第七章弯曲变形

1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 1 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 2思考：梁在载荷作用下，要有足够的强度，因此必须满足思考：梁在载荷作用下，要有足够的强度，因此必须满足强度条件。但是，是否梁满足了强度条件之后，它就能够强度条件。但是，是否梁满足了强度条件之后，它就能够正常地工作呢？正常地工作呢？起重机正常运行时，车轮轮缘与运起重机正常运行时，车轮轮缘与运行轨道之间需保持一定的间隙，但行轨道之间需保持一定的间隙，但梁变形情况下，车轮不在其踏面中梁变形情况下，车轮不在其踏面中间运行，当起重机运行中轮缘与轨间运行，当起重机运行中轮缘与轨道侧面相挤时，则出现啃轨现象，道侧面相挤时，则

2、出现啃轨现象，影响起重机安全运行。影响起重机安全运行。梁变形引起的事故与安全问题梁变形引起的事故与安全问题第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 3 挠曲轴是挠曲轴是一一条连续、光滑曲线条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线挠曲轴挠曲轴 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴，弯曲变形的特点弯曲变形的特点如何计算和描述梁的变形？如何计算和描述梁的变形？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 4ABlx)(xw)(x)(x 对称弯曲条件下对称弯曲条件下, ,如果忽略梁横截面的面内变形和截面形

3、心如果忽略梁横截面的面内变形和截面形心的轴向位移，那么梁横截面上任一点的位移可以通过如下的轴向位移，那么梁横截面上任一点的位移可以通过如下两个变量描述两个变量描述: :1、各截面形心的线位移各截面形心的线位移 挠度挠度 w2、截面绕中性轴的角位移、截面绕中性轴的角位移 转角转角 及转角方程及转角方程 ( ( x) )lxF挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化的方程挠曲轴方程挠曲轴方程 w= w(x) 梁变形的描述方法：梁变形的描述方法：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 5挠曲轴方程挠曲轴方程 w= w(x)ABlx)(xw)(x)(x 这样，梁的变形描述可由单一方程完成：这样，梁的变形描述

4、可由单一方程完成： 梁的转角梁的转角不再是独立量不再是独立量, 一般很小一般很小 = dw/dx ， 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计， 因因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 6QQ 中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式QQ 由高等数学知识由高等数学知识 ( () )232)(1)()(1xwxwx QQ 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 ( () )( ( ) )EIxMxwxw 232)(1)( 二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程EIxM

5、x)()(1 EIM 1（纯弯纯弯）（推广到非纯弯推广到非纯弯）方程推导方程推导第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 7QQ简化的挠曲轴方程简化的挠曲轴方程正负号确定正负号确定: :0w 弯矩弯矩: 坐标系：坐标系：w 向上为正向上为正( () )( ( ) )EIxMxwxw 232)(1)(小变形时小变形时：12 w22d wM(x)=dxEI 曲线下凹曲线下凹挠曲线下凹挠曲线下凹, ,弯矩弯矩M M为正为正方程取正号方程取正号 22d wM(x)=dxEI正弯矩正弯矩负弯矩负弯矩xwoxwo第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 8pmax 小变形小变形QQ应用条件：应用条件：22d

6、wM (x)=dxEIQQ挠曲轴的近似微分方程挠曲轴的近似微分方程正弯矩正弯矩xwo 挠度挠度坐标轴坐标轴 w 向上，弯矩下凹为正向上，弯矩下凹为正土木建筑部门，采用土木建筑部门，采用坐标轴坐标轴 w 向下坐标系向下坐标系22d wM (x)=dxEI 小结小结第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 9( ( ) )DCxdxEIxMw F C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。( ( ) )EIxMw ( ( ) )CdxEIxMdxdw 一、梁的挠曲轴方程一、梁的挠曲轴方程第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page10( ( ) )DCxdx

