern UniversityPAG 1013-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理将动力学问题转化为静力学问

6、题。质点系的内力是成对出现的，彼此反向。0)()()(0)()()()(IiOiiOeiOIiiieiFMFMFMFFF0)()(0)()(IiOeiOIieiFMFMFF质点系的达朗贝尔原理： 作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式组成平衡力系。Northeastern UniversityPAG 11例例13-2 图示滑轮半径为图示滑轮半径为r，质量质量m均匀分布在轮缘上，可绕水均匀分布在轮缘上，可绕水平轴转动；平轴转动； 绳两端所挂物体质量绳两端所挂物体质量m1 m2，绳和滑轮间无相对，绳和滑轮间无相对滑动，不计绳重和轴承摩擦，求重物的加速度。滑动，不计绳重和轴承摩擦，求重

7、物的加速度。13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理Northeastern UniversityPAG 12ABO例例13-2 图示滑轮半径为图示滑轮半径为r，质量质量m均匀分布在轮缘上，可绕水均匀分布在轮缘上，可绕水平轴转动；平轴转动； 绳两端所挂物体质量绳两端所挂物体质量m1 m2，绳和滑轮间无相对，绳和滑轮间无相对滑动，不计绳重和轴承摩擦，求重物的加速度。滑动，不计绳重和轴承摩擦，求重物的加速度。切向惯性力切向惯性力解解: : 以滑轮与两重物为研究对以滑轮与两重物为研究对 象，画受力图象，画受力图gmOyFOxFgm2gm1 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力设重物

8、设重物A加速度为加速度为a重物的惯性力重物的惯性力aa1IF2IFimtIiF滑轮边缘上质量为滑轮边缘上质量为mi的质点的质点13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理amFamFII2211ttIiiiFmaamiNortheastern UniversityPAG 13法向惯性力法向惯性力 取坐标系取坐标系, ,由达朗贝尔原理由达朗贝尔原理 列平衡方程列平衡方程13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理niinIiamF rvmi21122;tIIIiiFma Fm a Fma, 0)(FMO1122()0tIim gmam am g rF rgmmmmma

9、2121nIiFABOgmOyFOxFgm2gm1aa1IF2IFimtIiFmararmarmiiNortheastern UniversityPAG 14法向惯性力法向惯性力解解: : 以飞轮一半为研究对象，画受力图以飞轮一半为研究对象，画受力图 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力对于轮缘上对于轮缘上d对应的微段对应的微段例例13-3 飞轮质量为飞轮质量为m，半，半径为径为R，以，以匀角速度匀角速度转动。设轮缘转动。设轮缘较较薄，质薄，质量均匀分量均匀分布，轮布，轮辐质量不计。若不考虑重力的辐质量不计。若不考虑重力的影响，影响，求求轮缘横截面的张力。轮缘横截面的张力。yxOABBFAF

10、由于轮缘质量均布，由于轮缘质量均布，任意截面的张力都相同任意截面的张力都相同13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理dniaIiFBAFF nIiiiFma22RRdRmNortheastern UniversityPAG 15 取坐标系，由达朗贝尔原取坐标系，由达朗贝尔原 理列平衡方程理列平衡方程13-213-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理2;2ABIiRmFFFd, 0yF02sin0AIiFFdRmFA02sin221dRm02sin422mRBFyxOABBFAFdniaIiFNortheastern UniversityPAG 16PAG 16惯性力形

11、成一个力系，向任一点O简化而得到惯性力系的主矢 和主矩 。IRFIOMIRIiFF 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。()IOOIiMMF 与简化中心无关与简化中心有关13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化Cma ( )()eOiMF OdLdt ( ) eiFIRFIOM惯性力形成一个力系，向任一点O简化而得到惯性力系的主矢 和主矩 。IRFIOMNortheastern UniversityPAG 17 平移刚体对任一点动量矩对质心动量矩13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化一、刚体作平移一、刚体作平

12、移=OCCLrmv=0CL平行力系向质心简化00ICCMr 刚体平移时的惯性力系可简化为过质心的合力，其大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。Northeastern UniversityPAG 18xyzxiyiziimirOnIiFxynIiFtIiFrxyiO惯性力对x轴之矩13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化二、刚体定轴转动二、刚体定轴转动iiIiamFntIiIiFF2;ntIii iIii iFmrFmr)(IixIxFMM()()tnxIixIiMFMF cosi iiimrz iiiiiiyrxrsin;cosiiiiiixIzymzxmM2

