平面向量基本定理及坐标表示

1、2.3 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.2 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示问题提出问题提出t57301p2 1. 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算向量加法与减法有哪几种几何运算法则？法则？ 2. 2.怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算a？ （1 1）|a a|=|=|a a| |；（2 2）0 0时，时，a与与a方向相同；方向相同；0 0时，时，a与与a方向相反；方向相反；=0=0时，时，a=0.=0.3.3.平面向量共线定理是什么？平面向量共线定

2、理是什么？ 4.4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为力为G G，下滑力为，下滑力为F F1 1，木块对斜面的压，木块对斜面的压力为力为F F2 2，这三个力的方向分别如何？，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？G GF F1 1F F2 2非零向量非零向量a与向量与向量b共线共线 存在唯存在唯一实数一实数，使，使ba. . 5.5.在物理中，力是一个向量，力的合成在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算就是向量的加法运算. .力也可以分解，力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解任何一个大小不为零的力，都可以分解成两

3、个不同方向的分力之和成两个不同方向的分力之和. .将这种力将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论新的数学理论. .探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2思考思考2 2：如图，设如图，设OAOA，OBOB，OCOC为三条共为三条共点射线

4、，点射线，P P为为OCOC上一点，能否在上一点，能否在OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点M M、N N，使四边形，使四边形OMPNOMPN为平为平行四边形？行四边形？M MN NO OA AB BC CP P思考思考7 7：根据上述分析，平面内任一向根据上述分析，平面内任一向量量a都可以由这个平面内两个不共线的都可以由这个平面内两个不共线的向量向量e1 1，e2 2表示出来，从而可形成一个表示出来，从而可形成一个定理定理. .你能完整地描述这个定理的内容你能完整地描述这个定理的内容吗？吗？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面

5、内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.思考思考8 8：上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理，不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所有向量的一组有向量的一组基底基底. . 那么同一平面内可那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量应向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且

6、只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.探究探究( (二二):):平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 00，180180 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作 a， b，如图如图. .为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角. .你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？的夹角的取值范围应如何约定为宜？OAOB baabA AB BO O思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是909

7、0，则，则称称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab. . 互相垂直互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？一组基底？ba思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如图，向如图，向量量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向量为基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P2 32aij思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取

8、与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，作为基底，对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数理知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上轴上的坐标，的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示. .那么那么x x、y y的的几

9、何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A是坐是坐标是什么？标是什么？OA OA A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，已知向量如图，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向量量2.52.5e1 13 3e2 2. .e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2例例2 2 如图，写出向量如图，写出向量a，b，c，d的坐标的坐标. .2452abcd4 252xyOa=(2

10、,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)小结作业小结作业 1. 1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点一个承前起后的重要知识点. .2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是0 0或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是9090.

11、. 3. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意标的对应关系，它使得向量具有代数意义义. .将向量的起点平移到坐标原点，则平将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标移后向量的终点坐标就是向量的坐标. .2.3.3 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题提出问题提出1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对

12、于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？用坐标表示向量的基本原理是什么？设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向轴同向的两个单位向量，若量，若axiyj，则，则a( (x x，y y).).3.3.用坐标表示向量，使得向量具有代数用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径的途径. .我们需要研究的问题是，我们需要研究的问题是，向量向量的和、差、数乘运算

13、，如何转化为坐标的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等映等. .探究（一）：探究（一）：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 思考思考1 1：设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个轴同向的两个单位向量，若单位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，思考思考2 2：根据向量的坐标表示，向量根据向量的坐标表示，向量 ab，ab，a的坐标分别如何？的坐标分别如何？ab(x1x2，y1y2); ab(

14、x1x2，y1y2); a(x1，y1).思考思考3 3：如何用数学语言描述上述向量如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标. .ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).o ox xy yB BA AAB AB 思考思考4 4：如图如图, ,已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2

15、 2) )，那么向量那么向量 的坐标如何？一般地，一个的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？任意向量的坐标如何计算？ (x2x1，y2y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标的有向线段的终点坐标减去始点坐标. .思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，则，则| |a| |如何计如何计算？若点算？若点A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则，则 如何计算？如何计算？ AB 222121AB(xx )(yy ) A Aax xy yO O22xya 探究（二）：探究（

16、二）：平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共线（其中共线（其中b0），），那么那么a，b满足什么关系？满足什么关系？思考思考2 2：设设a=(x1，y1), ,b=(x2，y2)，若向若向量量a，b共线（其中共线（其中b0），则这两个向量），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ ab.向量向量a，b（b0）共线共线 1221x yx yax xy yO ObA AB BC CD DA BC Dkk=思考思考3 3：如何用解析几何观点得出上述结如何用解析几何观点得出上述结论？论？向量向量a，b（b0）共线共线 1221x yx y理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1), b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐标的坐标. . ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 例例2 2 如图，已知如图，已知 ABCDABCD的三个顶点的的三个顶点的坐标分别是坐标分别是A A（-2-2，1 1）、）、