椅子能在不平地面上放稳吗

1、1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置

2、利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任

3、意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.

4、令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确定的确定1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名

5、商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第

6、第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k

7、=1,2, n), 使使sk S, 并按并按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1

8、,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (

9、 (1798) )常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x(t) 时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后

10、代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,

11、()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r

12、或或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4 (百万百万)5 .27