13、tIiF, 2sini iiim rzNortheastern UniversityPAG 19对z轴的惯性积主矩13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化iiiyziiixzzymJzxmJ引入引入2 I xxzyzMJJ2iiiiiizxmzym2 yzxzJJ()()tnIzzIizIiMMFMF zJkMjMiMMIzIyIxIO()()tnIyyIiyIiMMFMF xynIiFtIiFxyiO2 I xiiiiiiMm x zm y z sini iiimrz 2cosi iiim rzi iimrr Northeastern UniversityPAG 20CCaIC

14、M2、刚体绕过质心的轴定轴转动（刚体有质量对称面）1、刚体绕垂直于质量对称面的轴作定轴转动 （x，y轴在质量对称面内）JC ：刚体对过质心且垂直于质 量对称面的轴的转动惯量xyzO13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化;CIRamFzIzIOJMM0; 0iiiyziiixzzymzxmJJ0Ca; 0IRFCICJM2 IxxzyzMJJIzzMJ 2 IyyzxzMJJNortheastern UniversityPAG 21,OCCaCO3、转轴不过质心匀速转动（刚体有质量对称面）IRF13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化; 00IOMCIRamFIRF

15、IOM4、转轴不过质心变速转动（刚体有质量对称面）;OIOJMCIRamFNortheastern UniversityPAG 22 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解IRCFma ICCMJ IRCFma ICCMJ 绕通过质心轴的转动：随质点C的平移：作用于质心作用于质心13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动CaCICMIRFNortheastern UniversityPAG 23,C例例13-3 图示均质杆的质量为图示均质杆的质量为m，长为，长为2

16、l，绕定轴，绕定轴O转动的角速转动的角速度为度为，角加速度为，角加速度为。求惯性力系向点。求惯性力系向点O简化的结果（方向简化的结果（方向在图上画出）在图上画出） 。tCanCatIOFnIOF13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化IOM2lanCtCalnCnIOamF2mlttIOCFm amlOIOJM243ml解解: : 以杆为研究对象以杆为研究对象 分析运动，并将惯性力系向分析运动，并将惯性力系向 点点O简化简化Northeastern UniversityPAG 24OeChA例例13-4 图示电动机的定子安装在水平基础上图示电动机的定子安装在水平基础上，转轴转轴O

17、与水平与水平面相距面相距h，转子以匀角速度，转子以匀角速度转动。已知定子质量为转动。已知定子质量为m1, ,转子质转子质量为量为m2，转子质心为转子质心为C，偏心距偏心距OC=e，运动开始时质心运动开始时质心C在最在最低位置。求基础对电动机的约束力。低位置。求基础对电动机的约束力。解解: : 以电机整体为研究对象，以电机整体为研究对象， 受力分析受力分析IFgm2gm1 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力转子绕转子绕O轴匀速转动轴匀速转动 由达朗贝尔原理列平衡方程由达朗贝尔原理列平衡方程13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化tnCIamF222em AxFAyFAMNorth

18、eastern UniversityPAG 2513-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化OeChAIFgm2gm1AxFAyFAM, 0 xF0sinIAxFF, 0yF0cos)(21IAyFgmmF, 0)(FMA0sinsin2hFgemMIAtemFAxsin221222() cosAyFmm gm etthemtgemMAsin sin22222;emFtIxyNortheastern UniversityPAG 26ABl1l2l3例例13-6 如如图所示，电动绞车的安装梁两端搁在支座上图所示，电动绞车的安装梁两端搁在支座上，绞车绞车半径为半径为R，绞车与梁合重为，绞

19、车与梁合重为P，绞盘与电机转子固结在一起绞盘与电机转子固结在一起，质心位于质心位于O, ,对过质心轴的对过质心轴的转动惯量为转动惯量为J。若。若绞车以加速度绞车以加速度a 提提升质量为升质量为m的重物，求此时支座的重物，求此时支座A、B的约束力。的约束力。解解: : 以梁和绞车整体为研以梁和绞车整体为研 究对象，画受力图究对象，画受力图 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力绞盘定轴转动绞盘定轴转动gmyxIM重物平移重物平移 取坐标系，由达朗贝尔原理列平衡方程取坐标系，由达朗贝尔原理列平衡方程13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化maFIJMIRaJaIFAFBFPONorth