7、EIxMw 位移边界条件位移边界条件w = 0w = 0w = 0 = 0二、位移边界条件与连续条件二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件位移连续与光滑条件ACDMFB$挠曲轴在挠曲轴在B、C点连续且光滑点连续且光滑连续：连续：wB左左= wB右右光滑：光滑： B B左左 = B B右右 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page110,0AAw 自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件00CCCCww 左左右右左左右右BBww 左左右右固定端：固定端： 连续条件：连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件

8、和连续条件边界条件：边界条件：例：例：中间支撑中间支撑C C：,EEEEww 左左右右左左右右E E点：点：中间铰中间铰B B：ABCDFE 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page12ABCDFE 思考：思考： 该梁可分几段积分（判断依据是什么）？该梁可分几段积分（判断依据是什么）？(2). 分分3段。段。ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。段不受力，保持直线，仅作刚性转动。 (1). 分分4段。段。( ( ) )DCxdxEIxMw 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page13已知已知EI EI , , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程( ( ) )0MwxEI ABx0M( ( )

9、 )0Mw xx CEI ( ( ) )202Mw xxCxDEI 解解:2、挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程( ( ) )0MxM 1、弯矩方程弯矩方程: :例：例：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page14ABx0M3、积分常数的确定积分常数的确定( ( ) )( ( ) )0202MwxxCEIMw xxCxDEI w(0) = 0D = 0w(0) = 0C = 0( ( ) )( ( ) )200,2MMw xxxxEIEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page1501MxwEI l 已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程 021MxwEIl 30116Mx

10、wC xDEI l 3202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0解解: 计算约束反力，建立坐标系。计算约束反力，建立坐标系。AB段段BC段段xlMxM0)( 00)(MxlMxM 例例:x(分几段积分？）分几段积分？）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page16边界和连续条件边界和连续条件: : 1222llww 1222llww ( ( ) )( () )2201424M xwxxllEI( ( ) )( () )0224MxlwxEIl ( ( ) )100w ( ( ) )20wl 四个方程定四个方程定4 4个常数个常数30116MxwC xDEI l

11、 3202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0 x第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page17a2qaADaaqBC绘制挠曲轴的大致形状：绘制挠曲轴的大致形状：43qa4qaF弯矩图过零点处为挠曲轴拐点弯矩图过零点处为挠曲轴拐点 弯矩正负突变处也经常是拐点弯矩正负突变处也经常是拐点F支座性质定该处线和角位移支座性质定该处线和角位移1. 1. 绘制弯矩图。绘制弯矩图。2. 2. 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F弯矩图符号定挠曲轴凹凸性弯矩图符号定挠曲轴凹凸性 凹凹凸凸凹凹直线直线挠曲轴大挠曲轴大致形状致形状43qa+_4qaFs42qa+322qaM

12、曲线，直线？曲线，直线？ 上凸，下凹？上凸，下凹？关键点的关键点的 ，w 以及拐以及拐点点F若弯矩图中有一段若弯矩图中有一段M=0， 则此段挠曲线为直线则此段挠曲线为直线第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page18作业作业7-1b7-3c, d7-67-7第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page19 载荷载荷叠加法叠加法 逐段变形效应叠加法逐段变形效应叠加法 两类叠加法比较两类叠加法比较 例题例题第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page20一、一、 载荷叠加法载荷叠加法( (原理）原理）梁在同时承受多个载荷时的挠度和转角，等于该梁在各个梁在同时承受多个载荷时的挠度和转角，等于该梁在各个载荷单独作用下

13、的挠度和转角的代数和载荷单独作用下的挠度和转角的代数和成立条件成立条件：材料线弹性和小变形：材料线弹性和小变形M(x) Mi(x), 为载荷为载荷(F, q, Me)的线性齐次函数的线性齐次函数( ( ) ),M xwEI EIw= Mi(x) dx= Mi(x)dx= wi 积分后，积分后，w仍然是载荷仍然是载荷( (F, q, Me) )的线性齐次函数的线性齐次函数依据：依据：( (前提：材料线弹性前提：材料线弹性) )前提：前提：( (梁的变形很小梁的变形很小, ,不影响其它载荷的作用效果不影响其它载荷的作用效果) )第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page21例例：EI EI = =常数

