氢原子薛定谔方程的解

1、第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解0)()41(2)(2022rreEmr定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为：11.9 氢原子的氢原子的薛定谔方程薛定谔方程的解的解1、 氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程rerV2041)( 氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子绕核作圆周运动。若其半径为子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为则其势能函数为由于势能只与由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了有关，是球对称的，而与方向无关，为了计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：计

2、算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解在球坐标系下：在球坐标系下：,cossin rx,sinsin ry,cosrz zryx22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr在球坐标系下的薛定谔方程：在球坐标系下的薛定谔方程：此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设求解，即设 代入上式得：代入上式得：)()()(rR第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程

3、的解氢原子薛定谔方程的解)3(0) 1(242)(1)2(0sin) 1()(sinsin1) 1 (0220222222222RrllmreEmdrdRrdrdrmllddddmddll方程（方程（1）的解为）的解为2, 1, 0)(limmAel方程（方程（2）的解为）的解为)(coscos)cos1 ()(2/2lmmmPddlll由标准化条件决定：由标准化条件决定：l=0,1,2, , 同时限定给定一同时限定给定一 lml只能取下列只能取下列2l+1lml2, 1, 0第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解是连带的勒让德函数是连带的勒让德函数)(co

4、slP角度部角度部分的解：分的解：imlmmmlmePddNYlll)(coscos)cos1 (),(2/2方程（方程（3）的解为）的解为)2()2(01200narLnareNRllnlnarnlnl其中：其中：Nnl为归一化常数，为归一化常数， 为一常数，为一常数，220mea12 llnL为缔合勒盖尔多项式。为缔合勒盖尔多项式。同时规定了同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定的取值范围，即对于某一确定n ,l可能取可能取n个值：个值：l=0,1,2,n-1氢原子的波函数：氢原子的波函数：),()(),(lmnlnlmYrRr第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原

5、子薛定谔方程的解讨论讨论n、l、ml 参数的物理意义参数的物理意义为主量子数或称能量量子数。为主量子数或称能量量子数。n（1）能量量子化）能量量子化在求解方程（在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，）时，电子处于束缚态时，E只能取只能取一些分立的负值，即：一些分立的负值，即：, 2 , 1132222024nnmeEn能级公式能级公式n=1的能级称为基态能级的能级称为基态能级eVmeE6 .1332220241n1的能级称为激发态能级的能级称为激发态能级,取值如下：取值如下：第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解0544. 05/85. 04/51. 13/

6、4 . 32/6 .132152142132121EeVEEeVEEeVEEeVEEeVE如图所示，如图所示，n增大时增大时， 能级间隔减小；能级间隔减小；n很大时间隔非常小，很大时间隔非常小，可看成连续变化。可看成连续变化。126 534氢原子能级图氢原子能级图-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子数主量子数 n第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解（2）角动量量子化）角动量量子化方程（方程（2）得到的波函数）得到的波函数 ( )表明：电子绕核转动的角动表明：电子绕核转动的角动量是量子化的，其大小为：量是量子化的，其大小为：1

7、, 2 , 1 , 0) 1(nlllL其中：其中：l 称为称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。的空间对称性。 说明：说明：1、L只能取由只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的、不同的 n 值，只要值，只要 l=0，则则L=0 3、对于同一对于同一n值，值，l 不同时，不同时，L有不同的值。所以有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能才能 确切地表征。确切地表征。 一般一般s、p、d、f、g等字母表示等字母表示 l=0,1,2, ，显然，

8、对于显然，对于s 态的电子来说，其动量矩态的电子来说，其动量矩L=0.第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解（3）角动量的空间取向量子化）角动量的空间取向量子化方程（方程（1）得到的波函数）得到的波函数 ( )表明：电子绕核转动的角动表明：电子绕核转动的角动量量空间取向空间取向是量子化的，是量子化的，设：外磁场方向为设：外磁场方向为Z轴方向，轴方向，Lz表示表示L在外场方向投影大小，则在外场方向投影大小，则lmmLllz, 2, 1, 0这里的这里的 ml即为前面讲的即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个称为磁量子数。对应一个 l，ml有有2l+1个值，即角

9、动量的空间取向有个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。种可能。索末菲在索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解如图，即为如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的电子的角动量空间取向量子化的情形情形ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3第十一章第

10、十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解（4）电子自旋）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。KBNSPK原子射线；原子射线；B狭缝；狭缝；NS磁场；磁场；P照相板照相板结果：无外场时，结果：无外场时，P上沉积一上沉积一 条正对条正对B的痕迹；有外的痕迹；有外 场时，出现几条不连场时，出现几条不连 续的线状痕迹。续的线状痕

11、迹。此实验最初用此实验最初用s态银原子进行，态银原子进行，原子射线分裂为二条，且二原子射线分裂为二条，且二者偏转上下对称。者偏转上下对称。 因因 s态原子态原子l=0本身无动量矩和磁矩。本身无动量矩和磁矩。第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。量子力学的计算：自旋动量矩量子力学的计算：自旋动量矩S为为为自旋量子数sssS23) 121(21) 1(自旋动量矩也是量子化的，它在外

12、场方向投影自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz只能有如下两种取值：只能有如下两种取值：为自旋磁量子数sssmmmS21第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解确定氢原子的状态的四个量子数确定氢原子的状态的四个量子数slmmln、主量子数主量子数 决定电子的能量。决定电子的能量。, 3 , 2 , 1n2220421)4(2nheEn) 1( llL角量子数角量子数 决定电子轨道角动量决定电子轨道角动量, 1, 2 , 1 , 0nl磁量子数磁量子数 决定轨道角动量决定轨道角动量的空间取向，的空间取向，, 2, 1, 0lml; lZmL 自旋磁量子数自

13、旋磁量子数 决定自旋角动量的空决定自旋角动量的空间取向，间取向， 。sZmS 21sm为正时，称为自旋向上。为正时，称为自旋向上。为负时，称为自旋向下。为负时，称为自旋向下。第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解1. 能量量子化能量量子化 能量能量n = 1 ，2 ，3 ， （主量子数）（主量子数） 电子云电子云mr101105290 .124rr 139rr 2122042)8(1nEhmenEn电子在这些地方出现电子在这些地方出现的概率最大的概率最大电子云密度电子云密度 概率密度概率密度| | |2玻尔氢原子理论中，电子的轨道位置玻尔氢原子理论中，电子的轨道位置 u 重要结论重要结论eVE6 .131rr d42第十一章第十一章 量子物理量子物理氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解2. 角动量量子化角动量量子化 l = 0 ，1 ，2 ， , n-1 角量子数角量子数(副量子数副量子数) ) 1( llL3. 角动量空间量子化角动量空间量子化 电子绕核转动的角动量电子绕核转动的角动量 L 的大小的大小角动量角动量 L 的在外磁场方向的在外磁场方向Z 的投影的投影lzmL ml = 0 , 1 , 2 , , l （磁量子数）（磁量子数） r 讨论讨论: l = 0,