20、eastern UniversityPAG 2713-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化ABl1l2l3gmyxIMaIFAFBFP, 0yF0IBAFPmgFF, 0)(FMB0)( )(3221PllmgFllFMIAI)(123211RJmlaPlmglllFA)()(11321121RJmlalllPmglllFBRaJMmaFII;Northeastern UniversityPAG 28PAG 28例例13-7 如图所示，均质圆盘质量为如图所示，均质圆盘质量为 ，半径为半径为r ，沿水平面沿水平面纯滚动；细长杆纯滚动；细长杆l=2r，质量为质量为 ，A端与轮心光滑铰接

21、。水平端与轮心光滑铰接。水平拉力拉力F力多大能使杆力多大能使杆B端刚刚离地？为保证纯滚动端刚刚离地？为保证纯滚动，圆盘与地圆盘与地面的静滑动摩擦系数应为多大？面的静滑动摩擦系数应为多大？解解: : 以杆为研究对象，受力分析以杆为研究对象，受力分析 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力BAFaCB端刚离地时杆为端刚离地时杆为平移平移AxFAyFgmICF 由达朗贝尔原理列平衡方程由达朗贝尔原理列平衡方程 设杆加速度为设杆加速度为a13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化ICBFm a30, 0)(FMAsin30cos300Bm armgrga3BmAmNortheastern U

22、niversityPAG 29PAG 29 以整体为研究对象，受力分析以整体为研究对象，受力分析 分析运动，加惯性力分析运动，加惯性力IAM13-313-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化BACAxFAyFgmICF30FAm gNFSFIAFamFAIAAIAJMrarmA22 由达朗贝尔原理列平衡方程由达朗贝尔原理列平衡方程 , 0yFgmmFBAN)(2ramA0,DM00sin30cos300IAIAICBFrF rMF rm gr3() 32ABmFmg, 0 xF0ICIASFFFF23gmFASDNortheastern UniversityPAG 30PAG 3013-3

23、13-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化23gmFASgmmfBAs)(NsFfgmmfgmBAsA)(23gmmgmfBAAs)(23Northeastern UniversityPAG 31xyzBAO, 把刚体上的所有惯性力向转轴上一点O简化IOMRFOMAxFAyFBxFByFBZFIRF13-413-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力IOIMF, 把作用于刚体上的所有主动力向转轴上一点O简化ORMF,0, 0IxRxBxAxxFFFFF0, 0IyRyByAyyFFFFF0, 0RzBzzFFF0, 0)(IxxAyByxMMOAFOBFFM0, 0)

24、(IyyBxAxyMMOBFOAFFMNortheastern UniversityPAG 32附加动约束力静约束力附加动约束力为零的条件13-413-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力xyzBAO,IOMRFOMAxFAyFBxFByFBZFIFRxBzIyIxRyxByIxIyRxyBxIyIxRyxAyIxIyRxyAxFFOAFMOAFMABFOAFMOAFMABFOBFMOBFMABFOBFMOBFMABF)()(1)()(1)()(1)()(10; 0IyIxIyIxMMFFNortheastern UniversityPAG 33中心惯性主轴：过质心的惯

25、性主轴避免出现轴承附加动约束力的条件:刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。13-413-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力xyzBAO,IOMRFOMAxFAyFBxFByFBZFIF附加动约束力为零的条件0; 0IyIxIyIxMMFF0; 00; 022xzyzIyCyIyyzxzIxCxIxJJMmaFJJMmaF0Ca0;yzxzJJ满足 的转轴为惯性主轴0yzxzJJNortheastern UniversityPAG 34静平衡：刚体转轴过质心，且除重力外不受其它主动力的作用，则刚体可以在任意位置静止不动动平衡：刚体转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体在 转动过程时轴承不产生附加动约束力能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡；能够动平衡的定轴转动刚体一定能够实现静平衡。13-413-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力Northeastern