14、，常数， 求求Aw，A载荷由集中力载荷由集中力F，均布力，均布力q和力偶和力偶M0构成，分别计算构成，分别计算各个载荷各个载荷在在A A端引起的位移端引起的位移，然后将它们叠加。，然后将它们叠加。Al0MFqQ 分析方法：分析方法：基本梁在几种基本载荷作用下的挠度和转角方程已被总结成表基本梁在几种基本载荷作用下的挠度和转角方程已被总结成表（请熟记（请熟记P351P351附录附录E E中中 1 1，3 3，4 4，6 6，8 8，9 9各梁的挠度和转角）各梁的挠度和转角）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page22查表查表, ,p 3513512340( )238AM lFlqlwEIEIEI A

15、l0MAlFAlqAl0MFq223026AM lFlqlEIEIEI ( )AwM lEI0M lEI022qlEI36qlEI480MFqAEIFl22EIFl33叠加：叠加：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page23例：例：载荷集度载荷集度为为( ( ) )lxqxq2cos0 ，求自由端挠度求自由端挠度Bwddq)(0 xq0BlFaB( () )alEIFawFB 362分析方法：分析方法：将任意分布载荷看作无将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。穷微集中力的叠加。注意注意(1)a 取为变量取为变量 (2)(2)载荷向上为正载荷向上为正( () )( () )22036cos362B

16、dFdwlEIqldEIl 查表查表P 351(2):第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page24例：例：载荷集度载荷集度为为( ( ) )lxqxq2cos0 ，求自由端挠度求自由端挠度Bw( () )( () )( ( ) )20004304cos3622243llBBqwdwldEIlq lEI ddq)(0 xq0B( () )20cos362BqdwldEIllFaB第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page25例：例：EIEI= =常值，求常值，求acw40152768acccwwq lEI ACB2l2lq0(a)+q0(b)BAC2l2lq0(c)分析：分析：abccww abccc

17、cwww45384ccwqlEI 故：故：为什么？为什么？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page26例：例：矩形截面梁斜弯曲问题矩形截面梁斜弯曲问题求挠曲轴方程与端点求挠曲轴方程与端点C位移位移yCzl F分析思路：分析思路：1. 载荷沿两对称轴分解：载荷沿两对称轴分解： 分解为对称弯曲问题分解为对称弯曲问题2. 求解各分载荷作用下的求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与挠曲轴方程与C点位移点位移3. 合成为总的挠曲轴方程与合成为总的挠曲轴方程与总的总的C点位移点位移解解：(1) 载荷分解载荷分解cosyFF sinzFF 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page27方位角方位角zzyywIarctg

18、arctgtgwI F 一般一般 ，弯曲变形不发生在外力作用面内。，弯曲变形不发生在外力作用面内。2cos(3 )6yzFxxlwEI 32222cossin3zCTCyCzzyIFlwwwEII cosyFF sinzFF (2) 分力挠曲轴方程与端点位移分力挠曲轴方程与端点位移33yCyzF lwEI 33zCzyF lwEI 2sin(3 )6zyFxxlwEI 端点端点C：yCzlF 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page28静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形变形 ( (其余梁段刚化其余梁段刚化) )在该截面引起的位移的

19、代数和或在该截面引起的位移的代数和或矢量和。矢量和。二、逐段变形效应叠加法（逐段刚化法）二、逐段变形效应叠加法（逐段刚化法）该方法更多地应用于该方法更多地应用于单载荷单载荷、多段组合梁多段组合梁（如阶梯梁、（如阶梯梁、直角拐）的变形计算。直角拐）的变形计算。思考：该方法的优点是什么？思考：该方法的优点是什么？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page29lAaqBC例例: : 求图示外伸梁求图示外伸梁C点点的挠度和转角的挠度和转角4311( )( )86CCqaqawEIEI 232222( )( )66CBCBqa lqa lwaEIEI lAaqBClAaBCqa/2qa2/2仅考虑仅考虑BC

20、段变形段变形( (刚化刚化AB, ,可视可视BC为悬臂梁为悬臂梁) )仅考虑仅考虑AB段变形段变形( (刚化刚化BC) )总挠度和转角总挠度和转角312(34 )( )24CCCqawwwalEI 212()( )6CCCqaalEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page30lAaqBClAaqBClAaBCqaqa2/2AlaqBCqa2/2laBCqa2/2A三、两类叠加法比较三、两类叠加法比较1、静定条件下，等价、静定条件下，等价第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page312. 逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同1F2F1F2FFFF右图

21、的叠加法为什么不成立？右图的叠加法为什么不成立？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page32 两类叠加法适用范围比较两类叠加法适用范围比较线弹性、非线弹性与非弹线弹性、非线弹性与非弹性性线弹性线弹性小变形小变形小变形小变形静定杆系与刚架静定杆系与刚架静定与静不定结构，包括杆、静定与静不定结构，包括杆、板、壳及一般三维体板、壳及一般三维体逐段变形效应叠加法逐段变形效应叠加法载荷叠加法载荷叠加法第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page33例：例：EI EI = =常数，求常数，求AwlaABCFABC1wABCBC刚化刚化FBCABFFaABAB刚化刚化 加加 a.BCa.BC弯曲刚度刚化弯曲刚度刚化

22、b.BCb.BC扭转刚度刚化扭转刚度刚化w3( ( ) ) ppBAGIlFaaGIFalaw22 2. BC扭转扭转(AB(AB刚化，刚化，BCBC弯曲弯曲 刚度刚化刚度刚化) )3. BC弯曲弯曲(AB(AB刚化，刚化，BCBC扭转刚度刚化扭转刚度刚化) )( ( ) ) EIFlwwBA33312323333AAAApwwwwFa lFlFaGIEIEI)(331 EIFawA1. AB弯曲弯曲(BC(BC刚化）刚化）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page34例：例：E 常数常数,求求212II Cw，C2I1IFABC刚化刚化ABAB段：段：1.1.BC段变形效应段变形效应（刚化（刚化

23、ABAB段）段）2.2.AB段变形效应段变形效应（刚化（刚化BCBC段）段）2,33332211373246CB FB MBwwwaFaFaFaFaEIEIEIEI 2,222113224CBB FB MFaFa aFaEIEIEI B刚化刚化BCBC段：段：FaM FABCABCF3113CFawEI 2112CFaEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page35,求求例：例：E E 常数常数, ,212II Cw，B 2I1IFABC1IEFABCEFABCEFBwF/22I1ICFB2I1IABC1IEFF/2F/2逐段变形效应叠加法逐段变形效应叠加法CBww第七章第七章 弯曲变形弯曲变

24、形Page36思考思考：图示各阶梯刚架几何尺寸，材料与外载均相同，加：图示各阶梯刚架几何尺寸，材料与外载均相同，加阴影线段表示阴影线段表示.该段已刚化，设图示该段已刚化，设图示(a)、(b)、(c)、(d)各刚各刚架自由端架自由端(即即A端端)的垂直位移分别为的垂直位移分别为Wa，Wb，Wc，Wd,，则则WaWbWcWd,。该结论对吗？。该结论对吗？AAAA(a)(b)(c)(d)FFFF第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page37AaCBaqBAaCaq/2AaCaq/2反对称：反对称：中点挠度为中点挠度为0 0，弯矩，弯矩0 0铰支铰支对称：对称：4115 (2 )0,768CCqawEI

25、思路：思路：载荷分解载荷分解aCq/2例：例：利用对称性求利用对称性求 ,CCw 2320224CCwqaEI ( ( ) )( ( ) )31248CCCqaEI ( )( ( ) )( ( ) )412548CCCqlwwwEI ()第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page38C 左左/ /右右AqlCBl316q lE I AB12C2Cwl 梁挠曲轴如图梁挠曲轴如图CBCB保持直线保持直线48CqlwEI 312724CqlE I 左左 / / 右右ACAC悬臂梁悬臂梁第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page39212CBww 问题分析：采用逐段变形效应叠加法问题分析：采用逐段变形效应叠加

26、法例：例：组合梁组合梁/刚架各处刚架各处EI, EA, B处梁间活动铰，求处梁间活动铰，求 CwABCF1Cw刚化刚架刚化刚架BDH, AB为简支梁，为简支梁，刚化梁刚化梁AB，12CCCwww 3148CFawEI 下面求刚架的位移下面求刚架的位移Bw2CwBw2aaaABHD2aCF第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page40解：解： 1. 1. 求求BwaaBHDF/22w1w3w（1 1）刚化）刚化DH的拉压与弯曲刚度，的拉压与弯曲刚度， BD相当于悬臂梁相当于悬臂梁（2 2）刚化）刚化BD和和DH的拉压刚度的拉压刚度（3 3）刚化）刚化BD和和DH的弯曲刚度的弯曲刚度331236BFa

27、FawEIEI 23222BDFaFawaaEIEI ABCF1Cw 2. 2. 求求1Cw3148CFawEI 32BDHFawlEI 2EA3123232BBBBFaFawwwwEIEI 2EA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page413. 3. 求求Cw3148CFawEI 设设b bh h矩形截面矩形截面321234CBFaFawwEIEA 31217484CCCFaFawwwEIEA 4. 4. 比较弯曲与拉压位移比较弯曲与拉压位移323,121717484Abh IbhaFaFaEIEAh 结论结论: : ( (如果题意没有要求如果题意没有要求) )，拉压与弯曲共同，拉压与弯曲共同

28、 作用时，拉压引起的位移可以忽略。作用时，拉压引起的位移可以忽略。2CwBw1Cw2aaABHDCF2aa第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page42例：细长梁置于水平刚性例：细长梁置于水平刚性平台上。设单位长度重量平台上。设单位长度重量为为q，弯曲刚度，弯曲刚度EI，求，求wc解：设拱起长度为解：设拱起长度为aDA 段包括段包括A点截面上的弯点截面上的弯距距MA为零，为零，B点同理点同理A,B两点处的转角为零两点处的转角为零AB段的简化模型由叠加法确定由叠加法确定A A处的转角：处的转角：qFaEIqaEIFaqAFAA230241632,再由叠加法确定再由叠加法确定C C处的挠度：处的挠度：

29、EIqFEIqaEIFawwwqCFCA3443,20489384548第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page43图示直梁和刚性园拄面，求梁图示直梁和刚性园拄面，求梁在集中力在集中力F作用下的端点挠度作用下的端点挠度lRFABC梁、拄面接触的条件梁、拄面接触的条件000 ; ,11FFRlEIFEIlFEIMR设设FFo，AC段与拄面接触，段与拄面接触，AC段长度为段长度为xFREIlxEIxlFR ,)(11RFREIlRxxRRw2)(21)(22221)()(22FREIlFREIxlwc322333)(3)(RFEIEIxlFw32223216)(2RFEIRlwwwwB第七章第七章

30、弯曲变形弯曲变形Page44作业作业7-9b,d7-117-127-14a第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page45 静不定度与静不定度与多余约束多余约束 多于维持平衡所必须的约束多于维持平衡所必须的约束 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩与多余约束相应的支反力或支反力偶矩 支反力（力偶）数有效平衡方程数支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多余约束数5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定6-36-3 = = 3 3 度静不定度静不定( )q xM( )q xF第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page46AB静定基静定基:一个静不定系统解除多余一个静不定系统解除多余约束后所得

31、的静定系统约束后所得的静定系统(左下左下)相当系统：相当系统：作用有原静不定梁载荷作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统与多余约束反力的基本系统(右下右下) AB静定基与相当系统静定基与相当系统qABABRBqABq静定基与静定基与相当系统的选择不是唯一的相当系统的选择不是唯一的第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page47小结：分析方法与分析步骤小结：分析方法与分析步骤 步骤步骤： 1 1、 判断静不定度（确定多余约束数）；判断静不定度（确定多余约束数）； 2 2 、选取与解除多余约束，建立相当系统；、选取与解除多余约束，建立相当系统； 3 3 、列出多余约束处的变形协调条件；、列出多余约

32、束处的变形协调条件； 4 4、 结合平衡方程，求多余支反力。结合平衡方程，求多余支反力。方法：方法：选取并解除梁多余约束，代之以支反力选取并解除梁多余约束，代之以支反力, ,构造相当系统，构造相当系统，使多余约束点处的变形满足位移边界或连续条件使多余约束点处的变形满足位移边界或连续条件相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page48例：例：求支反力求支反力1.1. 静不定度：静不定度：6-3=32. 2. 选取相当系统：右中、选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略小

33、变形，轴向变形可忽略 HA= HB=0。两多余未知力两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3. 3. 建立变形协调条件建立变形协调条件00BBw 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page494. 4. 联立求解联立求解0,0BBw 3240(1)328RMqBBBBBBR lM lqlwwwwEIEIEI 230(2)26RMqBBBBBBR lM lqlEIEIEI qABRBMB2224BBqlRqlM 对称性的应用对称性的应用利用对称性直接求出利用对称性直接求出RA= RB= ql/2，它它可取代方程（可取代方程（1）、（）、（2）之一。）之一。第七章第七章

34、弯曲变形弯曲变形Page50三人扛木问题三人扛木问题等截面原木长等截面原木长 l=5m, , 直径直径d=30cm, , 密度密度= =0.7g/cm3, , 弹性弹性模量模量E=4GPa. .三个等身高工人的着力点分别为原木的两端三个等身高工人的着力点分别为原木的两端及中点及中点. . 试求每人分担的原木重量试求每人分担的原木重量. . 解解: : 首先将问题抽象成材料力学模型首先将问题抽象成材料力学模型, , 然后依据相关理然后依据相关理论求解论求解. .第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page51ABCll/2三支座梁，三支座梁，q = = A495g/cm=484 N/m 问题转化为求解

35、上述静不定梁三个支座的支反力问题转化为求解上述静不定梁三个支座的支反力! !移去支座移去支座B, 代之以支反力代之以支反力FB , 解静定梁解静定梁, ,求支反力求支反力FB , 变变形协调条件形协调条件 B=0qABCll/2FB第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page52ABC查附录查附录E E8 8：均布力：均布力q q 引起的引起的B B点挠度：点挠度：)(96. 4)(00496. 03 . 014. 31023846454845384549441mmmEIqlABCl/2FB查附录查附录E E6 6：集中力：集中力F FB B引起的引起的B B点挠度：点挠度：EIlFB4832令 0

36、21BNGFB1512625. 0NFGFFBBA4542由平衡方程：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page53例例: : 直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 ， max=?解解：,B0 EIlFEIlMByBB2-2 236 12lEIM,lEIFBBy - BwIdlEI/262max 23ldE EIlFEIlMwByBB3-232 0 ABABBFBMMx26EIl 26EIl 存在装配误差的静不定问题分析存在装配误差的静不定问题分析第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page54例：例：求求A A点的垂直方向的位移，点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。处梁间活动铰。aADRAAwAAww ( () )33033AAAMR a aR aR aaEIEIEI 组合梁组合梁/ /刚架静不定问题的分析刚架静不定问题的分析aaaABCDM0方法：将铰链拆开，建立铰方法：将铰链拆开，建立铰 链处的变形协调条件链处的变形协调条件aBCAwM0aRA第七章第七章 弯